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La géométrie géo la terre metrikos mesure
2
Lère des principaux géomètres grecs
Thalès - 625
Pythagore - 500
Platon - 427
Euclide - 300
Archimède - 287
XVIII siècle
Si on représente par un segment de 20 cm la
distance dans le temps entre Thalès et Archimède,
quelle est, à la même échelle, la longueur du
segment qui représente le temps écoulé entre
Archimède et le XVIII siècle ?
1 mètre... pendant lequel il ne sest quasiment
rien passé !
3
 Nous devons regarder comme suffisamment
constatée limpossibilité de déterminer, en les
mesurant directement, la plupart des grandeurs
que nous désirons connaître. Cest ce fait
général qui nécessite la formation de la science
mathématique Car, renonçant, dans presque tous
les cas, à la mesure immédiate des grandeurs,
lesprit humain a dû chercher à les déterminer
indirectement, et cest ainsi quil a été conduit
à la création des mathématiques.  Auguste
Comte, XIX siècle
4
plan

• Constats
• La géométrie à lécole élémentaire
• La géométrie au collège
• Difficultés dapprentissages

• Re-médiations et détours
• situations de recherche (des énigmes à résoudre
  à plusieurs)
• situations de communication (donner du sens aux
  propriétés et aux relations grâce au langage)
• utilisation dun logiciel de géométrie dynamique
  de la perception à l'expérience.

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intermède
Ma devise habituelle Avant de faire faire des
mathématiques, commençons par faire des
mathématiques !
6
intermède
Une petite situation de recherche en géométrie...
Le géoplan 3 x 3 Combien peut-on tracer
(fabriquer) de triangles et de quadrilatères (non
croisés) différents sur ce géoplan ?
voici déjà deux triangles comment trouver le
maximum ?
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L école élémentaire
contenus des textes officiels
espace
géométrie
repérage orientation
relations et propriétés solides figures planes
compétences et savoirs mathématiques
compétences et savoirs pluri-disciplinaire
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L école élémentaire
deux géométries empirique et théorique
référence aux travaux de Salin et Berthelot
L'objectif principal est de permettre aux élèves
de passer progressivement d'une géométrie où
les objets et leurs propriétés sont contrôlés par
la perception à une géométrie où ils le sont
par explicitation de propriétés et recours à des
instruments.
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L école élémentaire
deux géométries empirique et théorique
de l'objet au concept
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L école élémentaire
aider au passage d'une géométrie à l'autre du
type empirique au type théorique
Géométrie Empirique (pratique) Géométrie Théorique
Intuition Sensible et perceptive Liée aux figures
Expérience Liée à lespace mesurable Schéma de la réalité
Déduction Proche du réel et liée à lexpérience par la vue Démonstration basée sur des axiomes
référence aux travaux de Houdement et Kuzniak
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L école élémentaire
liens entre intuition et expérience
évidences
informations
intuition
expérience
nourrit
structure
référence aux travaux de Coppe
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L école élémentaire
d'une géométrie à l'autre du type empirique au
type théorique
Comment résoudre ce paradoxe perceptif ??
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L école élémentaire
retour aux textes officiels
Les activités du domaine géométrique ne visent
pas des connaissances formelles (définitions),
mais des connaissances fonctionnelles, utiles
pour résoudre des problèmes dans l'espace
ordinaire, dans celui de la feuille de papier ou
sur l'écran d'ordinateur.
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L école élémentaire
programmes progression
Les apprentissages se déroulent de manière
continue de la petite section de maternelle
jusquau CM2. Un vocabulaire précis doit être
progressivement mis en place. Le principe est de
partir du réel (et donc dobjets matériels) puis
dabstraire peu à peu. La primauté est donnée à
la géométrie dans lespace. Il ny a pas de
démonstration bien entendu, mais un début
dapprentissage du raisonnement, notamment dans
les activités de reproduction de figures.
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L école élémentaire
Structuration de l'ensemble des concepts
aspects notionnels
Vergnaud

• Objets
• point, droite, segment, angle, milieu
• carré, rectangle, losange, parallélogramme,
  triangles, cercle
• cube, tétraèdre, pavé, face, arête, sommet

• Relations
• alignement, égalité de longueurs,
  perpendicularité, parallélisme, symétrie axiale

• Mesures
• longueurs et aires périmètre et aire du carré
  et du rectangle, longueur du cercle.

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L école élémentaire
quatre mots-clés (types de tâches)

• Reproduire
• des figures, y compris la réalisation pratique de
  solides

• Décrire
• des figures, pour les identifier ou les
  représenter

• Représenter
• notamment des solides, avec les problèmes de
  faces visibles ou invisibles, les patrons

• Construire
• des figures, avec des matériaux et des outils
  multiples règle, équerre, gabarit, calque,
  compas

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démarche
L école élémentaire

• La résolution de problème,
• Dans des situations finalisées
• Situations de référence complétées par des
  situations de réinvestissement.

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mise en oeuvre
L école élémentaire

• un temps de présentation
• un temps de recherche
• un temps de confrontation
• un temps de synthèse si nécessaire.
• un temps de réinvestissement

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L école élémentaire
Quelques axes du programme en cycle 3

• Géométrie dynamique
• Géométrie expérimentale et place des logiciels
  de géométrie dynamique
• Un logiciel de géométrie dynamique
• peut permettre la constitution dun milieu (au
  sens de Brousseau)  mathématisé 
• laissant la place à des actions correspondant à
  des concepts mathématiques
• offrant des rétroactions fondées sur le modèle
  mathématique sous jacent au logiciel.

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Le collège
Programmes

• En sixième
• Reproduction de figures simples
• Mesures
• Parallélépipède rectangle (représentation,
  patron, volume)
• Symétrie axiale dans le plan (construction
  d images, conservation de propriétés, axes de
  symétrie d une figure)
• Abscisse d un point sur une droite. Coordonnées
  (entiers relatifs) de points du plan.

• En cinquième
• Prismes droits, cylindres de révolution
  (représentation, patron)
• Symétrie centrale dans le plan, parallélogramme,
  caractérisation angulaire du parallélisme
• Triangle (somme des angles, inégalité
  triangulaire, construction de triangles, cercle
  circonscrit)
• Aires du triangle, du parallélogramme, du disque
• Repérage sur une droite graduée et dans le plan
  muni dun repère orthogonal

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Le collège
Programmes

• En quatrième
• Pyramide et cône de révolution
• Translation (à partir du parallélogramme)
• Triangle (droite des milieux et théorème de
  Thalès dans le triangle, droites remarquables)
• Triangle rectangle et cercle (Pythagore et sa
  réciproque, tangente à un cercle, cosinus dun
  angle aigu)

• En troisième
• Sphère, sections planes d une sphère, d un
  cube. Sections d un cône et d une pyramide (par
  des plans parallèles à la base)
• Relations trigonométriques dans le triangle
  rectangle (sinus, cosinus, tangente)
• Théorème de Thalès et sa réciproque
• Vecteurs (écriture, égalité, somme à partir du
  parallélogramme). Lien avec la translation.
  Coordonnées d un vecteur. Distance de deux
  points exprimée à partir des coordonnées.
  Composée de deux symétries centrales.
• Rotations, polygones réguliers (triangle, carré,
  hexagone). Angle inscrit et angle au centre.

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Où se trouvent les principales difficultés des
élèves...
de lécole au collège une transition difficile ?
Deux modes de construction des connaissances qui
peuvent sopposer
1. Un mode de type empirique basé sur lintuition
et lexpérimentation ? géométrie science
expérimentale
2. Un mode de type théorique sappuyant sur la
déduction et qui trouve son aboutissement dans la
démonstration ? géométrie platonicienne
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Où se trouvent les principales difficultés des
élèves...
De lécole au collège une transition difficile ?

• Dans le mode de type empirique, lexpérience est
  constitutive dune géométrie  naturelle 
• lobjet sensible (matériel) et lobjet
  mathématique sont confondus
• lexpérience en tant quaction sur les objets
  peut constituer un mode de preuve ultime

• Dans le mode de type théorique, les axiomes et
  les définitions idéalisent lespace réel
• on parle de figure et de raisonnement
• lexpérimentation nest pas admise comme preuve,
  cest le raisonnement hypothético-déductif qui
  prend sa place

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Où se trouvent les principales difficultés des
élèves...
De lécole au collège une transition difficile ?
Dans le mode de type empirique
Ceci est un carré et un carré nest pas un
rectangle !
Dans le mode de type théorique
Les propriétés de cette figure (4 angles droits,
4 côtés isométriques) définissent un carré et un
carré est aussi un rectangle !!
25
Où se trouvent les principales difficultés des
élèves...
De lécole au collège une transition difficile ?
Dans le mode de type empirique
Les problèmes spatiaux relèvent dune solution
validée empiriquement.
Dans le mode de type théorique
Les problèmes de géométrie relèvent dune
solution prouvée mathématiquement.
26
Où se trouvent les principales difficultés des
élèves...
De lécole au collège une transition difficile ?
Pour aider les élèves à franchir cette
difficulté, il faut aménager des situations dans
lesquelles on permet aux élèves de faire
progressivement la différence entre réalité
spatiale et modèle géométrique
27
Où se trouvent les principales difficultés des
élèves...
De lécole au collège une transition difficile ?
En instaurant une transition entre ces deux modes
de construction des connaissances lutilisation
des instruments.
monde réel - outils perceptifs la vue, le
toucher
espace spatio-géométrique - outils d aide à la
perception les instruments
espace géométrique - outil de validation la
théorie
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Où se trouvent les principales difficultés des
élèves...
Quels outils de contrôle...
pour un contrôle perceptif instrumenté
Il s'exerce sur des propriétés spatiales et/ou
spatio-géométriques. Il utilise comme
instruments certes encore la vue mais aussi
d'autres instruments qui peuvent être -
calque, gabarit, papier quadrillé, règle
graduée - ou règle, équerre, compas - ou
commandes d'un logiciel de géométrie dynamique
Il a pour finalité la production d'un dessin
possédant certaines propriétés."
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donc...

• Pour quoi enseigner la géométrie
• 1. Apprendre aux élèves à penser géométriquement
• 2. Apprendre aux élèves à voir dans l espace
• 3. Apprendre aux élèves à raisonner

• Comment enseigner la géométrie
• 1. Mettre en œuvre des situations de recherche
  et de communication
• 2. Faire une place aux nouvelles technologies
• 3. Lier la géométrie aux autres disciplines

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Pour quoi enseigner la géométrie

• 1. Apprendre aux élèves à penser géométriquement
  
• varier les registres de représentation
• développer la construction dimages mentales
• mettre en évidence des liens entre la géométrie
  et la numération

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Pourquoi enseigner la géométrie
Apprendre aux élèves à penser géométriquement
Identités remarquables et remarquées !!
Jean Jacques ROUSSEAU (1785) , Les confessions
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Pourquoi enseigner la géométrie
Apprendre aux élèves à penser géométriquement
Identités remarquables et remarquées !!
(a b) (a b) (ab)2 a2 2ab b2
Une autre, une autre !!!
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Pourquoi enseigner la géométrie
Apprendre aux élèves à penser géométriquement
Identités remarquables et remarquées !!
(a b) (a - b) a2 - b2
Une petite dernière pour la route...
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Pourquoi enseigner la géométrie
Apprendre aux élèves à penser géométriquement
Si un triangle est rectangle, alors le carré de
l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des
côtés de l'angle droit.
Animation Pythagore Cabri
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Comment enseigner la géométrie

• 1. Mettre en œuvre des situations de recherche
• pour faire vivre de vraies situations de
  construction de  nouveaux savoirs 
• pour traiter du passage de la problématique
  pratique à celle de modélisation
• pour faire plaisir à Vygotski et mettre en œuvre
  (enfin) la notion de constructivisme social ?

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Comment enseigner la géométrie
Mettre en œuvre des situations de recherche
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Comment enseigner la géométrie
Mettre en œuvre des situations de recherche
Les solutions de la croix Grecque...
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Comment enseigner la géométrie
Mettre en œuvre des situations de recherche
A la recherche des carrés de Mac Mahon Combien
peut-on trouver de façons de colorier
complètement ce carré avec 3 couleurs différentes
? Attention, les carrés ne doivent pas être
superposables.
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Comment enseigner la géométrie
Mettre en œuvre des situations de communication

• Donner du sens à la notion de programme de
  construction
• Analyser, reproduire et décrire une figure

à vos crayons !!
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Comment enseigner la géométrie
Mettre en œuvre des situations de communication
Solutions des belles constructions à réaliser à
faire réaliser
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Comment enseigner la géométrie
Faire une place aux nouvelles technologies
Le logiciel Cabri-géomètre
Cabri II
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Comment enseigner la géométrie
Faire une place aux nouvelles technologies
Pourquoi lenvironnement Cabri-géomètre ?

• Permet la modélisation dune situation problème
• Met en œuvre la médiation du théorique
  caractère  plus théorique des outils via la
  médiation du logiciel (et notamment langagière).
• Caractère dynamique de la géométrie (apparition
  des invariants et validation par le milieu
  a-didactique).

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Comment enseigner la géométrie
Faire une place aux nouvelles technologies
Un premier axe de recherche

• Limiter le nombre de relations pour faire
  émerger le concept visé
• Faire apparaître les relations et les objets
  comme invariants dans des configurations spatiales

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Comment enseigner la géométrie
Faire une place aux nouvelles technologies
Exemple de scénario 1 Travailler le changement
denvironnement

• Lélève passe du 
• papier-crayon un seul dessin fixe validation
  spatiale avec instruments
• au logiciel ensemble de dessins, le
  déplacement faisant  apparaître  les propriétés

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Comment enseigner la géométrie
Faire une place aux nouvelles technologies
Exemple de scénario 1 à propos des propriétés
de la figure

• Les élèves disposent de trois figures
  ressemblant à des carrés, dabord sous forme
  papier, puis sous forme de fichier Cabri. Il
  sagit pour lélève de décider si ce sont des
  carrés et de justifier ses réponses.
• Avec le document papier montrant un état de
  chacune des figures, lélève va être amené à
  .....
• Avec le fichier Cabri, le déplacement va montrer
  que ...
• - Une mise en commun vise à faire émerger ...

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Comment enseigner la géométrie
Faire une place aux nouvelles technologies
Exemple de scénario 1 à propos des propriétés
de la figure
Dans lenvironnement papier-crayon, est-ce un
carré ? Dans lenvironnement Cabri 2 , est-ce
un carré ?
situation 1
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Comment enseigner la géométrie
Faire une place aux nouvelles technologies
Exemple de scénario 2 situation de
communication sur droites et points
Objectifs Mathématiques Ancrer les notions
de droite et de segment. Les envisager comme
supports de trajectoire de points. Utiliser le
vocabulaire géométrique correspondant   la
droite passe par et    le segment a pour
extrémités et   Géométrie dynamique
Explorer les trajectoires de points et
reconnaître leur forme. Déterminer ces
objets-trajectoires en déterminant des liens de
dépendance entre objets. Construire ces objets et
invalider des constructions perceptives  droite
ne passant pas explicitement par deux points
donnés  segment dont les extrémités ne sont pas
explicitées.
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Comment enseigner la géométrie
Faire une place aux nouvelles technologies
Exemple de scénario 2 situation de
communication sur droites et points
On propose à deux élèves A et B de travailler
directement sur Cabri, mais sur deux fichiers
voisins. Celui pour B montre uniquement des
points de référence alors que celui pour A
montre, en plus des mêmes points, deux autres qui
se déplacent sur une droite ou un segment définis
à laide des points de référence. La tâche pour
lélève A est de déterminer les objets (il sagit
ici de droite ou de segment) sur lesquels se
déplacent les points, de construire ces objets,
de rédiger un message qui permettra à lélève B
de construire les mêmes objets. La validation
se réalise par comparaison entre les
constructions sur les fichiers de A et B. Les
rôles de A et B sont ensuite échangés. Une
institutionnalisation peut clore cette activité.
élève A
élève B
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Comment enseigner la géométrie
Faire une place aux nouvelles technologies
Exemple de scénario 3 situation de
communication sur droites parallèles et droites
perpendiculaires
Objectifs Mathématiques Ancrer les notions
de droites parallèles ou perpendiculaires. Les
envisager comme supports de trajectoire de
points. Utiliser le vocabulaire géométrique
correspondant   la droite parallèle à la droite
passant par le point  la droite
perpendiculaire à la droite passant par le
point Géométrie dynamique Explorer les
trajectoires de points et reconnaître leur
forme. Déterminer ces objets-trajectoires en
déterminant des liens de dépendance entre
objets. Construire ces objets et invalider des
constructions perceptives  droite ne passant pas
explicitement par un point donné  direction
parallèle ou perpendiculaire fixée perceptivement.
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Comment enseigner la géométrie
Faire une place aux nouvelles technologies
Exemple de scénario 3 situation de
communication sur droites parallèles et droites
perpendiculaires
La tâche pour lélève A est de déterminer les
objets (il sagit ici de droites parallèles ou
perpendiculaires à une droite donnée, passant par
des des points donnés) sur lesquels se déplacent
les points, de construire ces objets, de rédiger
un message qui permettra à lélève B de
construire les mêmes objets. La validation se
réalise par comparaison entre les constructions
sur les fichiers de A et B. Les rôles de A et B
sont ensuite échangés. Une institutionnalisation
peut clore cette activité.
élève A
élève B
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Comment enseigner la géométrie
Faire une place aux nouvelles technologies
Exemple de scénario 4
Situation 2
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Concepts VERGNAUD G. (1990) La théorie des
champs conceptuels. Recherches en Didactique des
Mathématiques vol 10 2/3 pp. 133-170
"Un concept est un triplet de trois ensembles C
(S, I, S) S ensemble des situations qui
donnent sens au concept (la référence) I
ensemble des invariants sur lesquels repose
lopérationalité des schèmes (le signifié) S
ensemble des formes langagières et non
langagières qui permettent de représenter
symboliquement le concept, ses propriétés, les
situations et les procédures de traitement (le
signifiant)"
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BERTHELOT R. SALIN M.H.,Lenseignement de la
géométrie à lEcole primaire, Grand N n53 (p.
39-56), IREM de Grenoble, 1994 BERTHELOT R.
SALIN M.H.,Un enseignement des angles au cycle 3,
Grand N n56 (p. 69-116), IREM de Grenoble,
1995 BERTHELOT R. SALIN M.H., Lenseignement de
la géométrie au début du collège. Comment
concevoir le passage de la géométrie du constat à
la géométrie déductive ?, Petit x n 56, IREM de
Grenoble, 2001 IREM DE LILLE, Travaux
géométriques  Apprendre à résoudre des
problèmes, cycle 3, IREM de Lille, CDDP Nord -
Pas de Calais, 2000 HOUDEMENT C., KUZNIAK A.,
Géométrie et paradigmes géométriques, Petit x n
51, p. 5 à 21, IREM DE Grenoble, 1999