Prsentation PowerPoint

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J. Colin Laboratoire de Métallurgie
Physique Université de POITIERS, Unité CNRS
n6630 F-86960 FUTUROSCOPE Cedex, FRANCE
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PLAN DE LEXPOSE
I. OBSERVATIONS EXPERIMENTALES DE RUGOSITES
II. APPROCHE STATIQUE DES INSTABILITES
III. EQUATIONS DE LA DIFFUSION SOUS CONTRAINTE,
EQUATIONS DE CAHN-LARCHE
IV. EVOLUTION DE PRECIPITES CYLINDRIQUES ET
SPHERIQUES
V. VIEILLISSEMENT DE GAINS DE CENTRALES
NUCLEAIRES
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OBSERVATIONS EXPERIMENTALES DE LA RUGOSITE
oxyde
zirconium
Interface Zirconium / oxyde de gaines utilisées
dans les centrales nucléaires (Bossis et col.,
CEA Grenoble)
Cinétique, contraintes critiques, périodicité?
Subdivision de précipités cubiques dans les
superalliages de laéronautique (Hazotte et col.,
Ecole des mines, Nancy France)
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INSTABILITE DE SURFACE DANS LES STRUCTURES
AXI-SYMETRIQUES
Fils pour produire de forts champs magnétiques
pulsés
fils sous contrainte
Drawing process réduction du diamètre du fil de
tantale (Thilly et col.)
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APPROCHE STATIQUE DES INSTABILITES
SiGe
Si
Calcul de la variation totale dénergie à lordre
2 en amplitude
Le développement de linstabilité est favorable
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CAS DE LA SURFACE LIBRE DUN SOLIDE PLAN
CONTRAINT
Asaro and Tiller, Grinfeld, Srolovitz
nombre donde
amplitude
Fluctuation du profil de la surface
énergie de surface
contrainte et déformation
Variation dénergie de surface à lordre 2 en
amplitude
module de cisaillement
coefficient de Poisson
contrainte appliquée
Seuil dinstabilité
Variation de lénergie élastique au deuxième
ordre en amplitude
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DEVELOPPEMENT EN SERIE DE FOURIER
A lordre 4
(Nozières 1993)
A lordre 6
nombre donde
contrainte appliquée
Modification du profil qui devient plus anguleux
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1. DEVELOPPEMENT EN SERIE DE FOURIER 2. ANALYSE
EN ONDELETTE
Ondelette en  chapeau mexicain 
Développement en série de Fourier
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INSTABILITE DE SURFACE LOCALISEE
??
Calcul
RESULTAT GENERAL
module de cisaillement
coefficient de Poisson
énergie de surface
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DELAMINATION DUNE BICOUCHE EPITAXIEE
paramètre douverture
amplitude de la perturbation
Fluctuation impaire de la surface
??
Développement de la fluctuation est favorable
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DELAMINATION DUNE BICOUCHE EPITAXIEE
différence de paramètre
énergie de surface
module de cisaillement
paramètre d équilibre
Développement dinstabilités localisées
Délamination
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EQUATION DE LA DIFFUSION SOUS CONTRAINTE Cas
dun alliage binaire de substitution
Deux phases et deux espèces (1) et (2)
diffusantes
k m dans la matrice et k p dans le précipité
Effets des contraintes dépitaxie des
contraintes de composition
Formalisme de J. Cahn et F. Larché
Acta Metall. Vol 33, p. 331-375
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EQUATION DE LA DIFFUSION SOUS CONTRAINTE
Contraintes dans les deux phases
, avec le tenseur des constantes élastiques
Déformations élastiques et de composition
Avec le coefficient de dilatation de réseau
le paramètre de maille de la phase k dépendant de
la concentration
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EQUATION DE LA DIFFUSION SOUS CONTRAINTE
Equations déquilibre en volume

1. équation de Navier pour le déplacement
avec
2. équation pour les contraintes
source de déformation supplémentaire
3. équation de Laplace dans lapproximation
quasi-statique
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EQUATION DE LA DIFFUSION SOUS CONTRAINTE
Equilibre mécanique aux interfaces
1. Continuité des déplacements
2. Équilibre des forces sur linterface
énergie dinterface,
courbure,
normal à linterface
précipité
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EQUATION DE LA DIFFUSION SOUS CONTRAINTE
Equilibre chimique
couplage composition-contrainte
1. Définition du potentiel de diffusion
volume atomique dans létat de référence
potentiel chimique sous contrainte nulle et
concentration
avec
activité
constante
constante des gaz parfaits
température
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EQUATION DE LA DIFFUSION SOUS CONTRAINTE
2. Définition du potentiel grand-canonique

densité dénergie élastique
couplage composition-contrainte
A linterface
Pour une concentration et une contrainte

Sans contrainte, pour une concentration
déquilibre et une interface plane
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EQUATION DE LA DIFFUSION SOUS CONTRAINTE
Développement des équations déquilibre chimique
au premier ordre en
A linterface
terme de courbure qui soppose au développement
des instabilités
travail des forces pour maintenir linterface
cohérente
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EQUATION DE LA DIFFUSION SOUS CONTRAINTE
Soit à linterface pour les concentrations
terme dépitaxie
terme de courbure
variation de concentration à linterface
terme de composition
avec
Expression équivalente pour
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CROISSANCE DUN PRECIPITE SPHERIQUE
Pb un précipité sphérique épitaxié dans une
matrice croît par diffusion de volume
Contrainte dépitaxie à linterface
matrice-précipité
Pas de contrainte de composition
0
Questions cinétique dévolution
destabilisation de linterface et changement
morphologique
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CROISSANCE DUN PRECIPITE SPHERIQUE
Leo et Sekerka
Equilibre des forces continuité des
déformations
Diffusion dans la matrice, pas dans le précipité
Epitaxie à linterface
différence de paramètre de maille
 egeinstrain  localisé dans le précipité
contrainte dans la matrice
et dans le précipité
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CROISSANCE DUN PRECIPITE SPHERIQUE
Cinétique dévolution, vitesse de linterface
D coefficient de diffusion
Hypothèse dévolution quasi-statique de
linterface
équation de Laplace
rayon du précipité
concentration pour une surface plane
concentration constante loin du précipité
Condition à linterface (Cahn-Larche sans
contrainte de composition)
terme délasticité
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CROISSANCE DUN PRECIPITE SPHERIQUE
Perturbation du rayon du précipité
Résolution au premier ordre en amplitude du taux
de croissance de la fluctuation
harmonique sphérique
avec
CONDITION DINSTABILITE
terme de surface
terme délasticité
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CROISSANCE DUN PRECIPITE SPHERIQUE
1. Croissance sans épitaxie
La surface devient instable lorsque lharmonique
apparaît
Rayon de Mullins
Avec le rayon de nucleation du précipité
constante sans dimension
2. Croissance en présence dépitaxie
terme délasticité
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CROISSANCE DUN PRECIPITE SPHERIQUE
Variation du rayon critique en fonction
de la sursaturation
Pour
Diminution du rayon critique lorsque
Pour un alliage binaire
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CROISSANCE DUN PRECIPITE SPHERIQUE
Variation de en fonction de la
différence de paramètre de maille
Diminution pour de en
fonction de lépitaxie
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CROISSANCE DUN PRECIPITE SPHERIQUE
Variation du rapport des taux de croissance
par rapport à la croissance
sphérique
pour
Accélération de la croissance par rapport au cas
sphérique
La croissance est aussi accélérée pour
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CROISSANCE DUN PRECIPITE SPHERIQUE
Définition dune longueur donde pour chaque
harmonique sphérique
Variation de en fonction de lépitaxie
Diminution de la périodicité en fonction de
lépitaxie
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PERSPECTIVES
En collaboration avec Z. Li, Dept. Math. Of
Chicago, USA
C. Nie Dept. Math. Of Irvine, CA, USA
Croissance de précipités dans une matrice en
élasticité anisotrope
Objectif étude du régime non-linéaire des
cylindres
Croissance de précipités de Ni3Al dans une
matrice de nickel Li, Lowengrub, Nie, Cristini,
Leo
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CAS DE FILS DE TANTALE POUR DES BOBINES A HAUTS
CHAMPS MAGNETIQUES col. L. thilly, J.P. Peyrade,
et al. Laboratoire des champs pulsés, Toulouse
Deux types de rugosité fluctuations axiales et
radiales de la surface
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PRECIPITE EPITAXIE DANS LA MATRICE
Epitaxie entre les deux phases
déformation intrinsèque (Eshelby, Mura)
Précipité en épitaxie dans une matrice
déformation élastique dans les deux phases
fonction de Green
coefficients élastiques
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DIFFUSION SOUS CONTRAINTE
Concentrations de lacunes
Dans les deux phases
dans la matrice
dans le précipité
Diffusion dans la matrice et le précipité
Etat élastique potentiels dans les deux phases
détermination des contraintes et déformations
Dans les deux phases
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DIFFUSION SOUS CONTRAINTE CONDITIONS A
LINTERFACE
A linterface
(1)
Gibbs-Thomson
courbure de linterface
énergie dinterface
température
constante de Boltzman
contrainte à linterface
énergie élastique
déformation totale
(2)
Cahn, Larché, Leo, Sekerka, Voorhees
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FLUCTUATIONS LONGITUDINALES DE LA SURFACE
Fluctuation de la surface
Equation dévolution
coefficient de diffusion
volume atomique
flux
Rearrangement atomique
Pas de vide ni de fissure à linterface
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TAUX DE CROISSANCE DES FLUCTUATIONS LONGITUDINALES
Longueur critique
Longueur sélectionnée
Désaccord paramétrique augmente
surface instable
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INFLUENCE DES COEFFICIENTS DE DIFFUSION
vecteurs donde shiftés vers le haut
résultat de Mullins pour des pores dans une
matrice
résultat Rayleigh pour un cylindre
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INFLUENCE DES COEFFICIENTS DE CISAILLEMENT
les longueurs donde diminuent
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FLUCTUATIONS RADIALES DE LA SURFACE
Fluctuation de linterface
entier
interface lisse
Interface instable
Changement morphologique
Epitaxie
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SECONDE APPROCHE TRANSFORMATION DE PHASE ET
INSTABILITE DE SURFACE DE GAINES EN ZIRCONIUM
fissures
Col. M. Grinfeld
Calcul de lénergie totale
ZrO2
densité dénergie élastique
Zr
contrainte et déformation de surface
interface de Zr/ZrO2 (Bossis et col., CEA
Grenoble)
Introduction de la vitesse de linterface
saut du potentiel chimique à travers linterface
courbure de linterface
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EQUATIONS DEQUILIBRE
densité dénergie élastique
Equilibre mécanique
1. Equilibre dans les deux phases

couche
-
substrat
2. Sur la surface libre de la couche
3. Sur linterface
Equilibre chimique
courbure de linterface
1. Sur linterface
énergie de surface
Continuité des déplacements
1. A linterface
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EVOLUTION QUASI-STATIQUE DE PETITES PERTURBATIONS
DE LINTERFACE
On cherche des solutions de la forme
taux de croissance de linstabilité 
déplacement dans les deux phases
vitesse de linterface
Taux de croissance maximum pour
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CONFRONTATION EXPERIENCE / THEORIE
Valeur théorique
Gaine de Zircaloy (Bossis et col. CEA Grenoble)
Valeur expérimentale
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CONCLUSIONS
1. Eude de la stabilité de leffet de la
contrainte de composition sur la stabilité des
interfaces
Couplage epitaxie / contrainte de composition
2. Simulation numérique de lévolution des
interfaces
Couplage entre harmoniques du développement des
surfaces, effet non-linéaires