LambdaCalcul Smantique de Montague

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Lambda-Calcul Sémantique de Montague
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Plan

• Introduction au lambda-calcul
• 1- Lambda Calcul non typé
• 2- Lambda Calcul simplement typé
• 3- Propriétés du lambda-calcul
• Sémantique de Montague.
• Calcul de la sémantique en Coq (ICHARATE).

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Lambda-Calcul

• Inventé par Church en 1930.
• Outil convenable pour exprimer les fonctions
  mathématiques
• Application en informatique
• -LISP basé sur le lambda-calcul non typé
• - ML basé sur le lambda-calcul typé.
• -conception de preuves de correction de
  programmes etc

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Lambda-calcul non typé

• Définition inductive des ?-termes
• - Toute variable de Var est un ?-terme.
• - Si t est un ?-terme et x une variable
  alors
• ?x.t est un ?-terme.
  (abstraction)
• - Si u et v sont deux ?-termes alors (u v)
  est aussi un ?-terme. (application)

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Opérations de base

• ?-conversion ?x.X ?? ?y.y/xX (à condition
  que le renommage préserve le caractère libre/lié
  de chaque variable).
• Exemples ?x. x1 ?? ?y.y1
• ?x. ?y. xy ?? ?y. ?y. yy
• ?-réduction (?x.u y) ?? uy/x (toute variable
  libre de y reste ainsi après la réduction).
• Exemples (?x. x1 2 ) ??21
• (?x. ?y. xy y) ?? ?y. yy

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Paradoxe de Russel

• (?x. ?(x x) ?x. ?(x x)) ?? ? (?x. ?(x x) ?x. ?(x
  x))
• Logique incohérente!
• (Plus concrètement Si dans un village, un
  barbier déclare raser la barbe de tous ceux qui
  ne se rasent pas eux-mêmes, le barbier se
  rase-t-il lui même ? )
• Solution théorie des types et lambda calcul
  typé. Hiérarchie des types aucune
  fonction ne peut s'appliquer à elle même.

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?-calcul simplement typé

• BaseType ensemble de types de base
• Si t?BaseType alors t ?Type
• Si t1, t2 ?Type alors t1? t2 ? Type.
• Définition inductive des ? -termes
• -Si v ? Var ayant un type t ?Type alors
  v est un ?-terme.
• -Si l1 et l2 sont deux ?-termes de types
  respectifs t1 ? t2et t1 alors (l1 l2) est un ?
  -terme de type t2.
• -Si v ? Var ayant un type t1 ?Type et l
  est un ? -terme de type t2 alors ?v.l est un
  terme de type t1 ? t2

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Propriétés importantes

• Théorème de Church-Rosser (confluence)
• u??v et u? ? w ?l v? l et w ? l
• Corollaire unicité de la forme normale
• Normalisation Forte
• Pas de suite infinie de réductions
• Rq dans le lambda-calcul non typé, la propriété
  de normalisation forte nest pas vérifiée
• Ex (?x. y (?z (z z) ?z (z z)))

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Sémantique de Montague

• Principe de compositionnalité de Frege
• - Le sens dune expression composée est une
  fonction des sens des éléments partiels qui la
  composent.
• Principe dextensionnalité
• - Substitution
• uv ?? ?? v/u

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Sémantique de Montague

• Types Sémantiques SemType
• Deux types de base - e type des individus
• - t type
  des valeurs de vérités
• Types composés à partir de (produit
  cartésien) et ? (application fonctionnelle).
• Fonction de mapping
• MapSyntType ? SemType
• MapBaseAtomes ? SemType
• Map(A/i B)Map(B\ iA)Map(B) ? Map(A)
• Map(A ?i B) Map(A)Map(B)
• Map(jA)Map(?j A)Map(A)

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Sémantique de Montague

• ?-termes ?T(term, type)
• -? v ? Var ? t ?SemType (v, t) ? ?T.
• - ?(l1, t1 ? t2)? ?T ?(l2,t1)??T ((l1 l2), t2) ?
  ?T
• - ? v ? Var ? t1 ?SemType si v est de type t1
  alors ? (l,t2) ? ?T (?v.l t1 ? t2) ? ?T.
• - ? (l1,t1) ? ?T ? (l2,t2) ? ?T ((l1l2), t1t2)
• - ? (l1,t1t2) ? ?T (?1 l1, t1) ? ?T
• -? (l1,t1t2) ? ?T (?2 l1, t2) ? ?T
• - ? (l1,t1) ? ?T (?l1,t1) ? ?T (resp (?l1, t1)
  (?l1 , t1) (?l1, t1))

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Sémantique de Montague

• Lexique W ?SynType ?T
• Condition ?w, Lex(w)(synT, lTerm)
• où lTerm(t1, l1) avec t1Map(synT)
• Exemples
• Marie (sn, (e M)) girl n , (e ?t G)
• That((n \ n)/(s / sn) , ((e?t) ?(e ?t) ?e
  ?x?y?z (y z)? (x z)))
• Likes ((sn \ s)/sn , (e ?e ?t L)

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Sémantique de Montague
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Exemple1

• Le cur a ses raisons que toute raison ignore
  (Blaise Pascal).
• Un mode de composition a. ?(?1 ,a (?2 ,a
  lt?3gta))?C
• Lexique ?((?1 ,a
  ?2 ),a lt?3gta)?C
• raison(s) que
  toute ignore
• n (n\an)/a(s/a?aanp)
  (s/a(np\as)/an (np\as)/anp
  
  
  
  
  
  
  
  
  e? t (e ? t)?(e ? t )
  (e ? t) ? e ? e ? t
• ? e ? t
  (e ? t
  
  
  
  
• R ?QPx.(Q x)?(P x) ?QP
  ?xe I
• 
  (Q x)? (P x)

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• 
  
• 
  
• 
  
  Hyp2 anp- h2 anp
• toute - z(s/a(np\as)/an raison - un
  ignore-v (np\as)/anp ltHyp2 anpgta -?h2np
• (toute , raison)-(z u) s/a(np\as)
  (ignore, ltHyp2 anpgta )- (v ?h2)np\as
• ((toute,
  raison), (ignore, ltHyp2 anpgta ))- ((z u) (v
  ?h2)) s
• Hyp1 ?a anp - h1?a anp (((toute,
  raison), ignore), ltHyp2 anpgta )-((z u) (v
  ?h2)) s
• (((toute,
  raison), ignore), Hyp1 ?a anp) - ((z u) (v ?
  ? h1)) s
• que -y (n\an)/a(s/a?aanp) ( (toute ,
  raison), ignore) - ?h1. ((z u) (v ? ? h1))
  s/a?a anp
• raisons -x n (que , ( (toute , raison),
  ignore))) -(y ?h1. ((z u) (v ? ? h1))) n\an

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Exemple2

• Money is a good servant and a bad master.
• Mode de composition n
• Lexique
• Money, servant , master n
• good, bad n/nn
• a ((s/nnp)\ns)/nn ?PQ ?xe (P x) ?(Q x)
• is (np\ns)/n(s/nnp)\ns ?x ?y(x ?z (yz))
• And (X\X)/X (X (s/nnp)\ns), ?P ?Q ?p
• 
  (P p) ?(Q p)

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Exemple2(suite)

• Arbre dérivation composé de règle délimination
  uniquement application.
• a bad master (?PQ. ?xe (P x) ?(Q x))(B Ma)?
• ? Q . ?xe ((B Ma) x) ?(Q x))
• a good servant and a bad master
• ?P Q p.(P p) ?(Q p) (? Q . ?xe ((B Ma) x) ?(Q
  x))
• (? Q . ?xe
  ((G S) x) ?(Q x))
• ?p. ?xe ((B Ma) x) ?(p x) ? ?xe ((G S) x) ?(p
  x)
• Money is a good servant and a bad master
• ?xe. Mox ? ((B Ma) x) ? ?xe. Mox ? ((G S) x)

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Logique intentionnelle

• Opérateurs dintentionnalité contraindre le
  principe dextensionnalité.
• Exemples de constructions qui créent des
  contextes opaques
• 1- Discours indirect
• Marie a dit que Maurice aime Sophie.
• Maurice est lélève le plus stupide de la
  classe.
• Marie a dit que lélève le plus stupide de la
  classe aime Sophie ??!
• 2-Temporalité
• GW Bush est le président des USA.
• En 1963, le président des USA a été assassiné
  à Dallas.
• En 1963, GW Bush a été assassiné à Dallas ??!

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Logique intentionnelle

• Modalités
• Neuf est nécessairement supérieur à 7.
• Neuf est le nombre de planètes.
• Le nombre de planètes est nécessairement
  supérieur à 7 ??!
• ? (9 gt 7)
• Le nombre de planètes 9
• ??(le nombre de planètes gt7)
• Nouveau principe de substitution
• ?x ?y ? ??? y/x

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Logique intentionnelle

• ? réduction
• (?x.? y) ? ? y/x
• Conditions pas de capture de variable
• y est intentionnellement
  close.
• Si on considère que les constantes ne sont pas
  intentionnellement clos pas de propriété du
  diamond!!
• (?x (?y (? y f(x)) x) c) ? (?y (? y f(c)) c)
• ? (?x (?
  x f(x)) c)

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Formalisation en Coq

• Lambda termes typés avec indices de Bruijn
• Variables liées représentées par des entiers.
• Avantage éviter les captures de variables
• Exemple ?x ?y ((likes x) y)
• ?
• e ?e ? t ?
• e ? t app
• t app 0e
• e ? t likes 1e

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Formalisation en Coq

• Opérations de base sur le lambda-calcul
• - substitution dune variable libre par un
  lambda-terme
• - abstraction dune variable
• Définition récursive de labstraction
• ?
  ?
• e ? t app e ? t ? t ?
• t app 0e e ? t
  app
• e ? t likes H1e t
  app 0e
• 
  e ? t likes H1e 1e

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Théorèmes prouvés

• Deux prédicats
• wellFormed et wellTyped.
• ?? ?, ??- u A gt (wellTyped u)
• -Attention à la définition de wellTyped
• Constructeur pour labstraction
• ?l, (wellTyped l) -gt(hasSameType t 0 l)-gt
• getType lt -gt (wellTyped (? t? t l)).
• Propriétés diverses
• ?? ? ress, ??- u A occurs ress ? -gt freeVar
  ress u.

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Calcul de la sémantique

• Analyse syntaxique avec ressources.
• Sémantique dérivationnelle fonction récursive
  qui récupére larbre de dérivation et calcul le
  lambda-terme associé (en fonction des
  ressources).
• Sémantique lexicale substitution de chaque
  étiquette par sa valeur (sa sémantique donnée par
  le lexique)
• Pour linstant lambda-terme non réduit!

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A Faire

• Stratégies de réduction .
• Théorèmes avancés Church-Rosser etc