Classer les problmes additifs

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 Classer les problèmes additifs 

• Séminaire des personnels dInspection
• Du 5 avril 2007
• Intervention de F. BIGORGNE
• IEN 1D de Bar sur seine (Aube)
• Académie de Reims

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Objet de lintervention

• Proposer un cadre danalyse pour, en situation
  denseignement ou dinspection, identifier les
  supports proposés en résolution de problème
• - les classer, les hiérarchiser pour mieux
  programmer
• - en analyser les contenus pour anticiper les
  obstacles et les difficultés afin de différencier
  , aider et remédier

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BIBLIOGRAPHIE
 lenfant et le nombre  M FAYOL Delachaux
Niestlé,1990
 Sémiosis et pensée humaine  R. DUVAL Peter
Lang, 1995 
Représentation des problèmes et réussite en
mathématiques  J.JULO P.U.R, 1995
 Sémantique et résolution de problèmes 
S. ERLICH
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• La Résolution de problèmes additifs

I. Le problème du problème Evolution
 historique  du contenu et des enjeux de la
résolution de problèmes Les IO actuelles
Résoudre différents types de problèmes
II. Classer les problèmes La typologie des
problèmes additifs de Gerard Vergnaud Intérêt de
cette typologie Typologie et progression en
calcul
III. Analyser les difficultés Impact de la
formulation des énoncés M. Fayol S.
Erlich Leffet des changements de registres R.
Duval
III. Pratiques denseignement pour aider les
élèves Le déroulement de séquence faciliter la
représentation du problème Jean Julo
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Le problème du Problème Exemples inventés
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1960 - arithmétique

• Un bûcheron vend un chargement de bois pour 100
  francs.
• Son prix de revient représente quatre cinquièmes
  de son prix de vente.
• Quel est son bénéfice ?

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1970 mathématiques  modernes 
dérive ensembliste (syndrome du rond de patate)

• Un bûcheron échange un ensemble C de bois
• contre un ensemble A d'argent.
• Les éléments de A sont 1 franc et son cardinal
  est 100.
• Dessine 100 points représentant les éléments de
  A. L'ensemble R du prix de revient contient 20
  points de moins que l'ensemble A.
• Représente l'ensemble R comme un sous-ensemble de
  A et réponds à la question suivante
• Quel est le cardinal de l'ensemble B du bénéfice
  ? "

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1980 baisse des exigences syndrome  échec et
maths 

• Un bûcheron vend un chargement de bois pour 100
  francs. Son prix de revient est de 80 francs et
  son bénéfice de 20 francs.
• Consigne souligne le nombre 20

(éventuellement mets toi en groupe, et discute
pour désigner celui qui va souligner)
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1990 dérive méthodologique
Nouvelles consignes Lis plusieurs fois
lénoncé Souligne la question Entoure les données
numériques Encadre les informations
pertinentes Barre les informations
superflues Coche la case qui correspond à la
bonne opération
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Programmes 2002
1. Calcule 45 5 30 5 30 5 25 5 2.
Résous le problème ci-dessous (Extrait du JT)
La dernière tempête a abattu des arbres. Le
bûcheron doit vendre chaque arbre moins cher de
5 . Il vend un arbre 30 . Quel était le prix
avant la tempête ? 3. Rédige ta procédure de
calcul Confronte oralement ta démarche avec ton
voisin Restitue en grand groupe Copie un résumé
de la séance et fais un exercice dapplication
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Différencier les problèmes

• Selon les enjeux

Des problèmes  pour chercher 
Pour  construire des connaissances  Pour
les appliquer (exercice) Pour les évaluer
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Classer les problèmesselon la présentation des
énoncés et leur contenu

• numériques
• Géométriques
• énoncés verbaux
• manipulation dobjets

Selon leur complexité À 1 ou plusieurs
inconnues À 1 ou plusieurs opérations
Selon leur structure conceptuelle
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La typologie des problèmes additifs de Gerard
Vergnaud (Problèmes verbaux simples)
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Elle permet de mieux comprendre

• les différents sens des opérations
• En identifiant finement
• la structure du problème
• Le type de données en jeu (états ou mesures)
• Leurs propriétés (statiques ou dynamiques)
• Leurs relations (chronologiques ou simultanées)

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4 catégories de problèmes simples

• Réunion
• Comparaison
• Transformation
• Composition de transformations

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• Des exemples

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I Catégorie Réunion (partie-partie-tout)
- (eee)
1 - (a a (a))Chris a 23 billes rouges et 49
billes bleues.Combien a-t-il de billes en tout ?
2 - ((a) a a)Chris a des billes rouges et des
billes bleues.Il a 23 billes rouges.En tout, il
a 72 billesCombien a-t-il de billes bleues ?
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II Catégorie Comparaison - (ece)
1 - ((a) c- a)Greg a 25 billes de moins que
Chris.Chris a 44 billes.Combien de billes a
Greg ?
2 - (a (c-) a)Greg a 19 billes.Chris a 44
billes.Combien de billes Greg a-t-il de moins
que Chris ?
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II Catégorie Transformation - (ete)
1 - (a p (a))Pierre a 56 billes.Il joue une
partie et perd 14 billes.Combien de billes a
t-il après la partie ?
2 - (a (p) a)Pierre a 56 billes.Il joue une
partie. Après la partie il a 42 billes.Combien
de billes a t-il perdues ?
3 - ((a) p a)Pierre a des billes.Il joue une
partie et perd 14 billes.Après la partie, il a
42 billesCombien de billes avait-il au début de
la partie?
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IV Catégorie Composition de transformations
(ttt)
1 - (p p (P))Laurent joue deux parties de
billes.A la première partie, il perd 32
billes.A la seconde, il perd 55 billes.Que
s'est-il passé en tout ?
2 - (g p (G))Paul joue deux parties de billes.A
la première partie, il gagne 56 billes.A la
seconde, il perd 44 billes.Que s'est-il passé en
tout ?
21
3 - ((p) p P)Laurent joue deux parties de
billes.A la première, il perd 32 billes.Après
les deux parties, il a perdu 87 billes.Que
s'est-il passé à la seconde partie ?
4 - ((g) p G)Paul joue deux parties de billes.A
la seconde partie, il perd 44 billes.Après les
deux parties, il a gagné 12 billes.Que s'est-il
passé lors de la première partie ?
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Banque de problèmes

• Disponible dans
•  Le moniteur de mathématique 
• Brejeon, Dossat, Huguet, Myx, Péault
• Nathan

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Implicitement dans

•  Japprends les maths 
• R BRISSIAUD RETZ
•  Cap Maths 
• R CHARNAY HATIER

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Intérêt dune typologie De problème
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• Identifier les concepts et les relations
  Pouvoir les expliciter

- Proposer une grande variété de situations
(exhaustivité)

• Etablir des progressions Des problèmes simples
  à une
• opération aux problèmes complexes à plusieurs
  opérations, varier le choix de linconnue

- Différencier Gérer l'hétérogénéité En
fabriquant des énoncés
- Articuler activités de résolution de problèmes
additifs et pratique de calculs additifs

• Comprendre les difficultés, en identifier et
  classer
• les causes Remédier à partir du diagnostic
• des difficultés réelles

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- Aider
1 - En modifiant les énoncés Au niveau des
variables liées au contenu domaine, nombres,
relations, nature de l'inconnue Au niveau des
variables liées à la formulation lexique,
indicateurs sémantiques, organisation
énonciative, implicite Au niveau des variables
liées au contrat pédagogique modalités de
réponse, enjeu, consignes et contraintes

2 - En schématisant la structure relationnelle
utilisation comme support d'explicitation lors de
la correction
3 - En constituant une collection de problèmes
de référence
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Cf Document dapplication C2 des programmes
2002 

•  Exploitation de données numériques 
• P15 à 17
•  Eléments daide à la programmation 
• P 33 à 37

Cf Document daccompagnement    Résolution de
problèmes et apprentissage 
P15  Lapprentissage des solutions
expertes  - Appui sur les situations -
Appui sur le calcul mental - Appui sur les
écritures symboliques
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(No Transcript)
29
(No Transcript)
30

• CALCUL
• ET
• RESOLUTION DE PROBLEMES

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CALCUL REFLECHI ET RÉSOLUTION DE PROBLÈMES
Proposer des séances de calcul réfléchi en
s appuyant sur des problèmes
Donne du sens aux opérations Permet de
sapproprier la typologie des problèmes
Contextualise l usage du calcul réfléchi.
Quelques variables à utiliser ?La
taille des nombres. ?Leur taille
relative un grand et un petit. ?Des
nombres très voisins ?des nombres
grands et non voisins
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Comparaison d états
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(No Transcript)
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(No Transcript)
35
(No Transcript)
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Analyser les difficultésde compréhension des
problèmes
1. Limpact de la structure du problème
de la place de linconnue 2. Limpact des
formulations variables rédactionnelles La
place de la question (Fayol) La valeur des
indicateurs sémantiques de plus, de
moins Ajouter, retirer
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• Une autre façon
• de hiérarchiser
• la difficulté des problèmes

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Les changements de registres sémiotiques
Phénomène de congruence et de non congruence
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Il faut distinguer

• Les représentations mentales (internes) de
  l'élève

• Et les représentations sémiotiques (externes)
• qui peuvent s'exprimer dans
• divers registres
• (langue naturelle, numérique, géométrique,
  graphique, tableaux, schémas).

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Il y a des interactions entre les activités de
pensée (noesis) et les activités permises par
l'intermédiaire des différents registres
sémiotiques (semiosis). La diversité des
registres permet de refléter en pensée des
propriétés différentes d'un même objet.
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Activités cognitives liées aux représentations
3 activités cognitives fondamentales (noesis)
sont liées aux registres sémiotiques (semiosis)
- La formation de représentation sémiotique
- Le calcul ou traitement interne à un registre
- La conversion entre deux représentations
sémiotiques de registres différents

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Lire et comprendre !
Comprendre un énoncé de problème, c'est former,
à partir d'une première représentation sémiotique
(un texte en langue naturelle), une
représentation mentale qui reflète le sens de
l'énoncé de départ (les données et la question).
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Résoudre le problème
cest classiquement 1. Transformer cette
représentation mentale formée en opération
mathématique (2de représentation sémiotique)
2. Effectuer le calcul de l'opération
3. Formuler le résultat numérique obtenu en une
réponse verbale (3ème représentation sémiotique)
articulée à la question posée dans l'énoncé.
- A la formation de deux représentations
mentales (du problème et de la solution) - de
plusieurs représentations sémiotiques successives
- A des traitements cognitifs différents
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Ces différents traitements correspondent à

• Un traitement
• à l'intérieur d'un même registre (un calcul)

- Un double changement de registre (2
conversions)
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Texte mathématique
Texte mathématique
Langage naturel
Langage naturel
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Or, les passages entre registres sémiotiques
différents ne sont transparents et neutres. Leur
difficulté varie en fonction des phénomènes de
congruence (ou de non congruence) entre les 2
représentations sémiotiques concernées.
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Exemple

• Enoncé Opération

Aujourdhui, il fait 3 degrés à Troyes, et 12
degrés à Nice. Il fait plus chaud à Nice quà
Troyes. De combien de degrés?
12 3 ?
Organisation énonciative 3 12
Organisation opérative 12 3

Indicateur sémantique  plus qu 
Signe de lopération -
NON CONGRUENCE CONVERSION DIFFICILE
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Proposer des aides en résolution de problème
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Jean JULO (2000) propose une classification des
formes d'aide, hiérarchisée sur le principe de
préserver au maximum le processus de solution
(aucun indice de solution, non orientation vers
une procédure de résolution, aucun outil de
modélisation). Autrement dit, selon le formule de
Polya Comment aider ni trop, ni trop peu ?
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5 catégories principales d aides sont proposées,
de la plus légère à la plus  guidante 
1 -Les explications préalables - Du but - Des
conditions de réalisation du but
2 - Les problèmes analogues ex
multi-présentation de problèmes isomorphes, avec
ou sans choix de l'un d'entre eux.
3 -Les tâches sur-ajoutées
4 -Les outils de modélisation
5 -Les explicitations -
Instrumentales (ex commentaires de tâches)
- Socio cognitive (tuteur, coopération en
petit groupe)