Presentacin de PowerPoint

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XII École dÉté de Didactique des
Mathématiques Corps - Août 2003
LA PRAXÉOLOGIE COMME UNITÉ DANALYSE DES
PROCESSUS DIDACTIQUES Marianna Bosch et Josep
Gascón
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En fait, il sagit de faciliter une approche de
lenseignement qui ne soit pas seulement centrée
sur les savoirs terminaux  de léléve ou
plutôt sur leur écart aux savoirs scolaires ,
mais sur lensemble des rapports à ces savoirs
et sur lhistoire qui les établit. Guy
Brousseau et André Antibi (2002) Vers
lingénierie de la dé-transposition
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• 1. Point de départ le problème de Pólya
• 2. Le problème de Pólya comme problème de
  recherche en didactique
• 3. Lunité danalyse des processus didactiques
• 4. Praxéologies et connaissances retour au
  problème de Pólya

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1. POINT DE DÉPART LE PROBLÈME DE PÓLYA
Comment obtenir que les élèves apprennent à
construire et à utiliser avec propriété
des stratégies complexes pour résoudre de
 vrais  problèmes mathématiques, une fois
qu'ils dominent les techniques mathématiques
élémentaires et qu'ils ont acquis les
connaissances nécessaires ?

• Problème praxéologique du professeur

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À tous les niveaux de l'éducation, on devrait
inculquer à l'étudiant en même temps qu'une somme
d'information, un certain degré de savoir-faire.
Qu'est-ce que le savoir-faire en mathématiques?
L'aptitude à résoudre des problèmes non pas
les problèmes de routine, mais les problèmes
impliquant un certain degré d'indépendence, de
jugement, d'originalité, de création. C'est
pourquoi, le premier et principal devoir de
l'enseignement des mathématiques dans les lycées
est de souligner la méthodologie dans la
résolution de problèmes. Pólya 1962-65
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There is no automatic transfer from a solid
knowledge of mathematical theory to the ability
to solve non-routine mathematical problems, or
the ability to apply mathematics and perform
mathematical modelling in complex,
extra-mathematical contexts. For this to happen
both problem solving and modelling have to be
made object of explicit teaching and learning
.... Mogens Niss 1999
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Schoenfeld 1992 Instruction has traditionally
focused on the content aspect of knowledge.
Traditionally one defines what students ought to
know in terms of chunks of subject matter, and
characterizes what a student knows in terms of
the amount of content that has been  mastered .

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From this perspective,  learning mathematics 
is defined as mastering, in some coherent order,
the set of facts and procedures that comprise the
body of mathematics. The route to learning
consists of delineating the desired subject
matter content as clearly as possible, carving it
into bite-sized pieces, and providing explicit
instruction and practice on each of those pieces
so that students master them. From the content
perspective, the whole of a student's
mathematical understanding is precisely the sum
of these parts.
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One consequence of experiencing the curriculum in
bite-size pieces is that students learn that
answers and methods to problems will be provided
to them the students are not expected to figure
out the methods by themselves. Over time most
students come to accept their passive role, and
to think of mathematics as  handed down  by
experts for them to memorize . Schoenfeld
1992
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• Comment peut-on reformuler le problème de Pólya
  en un problème de recherche?
• Dans quel domaine de faits et de phénomènes
  didactiques peut-il être énoncé et interprété?
• Quel est le  système empirique  minimal que
  l'on doit modéliser et quel type de modélisation
  semble plus pertinente?

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2. LE PROBLÈME DE PÓLYA COMME PROBLÈME DE
DIDACTIQUE

• Problème praxéologique du professeur
• Que faut-il enseigner et comment ?
• Problem Solving
• Courant pédagogique moderne (années 80)
• Lenseignement de la résolution de problèmes
• comme  impératif pédagogique 
• Modifie le problème du professeur en
  ajoutant
• de nouvelles contraintes didactiques

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Théorie Anthropologique du didactique

• Niveaux de détermination didactique
• Yves Chevallard (2001 y 2002b)

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Organisations ou praxéologies Mathématiques OM
Domaine ? Secteur ? Thème ?
Sujet
OM régionale Tmn / tmn /
qm / Q
OM régionales interreliées
OM locale T1i / t1i / q1 T2k /
t2k / q2
OM ponctuelle T1/t1 T2/t2 T3/t3 T4/t4
T5/t5
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Organisations ou praxéologies didactiques

• Processus détude dont lobjectif est de mettre
  en place une OM d(OM)
• Se structure en 6 dimensions ou moments
• Moment de la première rencontre
• Moment exploratoire
• Moment du travail de la technique
• Moment technologico-théorique
• Moment de linstitutionalisation
• Moment de lévaluation
• Problème praxéologique du professeur  quelles
  OM et quelles d(OM)?

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Trois niveaux pour poser le problème de Pólya

• Niveau ponctuel
• résolution de problèmes isolés
• éloignement volontaire des thèmes
• Niveau local
• on se situe dans létude dun thème
• types de problèmes et relations entre eux
• Niveaux plus génériques
• activité structurante du curriculum
• donner de lunité aux thèmes et sujets traités
•  grandes questions  à étudier

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2.1. La résolution de problèmes au niveau ponctuel

• Travaux dans lapproche du Problem Solving
• OBJET OBSERVÉ groupe délèves se confrontant à
  un problème isolé
• OBJECTIF étude de la pensée mathématique
• mathematical cognition /
  thinking 

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• Schoenfeld (1992)
• 1. Knowledge base
• 2. Problem-solving strategies (heuristics)
• 3. Monitoring and control
• 4. Beliefs and affects
• 5. Practices
• Problèmes de recherche
• Liens entre les 5 catégories de la cognition
• Interaction avec la connaissace du domaine
• Quantité de formation et types de problèmes
• Dimensions cognitive et affective
• Effet de la  communauté (enculturation)

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•  Problem solving, in the spirit of Pólya, is
  learning to grapple with new and unfamiliar
  tasks, when the relevant solution methods (even
  if only partly mastered) are not known. 
• Schoenfeld (1992)

EXEMPLE Soit a0 et a1 deux nombres réels donnés.
Soit la suite an définie par an 1/2 (an -
1 an - 2) pour tout n ? 2. Est-ce que la
suite an converge? Si oui, vers quelle valeur?

• Connaissances mobilisées?
• Stratégies de résolution?
• Heuristiques de contrôle?
• Croyances?
• Pratiques?

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• Type de problèmes - Thème ?
• Convergence de suites
• Suites récurrentes dordre 2 (linéaires et à
  coefficients constants)
• Modélisation par des matrices de transition
• Diagonalisation de matrices

• Secteur ?
• Calcul différentiel
• Équations aux différences finies
• Modélisation en économie
• Algèbre linéaire

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détail
21
(No Transcript)
22
(No Transcript)
23
2.2. Un dépassement possible du niveau ponctuel

• Lévolution des schèmes - Théorie APOS
• Asiala, Brown, DeVries, Dubinsky, Mathews,
  Thomas 1996
• OBJET OBSERVÉ groupe délèves se confrontant à
  un problème dans un domaine ou secteur donné
• OBJECTIF étude de lévolution dun schème
  (Action Processus Objet autres Schèmes)
• Trois stades intra ? inter ? trans
• B. Baker, L. Cooley, M. Trigueros

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• Formulation du problème de Pólya
• Hasta qué punto los estudiantes pueden
  relacionar los distintos conceptos de cada parte
  de las matemáticas para formar un todo que puedan
  utilizar conjuntamente en la resolución de
  problemas? María Trigueros
  (2003)
• Dans un secteur ou domaine particulier
• Calculus. To analyze students understanding of
  the calculus concepts used in solving a non
  routine calculus graphing problem and to
  determine, as specifically as possible, how
  students integrated their understanding of these
  calculus concepts, at which point(s) students
  exhibited the most difficulties, and how students
  attempted to overcome these difficulties.
  
• Baker, Cooley, Trigueros (2000)

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• Exemple

• Faire l'ébauche du graphe d'une fonction h qui
  vérifie les conditions suivantes 
• h est continue et h(0) 2
• h(2) h(3) 0 et lim h ? quand x ?
  0
• h(x) gt 0 quand 4 lt x lt 2 , 2 lt x lt
  0 et 0 lt x lt 3
• h(x) lt 0 quand x lt 4 et x gt 3
• h(x) lt 0 quand x lt 4, 4 lt x lt 2
  et 0 lt x lt 5
• h(x) gt 0 quand 2 lt x lt 0 et x gt 5
• ((x ? ?) ? (h(x) ? ?)) et lim h 2
  quand x ? ?.
• Si l'on élimine la condition de continuité sans
  modifier les autres conditions, existe-t-il
  d'autres graphes possibles qui vérifient toutes
  les conditions restantes?

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• Résultats
• Difficultés pour coordoner

propriétés du graphe
2 intervalles contigus
Sous-schème propriétés
Sous-schème intervalles

• Dépassement du niveau ponctuel
• On étudie la construction de schèmes ? niveau
  local
• On étudie lévolution des schèmes ? niveau
  régional en se situant demblée dans un
  domaine ou secteur concret calcul différentiel,
  algèbre linéaire, etc.

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• Suffisance des données empiriques fournies par
  l'étude du développement psychogénétique pour
  expliquer la construction scolaire des
  connaissances mathématiques.

• Pas de rapport entre lactivité des étudiants et
  le travail mathématique réalisé préalablement
• La base empirique de létude ninclut pas
  lactivité mathématique qu'il est possible de
  mettre en oeuvre dans une institution scolaire,
  c'est-à-dire les conditions et les contraintes
  qui agissent au niveau de l'institution.

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• Disponibilité dingrédients techniques?
• EXEMPLE Tableau de variations

x - ? -4 -2 0 3 5 ?
h - - ? -
- ?
h - ? 0 ?
0 - -
? h
2
-2
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2.3. La résolution de problèmes au niveau
localet au-delà

• Théorie Anthropologique du Didactique
• Problème de Pólya (pour le professeur)
• Quelle organisation didactique permet de
  mettre en place, à partir des OM ponctuelles qui
  existent dans la classe, des OM locales qui
  intègrent différents types de problèmes et de
  techniques pour aller au-delà de la résolution de
  problèmes routiniers?

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Domaine ? Secteur ? Thème ?
Sujet
OM régionale Tmn / tmn /
qm / Q
OM régionales interreliées
OM locale T1i / t1i / q1 T2k /
t2k / q2
OM ponctuelle T1/t1 T2/t2 T3/t3 T4/t4
T5/t5
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• Problème de larticulation du curriculum
• Quelles organisations didactiques permettent
  d'articuler les questions ponctuelles étudiées
  dans chaque thème, les différent thèmes étudiés
  dans chaque secteur, les secteurs d'un même
  domaine et les différents domaines de la
  discipline Mathématiques  ?
• Phénomème de latomisation du curriculum
• Étude de questions ponctuelles et isolées
• Manque de flexibilité des techniques employées
• Absence dune structuration du curriculum aux
  niveaux supérieurs au thème
• Manque de lien entre les secteurs d'un même
  domaine. Ex nombres, algèbre, fonctions

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• Paradoxe de la créativité
• L'idéologie  moderniste qui situe la
  résolution de problèmes  ouverts  (et isolés)
  au cur du processus didactique accentue
  l'isolement et la décontextualisation des
  questions étudiées dans le but de provoquer une
  exploration des élèves  libre  et  créative .
  
• L'atomisation du curriculum se voit alors
  renforcée, ce qui empêche, en particulier, la
  résolution du problème de Pólya lui-même.

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• Lorsqu'on identifie l'activité mathématique
   créative  à une activité ponctuelle libérée
  des techniques routinières et non soumise aux
  restrictions d'un processus d'étude structuré,
  alors l'organisation scolaire rend objectivement
  plus difficile le développement normal d'une
  véritable créativité mathématique.
• Étant donné, de plus, que l'école attribue une
  grande valeur à la créativité, il se produit un
  décalage entre les moyens ou dispositifs
  scolaires mis en jeu et les fins que l'on prétend
  obtenir.
• Chevallard, Bosch et Gascón (1997)

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3. LUNITÉ DANALYSE DES PROCESSUS
DIDACTIQUES

• Lunité d'analyse d une discipline expérimentale
  est, à la fois, la construction théorique de base
  et le domaine élémentaire pour l'analyse des
  données empiriques.
• Rôle privilégié dans le rapport entre théorie et
  données empiriques
• Choix des données empiriques et interprétation
• Type de rapports que lon considère prioritaires
• Types de questions que lon va se poser

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• Étapes de la transposition didactique
• daprès Brousseau et Antibi (2002)

OM à enseigner
OM savante
OM enseignée
OM apprise
I1
I2
I3
I4
Institution scolaire
Communauté détude
Institution légitimante
Noosphère
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POSTULATS
On ne peut comprendre ni expliquer lOM apprise
sans comprendre et expliquer les OM des étapes
antérieures
L'unité d'analyse des processus didactiques doit
contenir une organisation didactique qui permette
de mettre en place, au moins, une OM locale.
Une organisation didactique est un processus
détude structuré en moments qui part dune ou
plusieurs OM ponctuelles et, par lélargissement
et le complément progressif des questions
problématiques qui s y posent, engendre une
série dOM intermédiaires qui finissent par
sintègrer en une nouvelle OM dont elles
constituent la  raison d être .
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• d(OM) OD associée à OM

OM savante
OM à enseigner
OM enseignée
OM apprise
d(OM)
Processus didactique (6 moments) On inclut les
différentes étapes de la transposition didactique
OM de référence Modèle épistémologique
Didactique des Mathèmatiques
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• Dynamique des OM et détransposition didactique

Dynamique endogène / dynamique exogène
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• La dynamique entre les OM scolaires agit à
  différents niveaux et entre tous les ingrédients
  des OM évolution technique, limitation
  technologique, élargissement du type de
  problèmes, etc.

OM locale
OMP4
OMP1
OMP3
OMP2
Ti / ti / q / Q
Ti / ti / q / Q
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• UN EXEMPLE Les limites de fonctions
• Bosch, Espinoza, Gascón (2003)
• OM apprise
• Identification de la limite en un point avec la
  valeur de la fonction en ce point
• Pourquoi parfois on remplace directement x par la
  valeur et parfois il faut manipuler avant la
  fonction?
• Ce qui justifie la valeur de la limite est un
  tableau de valeurs de plus en plus proches du
  point considéré, (existence d'une unique suite
  qui semble converger).
• Absence d une raison d être du calcul des
  limites.
• OM locale formée dOM ponctuelles faiblement
  intégrées (techniques rigides, problèmes type,
  etc.)

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• OM enseignée
• Impossibilité à aller au-delà des problèmes de
  calcul de limites de fonctions données par leur
  expression algébrique ? typification des
  problèmes
• Impossibilité à varier les techniques utilisées
  et justifier leur choix ? rigidité technique
• Discours technologique formel qui ne résout pas
  les demandes des élèves ? besoins technologiques
• Rôle technologique attribué au graphe et au
  tableau de valeurs d une fonction ? ostension
• Échec dans les essais de motiver lintroduction
  de la notion de limite ? problème de motivation
• On retrouve ces contraintes malgré les
  différences entre les d(OM) observées (manière de
  gérer les moments, topos de lélève, motivation,
  etc.)

42

• OM à enseigner et OM savante
• LOM à enseigner se compose d éléments
  provenant de deux OM savantes
• OM1 qui répond au problème du calcul de la limite
  dune fonction élémentaire, basé sur une
   algèbre des limites 
• OM2 qui répond au problème de lexistence de la
  limite dune fonction élémentaire, basé sur la
  définition e - d ou sur la convergence de suites
  de réels.
• MAIS il sagit d une OM  bicéphale  qui
  contient les éléments pratiques t / T de OM1
  et les éléments théoriques q / Q de OM2.

OM  de référence  Modèle épistémologique
43
Calcul des limites
Existence des limites
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• d(OM) OD associée à OM

OM savante
OM à enseigner
OM enseignée
OM apprise
d(OM)
Processus didactique (6 moments) On inclut les
différentes étapes de la transposition didactique
OM de référence Modèle épistémologique
Didactique des Mathèmatiques
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• Unité indissociable de lOrganisation Didactique
  associée à une OM locale
• Lindissociabilité entre le mathématique et le
  didactique suppose que l on considère une OM au
  moins locale, car c est ce qui est construit, au
  moins, par un processus d étude minimalement
  complet.
• Cest lunité fonctionnelle de d(OM) qui rend
  possible, par la dynamique des moments de
  létude, la reconstruction dOM ponctuelles
  intégrées dans des OM locales.
• OM locale et processus détude (6 moments) sont
  des notions  duales 

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• On part d une question problématique dont on se
  propose de lui donner une réponse au sens
   fort  par la mise en place d une OM
• Même si le point de départ sont des problèmes
  isolés, la construction d une technique (moment
  exploratoire) les groupe en types de problèmes
• Le travail de la technique permet de faire
  apparaître des variantes, des inversions, des
  liens entre techniques ? construction d'une
  OM  plus que ponctuelle 
• C est dans la confrontation de plusieurs
  techniques que surgissent les questions
  dinterprétation, justification, généralisation,
  etc. ? moment technologico-théorique
• Institutionnalisation et évaluation ne peuvent
  se limiter aux  blocs pratiques  T / t ?
  discours technologique

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• EXEMPLE Passage lycée / université
• Cecilio Fonseca - U. de Vigo (Galice) - thèse en
  cours
• Mise en évidence expérimentale (questionnaire à
  des étudiants entrant à l université) du manque
  d intégration des OM ponctuelles étudiées au
  Secondaire
• Les thèmes étudiés au lycée ne conduisent pas à
  la mise en place d OM locales intégrées
• rigidité des techniques notation, inverses,...
• inexistence de techniques  rivales 
• absence de discours technologique pour justifier,
  interpréter, formuler les résultats obtenus
• le caractère génératif de la technologie mise en
  place n est pas exploité

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• EXEMPLE Passage lycée / université
• Cecilio Fonseca - U. de Vigo (Galice) - thèse en
  cours
• L analyse des OM à enseigner au Lycée montre les
  mêmes carences que les réponses des élèves
• pas de variations dans les ostensifs écrits
  (notation)
• manque de lien entre les types de problèmes
  étudiés
• inexistence de techniques  rivales 
• absence de discours technologique dans le topos
  de l élève

OM savante
OM à enseigner
OM enseignée
OM apprise
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4. PRAXÉOLOGIES ET CONNAISSANCES RETOUR AU
PROBLÈME DE PÓLYA
Notions fondamentales de la TAD

•  Théorie de la connais-sance institutionnelle
• Institutions, positions
• Personnes, sujets
• Objets, oeuvres
• Rapports personnels
• Rapports institutionnels
• Changement cognitif
• Chevallard (2003) JFQ

•  Praxéologies mathéma-tiques et didactiques 
• T/ t / q / Q
• OM ponctuelles, locales, régionales,...
• Niveaux de détermination didactique
• Organisations didactiques
• Moments de létude

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• Retour au problème de Pólya
• Le processus didactique est une activité
  coopérative entre un groupe d étudiants et un
  directeur d étude.
• Lorsqu on analyse d(OM), il faut prendre en
  considération comment se réalise ce partage de
  responsabilités contrat didactique et topos
  élève
• La part de responsabilité assumée par chacun
  dans les différents moments du processus est
  déterminante dans l évolution des rapports
  personnels et, en dialectique, dans celui de
  l'institution considérée (groupe classe, par
  exemple).

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• Nouvelle formulation
• Le contrat didactique traditionnel maintient
  l élève dans une problèmatique d  aide
  mathématicien . Comment faire pour que l élève
  sautorise à agir en tant que mathématicien?
• Nous vivons dans une culture du recopiage où rien
  n est fait pour que l élève puisse assumer
  d agir en autonomie didactique.
• Quelles d(OM) et quels contrats peuvent permettre
  que les étudiants arrivent à réaliser en
  autonomie la construction d OM nouvelles comme
  réponse à une question ou problème proposé?
• Comment introduire dans la classe des  vrais
  morceaux  du travail de mathématicien?

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•  On peut donner plusieurs définitions de la
  didactique. La plus large, que lon adoptera ici,
  sénonce ainsi  la didactique est la science
  de la diffusion des connaissances et des
  pratiques dans les groupes humains une classe
  scolaire,  la  société, une institution, etc.

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•  La didactique vise bien entendu à nous
  permettre dentretenir un rapport moins naïf,
  mieux armé aux phénomènes de diffusion (et de
  non-diffusion) des savoirs et des savoir-faire,
  par exemple en nous enseignant quon ne peut
  comprendre les apprentissages personnels si lon
  ne cherche pas à comprendre les apprentissages
  institutionnels, et que, semblablement, on ne
  peut comprendre les échecs dapprentissage
  personnels sans prendre en compte les refus de
  connaître de certaines institutions dont la
  personne en échec est le sujet.

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•   Ainsi se noue-t-il, dans la diffusion des
  connaissances et des ignorances, des pratiques et
  des déficits pratiques, une dialectique
  globalement indépassable entre personnes et
  institutions. 
• Yves Chevallard (2002)
• Approche anthropologique du rapport au savoir et
  didactique des mathématiques
• 3e Journées Franco-Québécoises de DM, Paris

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• Notions fondamentales de la TAD
• objet
• rapport personnel dun individu x à un objet o
  R(xo)
• personne formée par un individu x et le
  système de ses rapports personnels R(xo) à un
  moment donné
• institution dispositif social qui permet à ses
  sujets la mise en jeu de manières de faire et de
  penser
• x  connaît  o si R(xo) existe
• (oR(xo) / R(xo) ? ? est l univers cognitif
  de x
• Théorie de la connaissance institutionnelle
• Rapport institutionnel dune institution I à un
  objet o en position p RI(po)
• Univers cognitif de la position p de I
• (oRI(po) / RI(po) ? ?
• En devenant sujet de I en position p, un individu
  x s assujettit aux rapports institutionnels qui
  vont remodeler ses rapports personnels.
• Réciproquement, une institution I et ses
  pratiques existent grâce aux sujets qui sont les
  acteurs des pratiques que linstitution acueille
  et qui la définissent.
• Dialectique des institutions, oeuvres, personnes.