Grafos

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Grafos
P.E.S.

• Matemáticas en la vida cotidiana
• Profesor Juan Luis Vázquez
• José Rodríguez del Campo

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Índice

• Introducción a los grafos
• Definición. Representación
• Restricciones al problema general
• Enfoques aristas y vértices
• Los caminos de Euler
• Reducción
• Trazado de un camino. Automatización
• Los caminos de Hamilton
• Grafos sobre poliedros regulares
• Taxonomía. Grafos Isomorfos
• Topologías no isomorfas y cómo evitarlas

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Índice

• Introducción a los grafos
• Definición. Representación
• Restricciones al problema general
• Enfoques aristas y vértices
• Los caminos de Euler
• Reducción
• Trazado de un camino. Automatización
• Los caminos de Hamilton
• Grafos sobre poliedros regulares
• Taxonomía. Grafos Isomorfos
• Topologías no isomorfas y cómo evitarlas

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Definición

• Nombre Grafo
• Símbolo G
• Concepto Conjunto idealizado de conexiones
• Definición Matemática G(V,A,L) VA
• Vv1, v2, ..., vn
• Aa1, a2, ..., an
• LAplicación de correspondencia L(VA)

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Representación general

• Matricial

• Gráfica

v1
vn
v2
v3
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Restricciones

• La aplicación de correspondencia es inyectiva
• Sólo puede haber una arista entre vértices
• Los elementos de la matriz aij (0,1)
• Tipos de grafos
• Dirigidos. Descartamos este tipo
• No orientados. La matriz es simétrica. Elegimos
  este último
• Un vértice puede estar o no conectado a sí mismo.
  Es decir que haya lazos o no
• Elegimos que no Sin lazos ? aii0

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Opciones ante un grafo

• Recorrer todas sus aristas una sola vez
• El problema de Euler
• Visitar todos sus vértices una sola vez
• El problema de Hamilton

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Índice

• Introducción a los grafos
• Definición. Representación
• Restricciones al problema general
• Enfoques aristas y vértices
• Los caminos de Euler
• Reducción
• Trazado de un camino. Automatización
• Los caminos de Hamilton
• Grafos sobre poliedros regulares
• Taxonomía. Grafos Isomorfos
• Topologías no isomorfas y cómo evitarlas

Inicio
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El problema de Euler

• El camino que recorre consecutivamente todas las
  aristas una sola vez volviendo al punto de
  partida se llama circuito de Euler
• En su ciudad no podía pasar por todos los puentes
  una sola vez y volver

?
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Condiciones necesarias para trazar un camino de
Euler

• Definiciones
• Valencia ó índice de un vértice IiI(vi)a en vi
  ?V
• Número de aristas que confluyen en él
• Un grafo es conexo si dado un vértice cualquiera
  se puede llegar a cualquier otro

• Dado un grafo no orientado y sin lazos, IiI(vi)
  ha de ser par para todo vi?V
• De cada nodo visitado he de poder salir por una
  arista distinta a aquella por la que entré.
• Si I(vi) ? 4, el camino pasa por el vértice más
  de una vez veces I(vi) / 2
• El grafo ha de ser conexo.
• También son suficientes

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Reducción

• ai aristas en vértice vi IiI(vi) es su
  valencia AG? aristas del grafo IG?Ii
  AG? ai
• IG 2AG

• Sustituyo un par de aristas que confluyen en un
  nodo por una entre los otros dos vértices
• El número de aristas del grafo AG lo voy
  reduciendo de 1 en 1 y su valencia IG de 2 en 2

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Trazando un camino de Euler

• Escojo un vértice v0 ? V
• Voy visitando vértices v0,v1,v2,v3,...,vn
  procurando
• No salir nunca por una arista ya usada
• Siempre que sea posible evitar volver a v0, ir a
  otro vértice vn1
• V(vn) ? valencias consumidas hasta vértice vn
  V(vn)2n1
• Cuando tenga que volver a v0 habré consumido
  V(v0)2n2, luego completo un camino

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Automatización del proceso

• G(V,A,L) cumple condiciones de Euler
• Es conexo e IiV(vi) es par para todo vi?V
• Si nos han quedado aristas por recorrer
• Eliminamos las aristas ya recorridas
• Eliminamos vértices sin aristas por recorrer
• Separamos componentes conexas Ki(V,A) que quedan
  Vi ?V Ai ? A
• En toda Ki ? vi Ki?C1 C1?camino recorrido
• Vuelvo a recorrer C1 pero cada vez que llegue a
  vi recorro Ki

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Problemas abiertos

• Grafos direccionales o Digrafos
• Cada celda de la matriz aii ? N,R en lugar de aii
  ? 0,1
• Teorema del camino abierto
• ? v0 y v1 V(v0),V(v1) son impares y V(vi) es
  par para todo i?0,1
• Hacer Euleriano un grafo que no lo es
• Añadiendo las aristas necesarias

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Convertir un grafo en Euleriano

• Añadimos una arista a cada vértice que
  encontremos con valencia impar
• Criterio para trazar el camino -El nombre de la
  Rosa-
• Recorremos el grafo por fuera y regresamos
  pegándonos al camino recorrido

• Ejemplos
• Euler

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Índice

• Introducción a los grafos
• Definición. Representación
• Restricciones al problema general
• Enfoques aristas y vértices
• Los caminos de Euler
• Reducción
• Trazado de un camino. Automatización
• Los caminos de Hamilton
• Grafos sobre poliedros regulares
• Taxonomía. Grafos Isomorfos
• Topologías no isomorfas y cómo evitarlas

Inicio
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Caminos de Hamilton

• Un camino es Hamiltoniano si pasa por todos los
  vértices del grafo una sola vez.
• Condiciones necesarias
• IiV(xi) ? 2 para todo i
• El grafo ha de ser conexo
• Necesarias pero no son suficientes. Un punto de
  estrangulación como el del gráfico- lo hace
  inviable

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Caminos de Hamilton sobre poliedros regulares
caras lados de cada cara vértices
caras en un vértice
de aristas recorridas vértices
Nota Las figuras de poliedros se han obtenido de
http//es.wikipedia.org/wiki/tetraedro http//es.
wikipedia.org/wiki/octaedro http//es.wikipedia.or
g/wiki/hexaedro http//es.wikipedia.org/wiki/dodec
aedro http//es.wikipedia.org/wiki/icosaedro
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Visita a todos los vértices de un Tetraedro
20
Visita a todos los vértices de un Hexaedro
21
Visita a todos los vértices de un Octaedro
22
Visita a todos los vértices de un Dodecaedro
23
Visita a todos los vértices de un Icosaedro
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Índice

• Introducción a los grafos
• Definición. Representación
• Restricciones al problema general
• Enfoques aristas y vértices
• Los caminos de Euler
• Reducción
• Trazado de un camino. Automatización
• Los caminos de Hamilton
• Grafos sobre poliedros regulares
• Taxonomía. Grafos Isomorfos
• Topologías no isomorfas y cómo evitarlas

Inicio
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Taxonomía de grafos. Conceptos previos

• Dos grafos G(VAL) y G(VAL) son isomorfos o
  equivalentes si ? aplicaciones biyectivas V?V
  y A?A y L(VA)L(VA)
• Hipótesis aijaji(0,1) aji0 para todo i
• Aristas no direccionales, matriz simétrica y
  diagonal principal nula
• Teorema Dado un grafo G, existe un GC(G)
  complementario aii0 aijaji aijaji
• Si aii0 aij1 y viceversa
• Un grafo es completo si aijaji1 aji0
• Si nv es impar, V(vi)n-1 es par, ? G es
  Euleriano

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Taxonomía de grafos. Topologías

• Nombres propios de topologías de grafos
• Cadena
• Árbol
• Ciclo

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Taxonomía de grafos. Topologías no isomorfas

• Con vlt5 es condición necesaria y suficiente para
  que dos grafos sean isomorfos que coincidan sus
  listas de valencias
• Para que lo sean con v5 deben coincidir,
  además, las métricas de sus ciclos y cadenas
  terminales
• V5 A5 V(1,3,2,2,2), pero
• Las métricas de los ciclos son 4 y 3
• y las de sus cadenas terminales 2 y 3

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Condición para ser isomorfos si son iguales sus
valencias

• Problema Evitar que tenga ciclos de 3 ó 4
  vértices.
• n?vértices del grafo IiI(vi) ??mín(Ii)
• Si ?lt?n-1 y G es conexo no los hay. Ciclosgt4
  vértices
• Ver figura con n10 y ?3
• Si Ii lt? V i y las valencias son iguales, los
  grafos son isomorfos

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Hemos visto

• Introducción a los grafos
• Definición. Representación
• Restricciones al problema general
• Enfoques aristas y vértices
• Los caminos de Euler
• Reducción
• Trazado de un camino. Automatización
• Los caminos de Hamilton
• Grafos sobre poliedros regulares
• Taxonomía. Grafos Isomorfos
• Topologías no isomorfas y cómo evitarlas

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