Presentaci

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INVESTIGACIÓN OPERATIVA Curso 2003/2004 ASPECTO
S GENERALES DE PROGRAMACION LINEAL
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Tema 2 PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA

1. Introducción. Relación con la Programación Lineal
   Continua
2. Aplicaciones. Medida de la eficiencia productiva
   mediante modelos de análisis envolvente de datos
   (DEA).
3. Formulación de problemas de programación entera y
   mixta. Aplicaciones.
4. Algoritmos de solución
5. Implementación informática
6. Estudios de casos reales de aplicación

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1. Introducción. Programación Lineal Continua

• Objetivos minimizar o maximizar una función
  lineal en la presencia de restricciones lineales
  del tipo desigualdad o igualdad.
• Llamamos vector factible al conjunto de valores
  que satisfacen todas las restricciones.
• Resolución consiste en encontrar aquel valor del
  vector factible que minimiza/maximiza la función
  objetivo solución óptima.

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Formulación del problema
Función objetivo Max(Min)
Zc1x1c2x2..cnxn Restricciones (limitaciones
del conjunto de soluciones) s.a a11x1a12x2..a
1nxn ? ? b1 a21x1a22x2..a2nxn ? ?
b2 ............................................
..... am1x1am2x2..ammxn ? ? bm Otras
restricciones características del tipo de
variables x1,x2,...xn ? 0 Variables de decisión
(incógnitas) xj (j1,2,....n) Recursos
disponibles (datos) b1,b2,...bm Coeficientes
tecnológicos aij , cj (i1,2,..,m j1,2,....,n)
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Ejemplo1
X1 cantidad de producto 1 X2 cantidad de producto
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Lupita está preocupada por su sobrepeso y el
costo de la comida diaria, ella sabe, que para
bajar de peso, debe consumir a lo más, 1350
kcalorías, pero requiere de un mínimo de 500 mgr
de vitamina A, 350 mgr. de Calcio, 200 mgr. de
proteinas y 150 mgr de minerales. Con los
alimentos de la tabla, formula el PL que
resolvería la dieta de Lupita.

 
 
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Ejercicio 2 La cadena de restaurantes California,
que trabaja 24 h. al día, ha abierto un nuevo
restaurante en Las Palmas, y por ello requiere
contratar camareros. El administrador ha dividido
las 24 horas en varios turnos. Si cada camarero
trabaja 3 horarios consecutivos, formular el
problema de P.L. que determine el mínimo número
de camareros por contratar.
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Ejercicio 3 Una empresa determinada tiene
disponible un millón de euros para invertir. El
gerente tiene a su cargo, la díficil tarea de
decidir en cuales de los cinco proyectos
siguientes desea invertir
Si el elegir un proyecto implica, pagar el costo
total del mismo, formular el modelo P.L. que
defina la mejor inversión para la empresa.
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Métodos de resolución Método Gráfico
Muy fácil de utilizar pero sólo es aplicable a
problemas con dos variables. Max Z X11.4X2 S.a
X10.5X2?6, 0.5X1X2?6, X1X2?7
1.4X1X2?9 X1,X2?0
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Resolver gráficamente el problema de P.L del
Ejemplo1 Max Z3x15x2 s.a. x1?4 2x2 ?12
3x12x2 ?18 x1,x2?0
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Métodos de resolución Método Simplex

• Suposiciones
• El conjunto formado por las restricciones es
  convexo
• La solución siempre ocurre en un punto extremo
• Un punto extremo siempre tiene dos puntos
  adyacentes
• Método
• Encontrar una solución inicial factible y
  calcular su valor en la la función objetivo
• Examinar un punto extremo adyacente al encontrado
  en la etapa 1 y calcular el nuevo valor de Z. Si
  el Z mejora repetir la etapa 2. Caso contrario
  examinar otro punto.
• Regla de parada cuando no existe ningún extremo
  adyacente que mejore la solución, nos hallamos en
  el óptimo.

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Programación Lineal Entera

• De aplicación cuando las variables de decisión
  han de ser enteras (número de personal a
  contratar).
• Debemos indicar qué variables ha de tomar
  valores enteros
• El Método Simplex no garantiza un solución
  factible adecuada al problema
• Algoritmo de Bifurcación y Acotamiento ABA
• Primeramente aplicamos el M. Simplex para obtener
  una solución inicial. Si esta es entera (final)
• Caso contrario aplicamos ABA cada iteración de
  ABA escoge un variable que presenta solución no
  entera y divide el problema en dos sub-problemas
  añadiendo a cada uno de ellos una nueva
  restricción (valor superio/inferior). Cada
  sub-problema se resuleve aplicando el M. Simplex

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Programación Lineal Binaria
De aplicación cuando las variables de decisión
sólo pueden tomar dos valores Xi (0,1) Ejercicio
3 Max Z325x1122x295x311x4150x5 s.a 500x12
00x2195x3303x4350x5?1000 Resolución Mediante
el algoritmo ABA modificado, sujeto a Xi (0,1)
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Programación Multiobjetivo
En muchas ocasiones, el decisor se enfrenta a
situaciones en donde existen varios objetivos a
maximizar o minimizar Ejemplo Podemos querer
maximizar el bienestar de la población
minimizando los costes de implantación de una
determinada política El enfoque multiobjetivo
busca el conjunto de soluciones eficientes o
pareto óptimas Max Z12x1-x295x311x4150x5 Max
Z2-x15x2 s.a x1x2?8 -x1x2?3 x1?6,
x2?4 , x1,x2?0
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Análisis Envolvente de Datos (DEA)