Numeros Aleatorios

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Capítulo 4 Números Aleatorios
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Números Aleatorios

• Elemento Central en la Simulación digital.
• Definición formal controvertida.
• Elemento esencial en muchas áreas del
  conocimiento Ingeniería, Economía, Física,
  Estadística, etc.
• Definición intuitiva Una sucesión de números
  aleatorios puros, se caracteriza por que no
  existe ninguna regla o plan que nos permita
  conocer sus valores.
• Los números aleatorios obtenidos a través de
  algoritmos recursivos se llaman pseudoaleatorios.

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Números Aleatorios

• Disponer de un buen generador de números
• aleatorios es clave en
• Computación Aleatorizada
• Computación Evolutiva
• Algoritmos Aleatorizados
• Verificación de Algoritmos
• Validación de Algoritmos
• Criptografía
• etc.

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Números Aleatorios

• La gran disponibilidad de generadores de números
  aleatorios en muchos entornos y compiladores
  puede llevarnos a pensar que para un usuario de
  la simulación no sería necesario estudiar estas
  cuestiones.
• Una lección del pasado reciente nos obliga a
  sacar lecciones y actuar con mucho cuidado con
  dichos generadores (RANDU - IBM).
• El Uso progresivo de modelos de simulación cada
  vez más detallados exige una mayor calidad de los
  generadores de números aleatorios.

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Números Aleatorios
Algunas ideas o propiedades de los generadores I.
Lagarias (1993) publicó un trabajo titulado
Pseudo Random Numbers en Statistical Science.
Donde estudia algunas propiedades tales
como Expansividad Una aplicación
es expansiva si La idea es escoger d como
una aplicación expansiva de manera que la
inestabilidad computacional proporcione
aleatoriedad.
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Números Aleatorios
No Linealidad La composición de aplicaciones no
lineales puede conducir a comportamientos
crecientemente no lineales Ej d(x) x2 d(n)(x)
x2n Complejidad Computacional La aleatoriedad
de Kolmogorov, también denominada
incomprensibilidad computacional. Consiste en
constatar si la aleatoriedad de una sucesión de
números es incomprensible (problema
decidible). Impredecibilidad
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Números Aleatorios

• DEF 1 Kolmogorov (1987) Complejidad
  Algorítmica Una sucesión de números es aleatoria
  sino puede producirse eficientemente de una
  manera más corta que la propia serie.
• DEF 2 LEcuyer (1990) Impredicibilidad Una
  sucesión de números es aleatoria si nadie que
  utilice recursos computacionales razonables puede
  distinguir entre la serie y una sucesión de
  números verdaderamente aleatoria de una forma
  mejor que tirando una moneda legal para decidir
  cuál es cuál.
• Obs Esta definición conduce a los denominados
  generadores PT-perfectos usados en Criptografía.

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Números Aleatorios

• DEF 3 Un Número aleatorio es una realización de
  una variable aleatoria que tiene asociada una ley
  de probabilidades F, en un espacio o modelo de
  Probabilidades (?, ?, P).
• Obs Una particular Ley de Probabilidad base
  para la
• generación de números
  pseudo-aleatorios es
• u1, u2,..., un es la uniforme (0
  1) ui U(0,1).
• DEF 4 Una sucesión de números aleatorios u1,
  u2,..., un es una sucesión de números U(01),
  si tiene las mismas propiedades estadísticas
  relevantes que dicha sucesión de números
  aleatorios.

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Números Aleatorios

• DEF 5 Una sucesión de números aleatorios ui
  es aleatorio si h-úplas de números sucesivos no
  superpuestos se distribuyen aproximadamente. como
  una 0,1h, con h1,2,..,n, para n
  suficientemente grande.
• Obs h2 tenemos (ui,ui1) , i1,2,..n , se
  distribuye como una ley uniforme en 0,12.
• Existe una gran de métodos para generar
• ui ?U(0,1) -Uniformente distribuidas
• - Independientes
• - EU ½ VU 1/12
• - Período largo

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Números Aleatorios

• A las propiedades estadísticas anteriores se
  deben
• agregar otras relativas a la eficiencia
  computacional
• Velocidad de respuesta
• Consumo de memoria
• Portabilidad
• Parsimonia
• Reproducibilidad
• Mutabilidad
• Período

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Números Aleatorios
Métodos de Generación de Números Aleatorios 1.-
Método de los cuadrados medios 2.- Métodos
Congruenciales 3.- Método de registros
desfasados Semilla - Algoritmo -
Validación P1 Obtener semilla
(valores iniciales) P2 Aplicación de
Algoritmos recursivos P3
Validación del conjunto de datos
generados (Test de Aleatoriedad)
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Métodos de los cuadrados Medios
Consiste en que cada número de una sucesión es
producido tomando los dígitos medios de un número
obtenido mediante la elevación al cuadrado. P1
Obtener semilla (valores iniciales 445) P2
Aplicación de Algoritmos recursivos (elevar
al cuadrado) P3 Validación del conjunto de
datos generados
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Métodos de los Cuadrados Medios
Ejemplo Consideremos la semilla 445 X
X2 N Aleatorio 445 1 9802
5 0,9802 9802 96 0792 04
0,0792 792 6 2726 4 0,2726 2726
............... ...............
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Generadores Congruenciales
Xn1 (a Xn b) mod m Los parámetros
del algoritmo se llaman - a multiplicador -
b sesgo - m módulo - Xo semilla (valor
inicial)
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Generadores Congruenciales
Obs 1.- Cuando b0 el generador se denomina
Generador congruencial multiplicativo. 2.-
Cuando b?0 el generador se denomina
Generador congruencial mixto. 3.- A pesar
de la simplicidad una adecuada elección de los
parámetros de a, b y m, permite obtener de
manera eficiente una larga e impredecible
sucesión de números como para considerarse
aleatoria.
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Generadores Congruenciales
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Generadores Congruenciales
Algunas observaciones de las salidas de los
generadores congruenciales i) Un generador
congruencial tiene ciclos iI) La longitud del
ciclo depende de la selección de los parámetros
(ver caso 1) y 3) ) iii) Dentro de selecciones de
parámetros que conducen a la misma longitud,
algunas salidas parecen más aleatorias que
otras. iv) La representación de pares (Xi, Xi1)
sugiere que estos se disponen en un número finito
de hiperplanos.
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Generadores Congruenciales
Los resultados teóricos que veremos a
continuación facilitan la elección de los
parámetros de a y b su demostración puede verse
en el texto clásico D. Knuth (1981) The Art
of Computer Programming.
Ed. A. Wesley Vol N2
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Generadores Congruenciales
Proposición 2.1 Un generador congruencial tiene
su período máximo si y sólo si i) m.c.d (b, m)
1 (primos relativos) ii) a 1 mod p
para cada factor primo p de m. iii) a 1 mod 4
si 4 divide a m. Puesto que b esta asociado
en la práctica con el efecto de traslación,
inicialmente asumiremos ( b0), es decir
partiremos estudiando los generador congruencial
multiplicativos.
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Generadores Congruenciales
Dem Donald Knuth Vol 2 (1981) Obs 1) Lo
anterior sugiere elegir m lo más grande
posible, para asegurarnos un período largo
(posibles elecciones de m son m231 -1, m216
1) 2) Sea p el período de la secuencia
de números aleatorios, si pm el generador se
llama de período completo. 3) Si m es un
número primo entonces el máximo período se
obtiene ssi a 1
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Generadores Congruenciales
Proposición 2.2 Sea un generador multiplicativo
(b0) Xn1 a Xn mod m tiene período p(m-1),
sólo si p es primo. El periodo divide a (m-1)
y es (m-1) si y sólo si a es una raíz primitiva
de m-1, es decir a(m-1)/p ? 1 mod m, para todos
los factores primos p de (m-1). Proposición 2.3
Si a es un raíz primitiva de m, ak mod m, lo es
siempre que k y m-1 sean primos relativos.
Equivalentemente Si a es una raíz primitiva de
m, ak mod m lo es siempre que mcd(k,m-1)1
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Generadores Congruenciales
Dem B. Ripley (1987) Stochastic SimulationEd.
John Wiley. pp 47 Obs 1) En general los
generadores congruenciales son de la forma Xn1
g (Xn, Xn-1,.... ,Xn-k ,...) mod m
g (x) a Xn g (x) a Xn b
g (x) a Xn2 b Xn c Usando g (x)
(a1 Xn-1 a2 Xn-2 ... ar Xn-r), se
obtiene un generador de Fibonacci retardado. La
teoría de estos generadores se puede ver en
Marsaglia (1985)
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Generadores Congruenciales
2) Una buena elección de m, permite obtener un
generador eficiente (ciclo máximo). Pero aún se
debe estudiar con más detalle la elección de a y
b, pues se tienen muchos grados de libertad. 3)
Un buen generador congruencial debe ser i)
De máximo período ii) Su salida debe parecer
aleatoria iii) Poder implementar de forma
eficiente en aritmética de 32 bits.
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Generadores Congruenciales
Un algoritmo de muy fácil implementación del tipo
congruencial es m 231-1 a 75 (raíz primitiva
de m) Xn 75 Xn-1 mod (231-1) un Dicho
generador se encuentra en las bibliotecas IMSL y
NAG
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Generadores Congruenciales
La rutina RANDU, que IBM proporcionaba para sus
equipos consideraba un modelo congruencial
multiplicativo con m 231 a 65539 b
0 Xn 65539 Xn-1 mod (231) un Este
generador proporciona tripletas consecutivas de
números que caen en 15 planos ! Lo que sugiere
cierta previsiblidad en su salida (Mal Generador)
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Generadores Congruenciales
Barsaglia (1968) demostró que sucesiones
consecutivas no superpuestas de n números
aleatorios obtenidos de generadores
multiplicativos caen en, a lo sumo n! m 1/n
hiperplanos paralelos. Algunas cotas de casos
representativos n3 n5 n7 n9
n10 m 216 73 23 16 14 13
m 232 2953 220 80 48 41 Es decir,
en un computador con palabras de 32 bits, menos
de 41 hiperplanos contendrán las 10-úplas
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Generadores Congruenciales
En teoría puede conseguirse que un buen generador
con m 232 produzca 357.913.941 puntos
independientes en un cubo de dimensión 3, siendo
el mínimo número de hiperplanos que contiene
estos puntos 108, en contraste con los 2953. Para
la famosa rutina RANDU de IBM, Xn 65539 Xn
mod (231) las tripletas consecutivas de números
caen en 15 planos.
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Generadores de Registros Desfasados
Se basa en Generadores lineales recursivos
múltiples El estudio de este generador se
asocia al Polinomio característico.

sobre un álgebra finita Fm, con m
elementos. Niederreiter 1992
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Generadores de Registros Desfasados
Niederreiter 1992 Cuando el polinomio es
primitivo el período es (mk-1). Debido a la
complejidad del análisis para m grande,
habitualmente se elige un m pequeño,
generalmente 2 obteniendo generadores de bits de
la forma donde ak 1 ai ? 0, 1
30
Generadores de Registros Desfasados
La adición módulo 2 es equivalente al XOR (ó
exclusivo) 0 XOR 0 0 0 XOR 1 1 1 XOR 1
0 1 XOR 0 1 Esto nos permite implementar
registros de desplazamiento Un generador
propuesto Tausworthe (1985)
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Generadores de Registros Desfasados
En este caso los primeros q bits deben ser
especificados, esto es análogo a la semilla de
los generadores congruenciales. Este tipo de
generador depende del largo de la
palabra Ejemplo h 3 q 5 b1 b2 b3
b4 b5 1 b6 (b3 b1) mod 2 2 mod 2
0 b7 (b4 b2) mod 2 2 mod 2 0 b8
(b5 b3) mod 2 2 mod 2 0 b9 (b6 b4)
mod 2 1 mod 2 1 b10 (b7 b5) mod 2 1
mod 2 1 ... b42 (b39 b37) mod 2 2 mod 2
0
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Conversión del Generador Binario
Transformar la sucesión bi en un número
aleatorio U(0,1) Consideremos bi b1 b2
b3 b4 b5 b6 b7 b8 b9 b10
b11 b12 1 1 1 1 1
0 0 0 1 1 0 1
......... b41 b42 ......... 1
0
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Conversión del Generador Binario
Consideremos l 4 y1 b123 b222 b321 b420
8 4 2 1 15 u1 y2 b523 b622
b721 b820 8 0 0 0 8 u2 y3 b923
b1022 b1121 b1220 8 4 0 1 13 u3
.... y así sucesivamente
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Generadores no Lineales

• Dada la estructura reticular de los generadores
  lineales, algunos autores sugirieron utilizar
  generadores no lineales. (Ver Niederreiter
  (1992))
• Usar un generador con función de transición
  lineal, produciendo una transformación no lineal
  del estado en su salida.
• Usar un generador con función de transición no
  lineal.

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Combinación de Generadores
Una forma de incrementar el periodo e intentar
evitar regularidades que muestren los generadores
lineales es combinar (mezclar) diferentes
generadores para obtener generadores híbridos de
mejor calidad que los generadores
originales. Muchas de las combinaciones
propuestas son heurísticas y algunas con
resultados bastantes pobres. Por ejemplo sean
e dos sucesiones
aleatorias, una sucesión combinada sería Zi
Xi Yi donde es alguna operación binaria
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Otros Generadores

• Generadores Paralelos de números aleatorios.
• Sincronización reproductibilidad gasto
  transición
• Generadores de Fibonacci retardados
• Sincronización reproductibilidad gasto
  transición
• Generadores Comerciales
  IMSL Generador
  congruencial multiplicativo m 231 - 1 a
  16807 397204094 950706376
• http//www.stat.cmu.edu/

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Validación de Generadores Congruenciales
Finalmente la fase de validación se basa en
ciertas propiedades estadísticas que deben
cumplirse a la salida de los generadores de n
aleatorios . Los Test empíricos que veremos a
continuación son genéricos y pueden usarse en la
evaluación de generadores de n aleatorios, en
generadores de variables aleatorias y en la
modelación de entradas de modelos de
simulación. La mayoría de los Test se encuentran
disponibles en paquetes estadísticos comerciales.
SAS, Statistica, etc.
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Validación de Nos Aleatorios
1) Test Este es un test de Bondad de Ajuste. Es
poco potente, por lo que permite justificar el
rechazo de una hipótesis, pero proporciona escaso
apoyo en la aceptación. Dada una muestra X1, X2,
..., Xn de una Fx(x) desconocida. Se desea
contrastar. Ho Fx(x) Fo(x) v/s H1
Fx(x) ? Fo(x)
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Validación de Nos Aleatorios
Efectuando una partición del soporte de X en k
subconjuntos I1, I2, ..., Ik fi
frecuencia absoluta del subconjunto i-ésimo
(Ii) ei número de observaciones esperadas en Ii
bajo Ho
asint
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Validación de Nos Aleatorios
Obs 1) Este Test considera aleatoridad de Fo
U(0,1) 2) Este Test también permite contrastar
la uniformidad S-dimensional de X1 (u1,
u2, ..., us) X2 (us1, us2, ..., u2s)
... Xn (u(n-1)s1, ..., uns) en Fo
0,1s Distribución uniforme en el hipercubo
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Validación de Nos Aleatorios
2) Test de Kolmogorov - Smirnov (Test K-S) Sea Fo
una función de distribución continua y sea Fn la
función de distribución empírica de la
muestra. Bajo Ho Fx(x) Fo(x) se espera que Fn
se aproxime a Fo Dn Sup Fn(x) - Fo(x) La
distribución exacta de Dn está tabulada para
valores n ? 40 y distintos niveles de
significación ?. Para muestras grandes se utiliza
la distribución asintótica de Dn dada por
x ? R
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Test de Kolmogorov - Smirnov
Obs En el caso particular de aleatoridad se
considera X(1) lt X(2) lt .... lt X(n)
estadísticos de orden Fo(X(i)) X(i) Fn
(X(i)) i/n Dn
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Validación de Nos Aleatorios
3) Test de Rachas Dada la sucesión de n
observaciones construimos la sucesión de símbolos
binarios definida por Definimos racha creciente
(decreciente) de longitud L a un grupo seguido
de L números 1() ó números 0(-). Contando el
número de rachas. Bajo aleatoridad de la muestra
se espera que su distribución asintótica sea
normal
N
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Ejemplo Considere la siguiente secuencia de 20
números aleatrorios
0.43 0.28 0.33 0.27
0.12 0.31 0.42 0.01
0.32 0.45 0.98 0.79 0.99
0.55 0.67 0.74 0.16
0.20 0.12 0.58
- - - - - - -
-
L14 EL 13, VL3.23 Z
(14 -13) /
Z 0.55 comparado con el valor crítico N (
13 3.23) El supesto de independencia no puede
ser rechazado
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Test de Rachas
Test de Rachas por encima y debajo de la
mediana. Se cuentan el número de observaciones
que se sitúan a un mismo lado de la mediana. La
distribución asintótica del número de rachas bajo
aleatoridad es normal
N
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Test Serial
4) Test Serial Este Test se usa para contrastar
el grado de aleatoriedad entre números aleatorios
sucesivos de una secuencia. Extensión del test
Chi-Cuadrado Sea X1 (u1, ..., uk) X2
(uk1, ..., u2k) ... Xn (u(n-1)k1,...,
unk) Consideremos la n (k-úplas). Se desea
contrastar que X1, X2, ..., Xn son v.a.i.i.d.
uniformemente distribuidas en el hipercubo
k-dimensional unitario.
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Test Serial
Dividiendo el hipercubo rk en hipercubos
elementales de volumen 1/rk y sea Vj1, j2, ...,
jk el número de k-úplas que caen dentro del
elemento usando la estadística
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Test Serial
Caso Especial (k2) X1 (u1, u2) X2 (u3,
u4) ... Xn/2 (u(n-1), un) Particularmente el
eje X e Y en r subintervalos de igual longitud,
generando r2-cubos del mismo tamaño. El número de
pares esperado por cubo es
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Test Serial
Sea nij el número de pares en el cuadrado (i,
j) i 1,r j 1,r
Entonces la estadística
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Validación de Nos Aleatorios

• Otros Test son
• Test de Permutaciones
• Test de Poker
• Test de Dependencia
• Test de longitud de rachas
• etc.