KALKULUS%20I

1
KALKULUS I

• Asep Solih Awalluddin

2
PENDAHULUAN
3
Tujuan Pengajaran

• Setelah mempelajari materi Kalkulus I,
• mahasiswa diharapkan memiliki (terutama)
• Keterampilan dasar kalkulus yang didukung oleh
• konsep, metode, dan penalaran yang baik
• Kemampuan bernalar dengan logis dan sistematis
• Kemampuan dan kreativitas dalam menyelesaikan
• masalah yang relevan dengan kalkulus
• Kesiapan untuk mempelajari matakuliah lain yang
• memerlukan kalkulus.

4
Kontrak Belajar

• 3 sks, 15-16 minggu.
• Quiztugas max 20.
• Presentasi Kelompok 20
• Midtest 30, pertemaun 8 .
• Final Test 30 , pertemuan 16
• Kehadiran minimal hadir 80
• Buat setiap kelompok Max 3 orang

5
Materi dan Buku Rujukan

• Bab I. Pendahuluan
• Bab II. Fungsi dan Limit
• Bab III. Turunan
• Bab IV. Penggunaan Turunan
• BabV. Integral (Pendahuluan)
• Edwin J. Purcell, Dale Varberg, Calculus With
  Analysis Geometry 8th- Prentice Hall, 2000

6
Mengapa Belajar Kalkulus?

• Secar Teknis Kalkulus adalah metode matematika
• yang menggunakan proses infinite untuk
  menyelesaikan masalah2 finite.
• Tujuan utama Kalkulus adalah menganalisa dua
  masalah fundamental
• - problems of change (e.g. motion)
• - problems of content (e.g. area,
  volume)

7
Pengenalan Awal

• Bilangan Real dan Notasi Selang

8

• Bilangan Real dan Notasi Selang
• Bilangan real meliputi bilangan rasional (seperti
  ½ dan
• 2) dan irasional (seperti v2 dan p). Bilangan
  rasional
• meliputi semua bilangan bulat (positif, nol, dan
  negatif)
• dan pecahan murni. Himpunan semua bilangan real
• dilambangkan dengan R.

9

• Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap
  operasi
• penjumlahan dan perkalian), sifat urutan (tentang
  lt, ,
• dan gt), dan sifat kelengkapan.
• Sifat kelengkapan memungkinkan kita menyatakan
  R sebagai suatu garis (yang tak berlubang), yang
  disebut garis bilangan real.

10
Garis Bilangan
Pada garis bilangan real, setiap titik menyatakan
sebuah bilangan real. Sebaliknya, setiap bilangan
real dapat dinyatakan sebagai sebuah titik pada
garis bilangan real. (Sebagai perbandingan,
himpunan semua bilangan rasional tidak dapat
dinyatakan sebagai sebuah garis.) Untuk
selanjutnya, R menjadi himpunan semesta kita.
11

• Notasi selang di bawah ini akan sering dipakai
• (a,b) x ? R a lt x lt b
• a,b x ? R a x b
• a,b) x ? R a x lt b
• (a,b x ? R a lt x b
• (-8,b) x ? R x lt b
• (-8,b x ? R x b
• (a,8) x ? R x gt a
• a,8) x ? R x a

12
Kerja Kelompok Di Kelas

• Buat macam macam selang dan Gambarkan
• Presentasikan sesuai urutan kelompok
• Siapkan Pertanyaan untuk kelompok lainnya
• Kerjakan Beberapa soal yang berkaitan

13
Pertemuan 2

• Pendahuluan (Lanjutan)

14
Sistem bilangan(review)
N 1,2,3,.
Z ,-2,-1,0,1,2,..
Q
N bilangan asli
Z bilangan bulat
Q bilangan rasional
Contoh Bil Irasional
R bilangan real
15
Bilangan
2 -2 1,1
Nyata
Khayal
Irrasional
Rasional
0,1236
0,126827684340------
Bulat
Pecahan
1 8 4
½ 2/7
15
16

• Semua bilangan bulat adalah bilangan rasional,
  tapi tidak semua bilangan rasional berupa
  bilangan bulat
• Semua bilangan pecahan adalah bilangan rasional,
  tapi tidak semua bilangan rasional berupa
  bilangan pecahan
• Semua bilangan irrasional adalah bilangan
  berdesimal, tapi tidak semua bilangan berdesimal
  adalah bilangan irrasional.
• Bilangan Asli Semua bilangan bulat positif,
  tidak termasuk nol. ? A 1,2,3,4,5,6,..
• Bilangan Cacah Semua bilangan positif atau nol.
  ? A 0,1,2,3,4,5,6,..
• Bilangan Prima bilangan asli yang besarnya
  tidak sama dengan satu dan hanya habis dibagi
  oleh dirinya sendiri. P 2,3,5,7,11..

16
17
Sifatsifat bilangan real

• Sifat-sifat urutan
• Trikotomi
• Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti
  berlaku salah satu dari x lt y atau x gt y atau x
  y
• Ketransitifan
• Jika x lt y dan y lt z maka x lt z
• Perkalian
• Misalkan z bilangan positif dan x lt y maka xz
  lt yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz
  gt yz

18
Garis bilangan
Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu
garis yang disebut dengan garis bilangan(real)
0
-3
1
Selang
Himpunan bagian dari garis bilangan disebut
selang
19
Selang
Jenis-jenis selang
Grafik
Himpunan

selang



a


a











20
Pertidaksamaan

• Pertidaksamaan satu variabel adalah suatu bentuk
  aljabar dengan satu variabel yang dihubungkan
  dengan relasi urutan.
• Bentuk umum pertidaksamaan
• dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah suku banyak
  (polinom) dan B(x) ? 0, E(x) ? 0

21
Pertidaksamaan

• Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari
  semua himpunan bilangan real yang membuat
  pertidaksamaan berlaku. Himpunan bilangan real
  ini disebut juga Himpunan Penyelesaian (HP)
• Cara menentukan HP
• Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi
• , dengan cara

22
Pertidaksamaan

• Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan
• Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk
  pembilangnya
• Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan
  penyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan
  menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat
• Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis
  bilangan, kemudian tentukan tanda (, -)
  pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul

23
Contoh Tentukan Himpunan Penyelesaian
1
Hp
24
Contoh Tentukan Himpunan Penyelesaian
2
Hp
25
Contoh Tentukan Himpunan Penyelesaian
3
Titik Pemecah (TP)
dan


--
3
Hp
26
Contoh Tentukan Himpunan Penyelesaian
4
dan
dan
dan
dan
dan
27
Hp
0
Dari gambar tersebut dapat disimpulkan
Hp
28
Contoh Tentukan Himpunan Penyelesaian
5.


--
--
3
-1
Hp
, 3
TP -1,
29
Contoh Tentukan Himpunan Penyelesaian
6.
30
Untuk pembilang
mempunyai nilai
Diskriminan (D) lt 0, sehingga nilainya selalu
positif, Jadi TP 2,-3
Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah.
--

--
-3
2
Hp
31
Pertidaksamaan nilai mutlak

• Nilai mutlak x (x) didefinisikan sebagai jarak
  x dari titik pusat pada garis bilangan, sehingga
  jarak selalu bernilai positif.
• Definisi nilai mutlak

32
Pertidaksamaan nilai mutlak

• Sifat-sifat nilai mutlak

1
2
atau
3
4
5
6. Ketaksamaan segitiga
33
Soal Latihan
Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

1
2
3
4
5
6
34
PERTEMUAN 3

• Sistem Koordinat Cartesius
• dan Grafik Persamaan

35

• Sistem koordinat Cartesius untuk bidang
  terdiri dari dua sumbu koordinat, sumbu x dan
  sumbu y, yang saling tegak lurus dan berpotongan
  di titik asal (0,0).

36
(No Transcript)
37
Bidang Cartesius terbagi atas empat kuadran.
Setiaptitik pada bidang Cartesius dapat
dinyatakan sebagai pasangan bilangan (x,y), dan
sebaliknya pasangan bilangan (x,y) menyatakan
titik tertentu pada bidang. Jarak antara dua
titik P(x1,y1) dan Q(x2,y2) adalah d(P,Q) (x1
x2)2 (y1 y2)21/2. Persamaan lingkaran yang
berpusat di (a,b) dan berjari-jari r pada
bidang Adalah (x a)2 (y b)2 r2.
38
Persamaan lingkaran yang dimaksud

• (x a)2 (y b)2 r2.

39

• Persamaan umum garis lurus pada bidang adalah
• Ax By C 0
• dengan A, B tak keduanya nol. Jika B ? 0,
  persamaan
• tadi dapat dinyatakan sebagai
• y mx c
• dengan m menyatakan gradien atau kemiringan garis
• tersebut. Persamaan garis lurus yang melalui
  P(x0,y0)
• dengan gradien m adalah
• y y0 m(x x0)

40
Contoh Grafik

• Diberikan suatu persamaan (dalam x dan y),
  seperti y x2
• menggambar grafiknya pada bidang Cartesius.
• Perhatikan bahwa grafik y x2 simetris
  terhadap sb-y.
• (Buat dengan menghitung beberapa titik y sebagai
  ordinat, setelah menetapkan titik x sebagai
  absis)

41
Gambar yang dimaksud
42
Latihan

• Gambarkan Garfik Persamaan Berikut

x2 (y 7)2 12. 6x 5y 8. x y2.
43
Tugas Diskusi Kelompok

• Selesaikan soal di Buku Purcell
• Tiap sub Bab berikut
• 1.2 no. 14,15, 17.
• 1.3 no. 3,5, 7, 13, 17, 21
• 1.4 no. 3, 11, 17, 21, 25
• 1.5 no. 7, 10, 12.
• 1.6 no. 9, 13, 17, 23
• 1.7 no. 1, 11, 17, 19.