METODA SIMPLEX

1
METODA SIMPLEX
2
Pendahuluan

• Programasi linear Suatu model optimisasi
  persamaan linear yang berhubungan dengan
  kendala-kendala linear yg dihadapi.
• Masalah programasi linier Masalah pencarian
  nilai-nilai optimum (maksimum dan minimum).

3
Tahapan Penyelesaian Awal Simplex

• Standarisasi rumusan model
• Menambahkan variabel senjang (slack variabel)
  pada fungsi kendala yg
• bertanda
• Mengurangkan variabel surplus (surplus
  variabel) pada fungsi yg bertanda

4
Fungsi-fungsi kendala yg standar

• a11x1 a12x2 a1nxn s1 b1
• a21x1 a22x2 a2nxn s2 b2
• am1x1 am2x2 amnxn sm bm
• Ringkasnya n
• ? aijxj bj dimana i
  1,2,..,m
• j 1

5

• Hasil perhitungan disajikan dalam bentuk tablo
  (tabel matriks)
• Dalam metode simplex dikenal dua macam model
  penyajian tablo, yaitu
• Tablo berkolom variabel dasar
• Tablo berbaris cj zj

6
Simplex dgn Tablo Berkolom Variabel Dasar

• Optimumkan z c1x1 c2x2 .cnxn 0
• Terhadap
• a11x1 a12x2 a1nxn s1
  b1
• a21x1 a22x2 a2nxn s2
  b2
• am1x1 am2x2 amnxn sm
  bm

7
Bentuk Tablonya
VD z x1 x2 . xn s1 s2 . sn S
z 1 c1 c2 . cn 0 0 . 0 0
s1 s2 sm 0 0 0 a11 a12 . a1n 1 0 . 0 a21 a22 . a2n 0 1 . 0 am1 am2 . amn 0 0 . 1 b1 b2 bm
Pers Z
Pers s1
Pers s2
Pers sm
Matriks utama Am x n
Matriks satuan In x n
8
Keterangan

• Kolom variabel dasar (VD)
• Variabel-variabel yg nilainya ditunjukkan oleh
  konstanta-konstanta yg bersesuaian di kolom S.
• Kolom z
• Sebagai pelengkap yg isinya selalu sama
  (1,0,0,.0)
• 3. Kolom-kolom variabel Berisi
  koefisien-koefisien dari masing-masing variabel
  dlm persamaan yg bersesuaian

9

• Kolom S Solution ini berisi nilai-nilai ruas
  kanan dari persamaan implisit yg terdapat didlm
  model, baik persamaan fungi tujuan maupun
  persamaan fungsi kendala.

10
Langkah-langkah pengerjaan

1. Rumuskan dan standarisasi modelnya
2. Bentuk tablo pertama dgn menetapkan semua
   variabel semu sebagai variabel dasar , dan (semua
   variabel asli sbg variabel adasar)
3. Tentukan satu variabel pendatang (entering
   variable) diantara variabel-variabel adasar yg
   ada untuk dijadikan variabel dasar dlm tablo
   berikutnya

11

• Variabel pendatang variabel adasar yg nilainya
  pada baris-z paling negatif dalam kasus
  maksimisasi atau paling positif dalam kasus
  minimisasi.
• 4. Tentukan satu variabel perantau (leaving
  variable) diantara variabel-variabel dasar yg
  ada, untuk menjadi variabel adasar dlm tablo
  berikutnya.
• Variabel perantau variabel dasar yg memiliki
  rasio solusi dgn nilai positif terkecil.

12

• 5. Bentuk tablo berikutnya dgn memasukkan
  variabel pendatang ke kolom VD dan mengeluarkan
  variabel perantau dari kolom VD, serta lakukan
  transformasi baris-baris tablo, termasuk baris-z.
• Baris kunci baru baris kunci lama unsur
  kunci
• Baris baru baris lama (unsur pd kolom
  kuncinya x baris kunci baru)

13

• 6. Lakukan pengujian optimalitas. Jika semua
  koefisien adasar pada baris-z sudah tidak ada
  lagi yg negatif (untuk kasus maksimisasi atau
  sudah tidak ada lagi yg positif untuk kasus
  minimisasi)
• penyelesaian sudah optimal, tdk perlu dibentuk
  tablo selanjutnya.
• Jika masih, ulangi langkah ke-3 sampai ke-6!

14
Contoh kasus

• Masalah yg dihadapi oleh PT Double-X
• Maksimumkan z 25x1 15x2
• Terhadap 3x1 3x2 24 (kendala masukan K)
• 2x1 4x2 20 (kendala
  masukan L)
• 3x1 21 (kendala
  masukan M)
• x1, x2 0

15

• Model standarnya
• Maksimumkan z 25x1 15x2 0
• Terhadap 3x1 3x2 s1
  24
• 2x1 4x2 s2
  20
• 3x1
  s3 21
• x1,x2,s1,s2,s3 0

16
Tablo I
VD z x1 x2 s1 s2 s3 S
z 1 -25 -15 0 0 0 0
s1 s2 s3 0 0 0 3 1 0 0 4 0 1 0 3 0 0 0 1 24 20 21
Pers Z
Pers s1
Pers s2
Pers s3
17
Pendatang
Plg negatif
Diulangi
VD z x1 x2 s1 s2 s3 S
z 1 -25 -15 0 0 0 0
s1 s2 s3 0 0 0 3 1 0 0 4 0 1 0 3 0 0 0 1 24 20 21
r.s 8
r.s 10
r.s 7 (terkecil)
Unsur kunci
Perantau
18
Transformasi baris kunci (x1 menggantikan s3)
x1 0/3 3/3 0/3 0/3 0/3 1/3
21/3
x1 0 1 0 0 0 1/3 7
19
Transformasi baris-z Transformasi baris-s1 Transformasi baris-s2
1- (-25) 0 1 -25 - (-25) 1 0 -15-(-25) 0 -15 0- (-25) 0 0 0- (-25) 0 0 0- (-25)(1/3) 25/3 0- (-25) 7 175 0 (3) 0 0 3 (3) 1 0 3 (3) 0 3 1 (3) 0 1 0 (3) 0 0 0 (3)(1/3) -1 24 (3) 7 3 0 (2) 0 0 2 (2) 1 0 4 (2) 0 4 0 (2) 0 0 1 (2) 0 1 0(2)(1/3) -2/3 20 (2) 7 6
20
Tablo II
Unsur Kunci
VD z x1 x2 s1 s2 s3 S
z 1 0 -15 0 0 25/3 175
s1 s2 x1 0 0 0 0 3 1 0 -1 0 4 0 1 -2/3 1 0 0 0 1/3 3 6 7
r.s 1
r.s 1,5
r.s 8
21
Transformasi baris kunci (x2 menggantikan s1)
x2 0/3 0/3 3/3 1/3 0/3 -1/3
3/3
x1 0 0 1 1/3 0 -1/3 1
22
Transformasi baris-z Transformasi baris-s2 Transformasi baris-x1
1- (-15) 0 1 0 - (-15) 0 0 -15-(-15) 1 0 0 - (-15) 1/3 5 0 - (-15) 0 0 25/3-(-15)(-1/3) 10/3 175 - (-15) 1 190 0 (4) 0 0 0 (4) 0 0 4 (4) 1 0 0 (4) 1/3 -4/3 1 (4) 0 1 -2/3 - (4)(-1/3) 2/3 6 (4) 1 2 0 (0) 0 0 1 (0) 0 1 0 (0) 1 0 0 (0) 1/3 0 0 (0) 0 0 1/3 (0)(-1/3) 1/3 7 (0) 1 7
23
Tablo III
Sudah tdk ada yg negatif
VD z x1 x2 s1 s2 s3 S
z 1 0 0 5 0 10/3 190
x2 s2 x1 0 0 0 0 1 1/3 0 -1/3 0 0 -4/3 1 2/3 1 0 0 0 1/3 1 2 7
Tablo yg optimal
24
Penafsiran Tablo Optimal

• z 190, x2 1, s2 2 dan x1 7
• optimalitas dicapai pada kombinasi produksi 7
  unit x1, dan 1 unit x2, dengan profit maksimum
  190, dan terdapat sisa masukan L yg tidak
  terpakai (dilambangkan oleh s2, variabel senjang
  pada fungsi kendala L) sebanyak 2 unit.

25

• 2. s1 dan s2 tdk tercantum di kolom VD
• pada penyelesaian optimal semua masukan yg
  dilambangkan K dan M habis terpakai, tdk ada yg
  tersisa.
• 3. Variabel yg tidak tercantum di dalam kolom VD
  masukan yg diwakilinya merupakan sumberdaya
  langka (scarce resources) .
• 4. Variabel semu yg tercantum dlm kolom VD dan
  nilainya di kolom S bkn nol merupakan sumberdaya
  berlebih (abundant resources)

26

• 5. Nilai dual (dual value) yg dicerminkan oleh
  koefisien variabel semu pd baris z, pada
  kolom-kolom tersebut adalah s1, s2, dan s3
  masing-masing 5, 0, dan 10/3.

27
Selesai