Title: Povijest matematike Doba renesanse
1Povijest matematike Doba renesanse
F. M. Brückler Ak.God. 2008/09
2Razvoj matematicke notacije
- U renesansi se pocinje sustavno razvijati
matematicka notacija - Kao oznake za nepoznanicu i njen kvadrat vrlo su
raširene latinske rijeci res i census - U doba renesanse uvode se oznake , -, , lt, gt, v
3Njemacka renesansa
- Johan Müller (Regiomontanus), 15. st.
trigonometrija res-census terminologija - Johannes Widman, 15. st. prvo korištenje
znakova i - - Michael Stifel, 16. st. koristi znakove i -
te v (Arithmetica integra, 1544.), za 248 pište
8)24, ima i oznake za potencije
4(No Transcript)
5- Christoff Rudolff, 16. st. prva njemacka knjiga
o algebri (1525. Die Coss ? kosisti), oznake za
treci i cetvrti korijen - Adam Riese, 16. st. aritmeticki udžbenik za
svakog
6Engleska renesansa
- Robert Recorde, 16. st. znak
- Thomas Harriot, 16.-17.st. znakovi lt i gt
sferna trigonometrija i kartografija uocio da
ako su a,b,c rješenja kubne jednadžbe, možemo ju
zapisati u obliku (x-a)(x-b)(x-c)0
7Francuska renesansa
- Nicolas Chuquet, 15.st. prva francuska knjiga o
algebri (1484.), potencije s pozitivnim i
negativnim koeficijenitima (i nulom), npr. 123
odgovara današnjem 12x3 - François Viète (1540.-1603.) predlaže
korištenje suglasnika za konstante, a
samoglasnika za nepoznanice - Koristi , -, razlomacku crtu
8Talijanska renesansa
- Fra Luca Pacioli (1445.-1517.) Summa de
arithmetica, geometria, proportioni et
proportionalita res-census terminologija, p. za
, m. za -, R. za v - 6.p.R.1018.m.R.90
- 108.m.R.3240.p.R.3240.m.R.90hoc est 78.
(6 v10) (18 - v 90) (108 - v3240 v3240 -
v900)što je 78.
(Broj 90 je zapravo štamparska greška treba biti
900 ali je margina bila preuska pa je odbacena
zadnja nula)
9- Rafael Bombelli (1526.-1572.)
10Renesansna algebra
- Rješenje jednadžbe u radikalima je opis (formula)
rješenje opisana preko cetiri osnovne racunske
operacije i korijena (konacno mnogo operacija!) - Mogu li se jednadžbe stupnja 3 riješiti u
radikalima? A što je s jednadžbama stupnja 4?
11- Fra Luca Pacioli u Summa-i diskusija jednadžbi
4. stupnja x4 a bx2 se - može riješiti preko kvadratne jednadžbe, a
- x4 ax2 b i x4 a bx2 se ne mogu
riješiti pri trenutnom stanju znanosti
- matematicari renesanse znaju da je dovoljno znati
riješiti kubnu jednadžbu bez kvadratnog clana
y3 Ay2 By C 0 y x - A/3 ? x3 px q
12- nepoznati neg. brojevi ? više tipova kubnih
jednadžbi
x3 px q
x3 q px
x3 px q
- Scipione del Ferro (1465.-1526.) ca. 1515.
rješava reduciranu jednadžbu prvog tipa, postupak
drži tajnim - poslije njegove smrti to rješenje imaju (bar)
njegov zet Hannibal Nave te student kojem je del
Ferro pred smrt otkrio metodu (Antonio Fior,
osrednji matematicar, hvali se poznavanjem
rješenja)
13Niccolo Fontana Tartaglia (1499-1557)
- samouk matematicar, 1512. kad su
- Francuzi osvojili Brescia-u usred opceg pokolja
- dobija udarac sabljom u celjust koja mu je
- rasjecena i ostavljen je kao mrtav, zahvaljujuci
majcinoj brizi preživljava, no ostaje mu
nakaznost i teškoce u govoru zbog kojih dobiva
nadimak Tartaglia mucavac
14- Tartaglia rješava jednadžbu tipa x3 px2 q i
ne taji svoje otkrice - Fior ga izaziva na natjecanje (1535) svaki
zadaje 30 zadataka, rok 50 dana, pobjednik je tko
riješi više
- Tartaglia je ocekivao da ce svi Fiorovi zadaci
biti istog tipa razvija vlastitu, u biti del
Ferrovu, metodu za ostale tipove i pobjeduje (u 2
sata riješio sve Fiorove probleme)
15Girolamo Cardano1501.-1576.
- Lijecnik iz Pavia-e
- Buran renesansni život
- Cardano saznaje za natjecanje i postojanje
rješenja kubne jednadžbe, želi saznati
Tartaglia-inu metodu i poziva ga 1539. u Milano - uspijeva ga nagovoriti, uz zakletvu da metodu
nece odati
16Kad su kub i stvari skupa Jednaki nekom
diskretnom brojuNadi druga dva broja Koji se za
taj razlikujuTad ceš to zadržati kao naviku Da
im je produkt uvijek jednak Tocno kubu trece od
stvari Ostatak tad kao opce pravilo Od njihovih
oduzetih kubnih korijena Bit ce jednak tvojoj
osnovnoj stvari
Rješenje kubne jednadžbe
cosa stvar (sinonim za nepoznanicu u doba
renesanse) algebraicari kosisti cosa i kub
jednadžba x3 ax b (a, b gt 0)
17- Cardano i student mu Ferrari razvijaju metodu do
kraja, a saznaju i da Tartaglia nije prvi koji je
otkrio rješenje ? 1545 Cardano objavljuje Ars
magna u kojoj je rješenje jednadžbi 3. i 4.
stupnja (uz isticanje otkrica del Ferra i
Tartagliae)
- Tartaglia 1546 objavljuje svoju verziju price,
napada Cardana, za ciju obranu je zadužen
Ferrari, koji ga izaziva na natjecanje (u Milanu
1548) Tartaglia napušta natjecanje
18Metoda
x3 3px 2q ?pretpostavimo da je rješenje
oblika xuv
19(No Transcript)
20Pojava kompleksnih brojeva
- Cardano rješavanje prethodne jednadžbe
- Rafael Bombelli 1572. daje prva pravila za rad s
kompleksnim brojevima - Jednostavno je pretpostavio da postoje brojevi
oblika avb i primijenio uobicajena pravila
21http//math.fullerton.edu/mathews/n2003/ComplexNum
berOrigin.html
22Lodovico Ferrari (2.2.1522.-5.10.1565.)
- Riješio je jednadžbu 4. stupnja svodenjem na
jednadžbe 2. i 3. stupnja za slucaj jednadžbe
bez kubnog clana, iz x4 px2 qx r 0
svodimo na potpun kvadrat - x4 2px2 p2 px2 - qx p2 - r (x2 p)2
px2 - qx p2 - r - E, sad za svaki y je
- (x2 p y)2 px2 - qx p2 - r 2y(x2 p)
y2 (p 2y)x2 - qx (p2 - r 2py y2) ()
23- Desna strana je kvadratna u x i možemo odabrati y
tako da bude potpun kvadrat (tj. diskriminanta
bude 0 taj uvjet daje kubnu jednadžbu za y
-8y3-20py2(8r-16p2)yq2-4p34pr0). Riješimo tu
kubnu jednadžbu- za dobiveni y je desna strana u
() potpun kvadrat, pa korjenujemo i dobijemo
kvadratnu jednadžbu za x x2pykv.korijen
desne strane.
24François Viète (1540-1603)Quod est, nullum non
problema solvere. Nema problema koji se ne
može riješiti.
- dao prvu jednadžbu stupnja n s n rješenja
- Arhimedovom metodom, upisivanjem 393216-erokuta
izracunao je p na 9 decimala - dao, koliko je poznato, najstariji prikaz broja p
kao beskonacnog produkta - Viètove formule
- vidi Osjecka matematicka škola, 2 (2002), br.2
25- Viète pravnik i hobi-matematicar, savjetnik
kraljeva Henrika III i IV - 1590 dešifrirao španjolski kod
- 1593 belgijski matematicar Adriaan
- van Roomen (Adrianus Romanus, 1561-1615)
zadaje zadatak s jednadž-bom stupnja 45
nizozemski ambasa-dor u Francuskoj izjavljuje da
Francus-ka nema dovoljno dobrih matematicara da
riješe van Roomenov problem ? kralj Henrik IV ga
daje Vièteu, koji ga rješava uocivši u njegovoj
pozadini trigonometrijsku relaciju
26Otkrice logaritama
27Zašto uvesti logaritme?
- lakše je zbrajati nego množiti ? korisno je moci
svesti množenje dva broja na zbrajanje dva broja - ideja napraviti tablice koje brojevima koje
treba množiti pridružuju brojeve koje cemo
umjesto toga zbrojiti, a onda iz iste tablice
vidimo koji produkt polaznih brojeva odgovara
dobivenom zbroju - dva izvora otkrica logaritama izrada
trigonometrijskih tablica za korištenje u
navigaciji kamatni racun
28- 1593. dva danska matematicara predlažu korištenje
trig. tablica za olakšanje racuna pomocu formule
sin(A)cos(B) (1/2)sin(AB) (1/2)sin(A-B) - npr. za 0.173650.99027, u tablicama nademo
0.17365 sin(10), 0.99027 cos(8) te iz
formule slijedi 0.173650.99027 sin(10)cos(8)
(sin(18) sin(2))/2 /tablice/ (0.30902
0.03490 )/2 0.17196
29Tko je izmislio logaritme?
- John Napier (Neper, 1550-1617)
- škotski aristokrat, fanaticni protestant, glavni
interes mu je teologija i održava-nje svojih
imanja, a matematika je hobi - najpoznatiji, ali ne i jedini matematicki
rezultat tablica logaritama
- Joost Bürgi (1552-1632)
- najpoznatiji švicarski urar svog doba,
konstruirao više znanstvenih instrumenata - radio je i na carskom dvoru u Pragu, gdje je
Keplera uveo u algebru, a vj. ga je Kepler
uvjerio da zapiše svoju konstrukciju logaritama
30Napierova konstrukcija logaritama
- Mirifici logarithmorum canonis descriptio 1614 .
- ideja parovi nizova (uz fiksnu bazu aritmeticki
niz eksponenata i pripadni geometrijski niz
potencija) zbroj/razlika eksponenata odgovaraju
produktima/kvocijentima potencija - prvo je svoje eksponente zvao umjetni brojevi,
kasnije je smislio složenicu od logos i
arithmos
31NapLog je padajuci i nema baš svojstva koja danas
ocekujemo od logaritma
32Promatramo paralelno gibanje dvije tocke A i B.
Tocka A se giba konstantnom brzinom (107) ?
njene pozicije u jednakim vremenskim intervalima
cine aritmeticki niz. Tocka B giba se od 0 do
107 na paralelnom pravcu tako da joj brzina pada
i brzine u uzastopnim intervalima cine
geometrijski niz (brzina u svakom trenutku je po
iznosu jednaka putu koji još treba
preci). Udaljenost koju je tocka A prešla do
n-tog trenutka Napier zove logaritmom od
udaljenosti koju B još treba preci u tom trenutku.
33(No Transcript)
34Briggsov doprinos
- Henry Briggs (1561-1630) prof. geometrije u
Oxfordu, oduševljen Napierovim tablicama, 1615.
putuje u Edinburgh da posjeti Napiera i diskutira
o logaritmima - vec prije posjeta je u pismu predložio izradu
tablice onog što bismo danas zvali dekadskim
logaritmom i poceo ju konstruirati (dakle,
predlaže log(1) 0, log(10) 1) - Briggs krece od uvjeta log(10) 1 i konsturira
nove pomocu korijena (logaritam drugog korijena
broja je pola njegova logaritma) 1624.
Arithmetica Logarithmica sadrži tablicu log. od
brojeva od 1 do 20000 i 90000 do 100000 na po 14
decimala - Briggs uvodi pojmove mantise i karakteristike
broja (mantisa je najvece cijelo brojeva
dekadskog logaritma, a mantisa je decimalni dio)
35A što je napravio Bürgi?
- tablicu prirodnih logaritama objavljenu 1620.
- promatra (de facto) eksponencijalnu funkciju s
bazom 1,0001 i promjene potencije koje uzrokuju
promjenu eksponenta za 1
- tablica N, ?N, L za L0,1,2,...
- vidi se da zbroju L-ova odgovara produkt N-ova
- finija razdioba L-ova (npr. gledamo L/104) ? nova
tablica (de facto samo izmjena baze na
(10,0001)10000) ponavljanje postupka dovodi do
toga da je baza sve bliža broju e
36geometrijski ako je N1,000110000L i ?L0,0001
onda se prirasti ?L mogu prikazati kao
pravokutnici širine ?N i visine 1/N gdje se za
svaki N njegov prirast ?N bira tako da je
površina pravokutnika ?L Tada je L suma tih
prirasta od 1 do N što je aproksimativno ln N!
37Primjene matematike u fizici i astronomiji
38Nikola Kopernik (1473-1543)
- od ca. 1510. razvija koncept heliocentricnog
sustava (nije prvi kojem je to palo na pamet ?) - prvi koji kretanjem Zemlje objašnjava prividno
retrograd-no kretanje planeta - De revolutionibus orbium
- coelestium (1543) pregled
- pripadne matematicke teorije
- naizgled lošije od Ptolomeja
- Kopernik pretpostavlja kružne
- orbite ? mjerenja naizgled
- bolje odgovaraju Ptolomejevom
- nego njegovom koceptu
39- Rheticus, mladi prof. matematike u Wittenbergu,
je pomogao izdavanje iako je Rheticus protestant,
Kopernik katolik, a sukobi u to doba na vrhuncu
Rheticus je manuskript na tiskanje odnio u
Nürnberg, ali je brigu o tisku prepustio
luteranskom teologu A. Osianderu koji je vec imao
iskustva s tiskanjem matematickih tekstova - Osiander je umjesto originalnog Kopernikova
predgovora umetnuo pismo citateljima u kojima
kaže da rezultati navedeni u knjizi nisu
zamišljeni kao istina, nego kao jednostavniji
nacin racunanja pozicija nebeskih tijela - takoder je malo izmijenio naslov tako da
- manje izgleda kao tvrdnja o stvarnom svijetu
40Galileo Galilei (1564-1642)
- obrazovan kao medicinar, bavio se astronomijom,
fizikom (njihalo, kohezija, slobodni pad) i
matematikom (prije svega kao argument u svojim
fizikalnim i astronomskim radovima), ali i
glazbom i slikanjem - 1609. izradio vlastiti teleskop i pomocu njega
otkrio kratere na Mjesecu, Sunceve pjege, cetiri
najveca Jupiterova mjeseca, i faze Venere (koje
dokazuju kopernikanski stav moguce su samo ako
je Venera uvijek bliža Suncu nego je to Zemlja).
41predložio Galilejsku relativnost svuda vrijede
iste definicije gibanja ? Galilejeve
transformacije (tocne za male brzine, za velike
ih se mora zamijeniti Lorenzovim) 1632. Dijalog
od dva glavna sustava svijeta zamišljeno kao
rasprava izmedu kopernikanskog i ptolomejskog
sustava, ismijava argumente Crkve ? pada u
nemilost, prisiljen odreci se kopernikanskih
stavova i stavljen je u kucni pritvor u kucnom
pritvoru napisao je raspravu o novim znanostima,
matematicki vrlo rigoroznu (1638, Discorsi e
dimonstrationi matematiche)
42(No Transcript)
43Johannes Kepler (1571-1630)
- 1596. Mysterium cosmographicum prvi kozmološki
model, misticki pitagorejski pogledi na svemir - uvjereni pristaša kopernikanske teorije
- uspijeva postati asistent Tycha Brahea, danskog
astronoma poznatog po kvalitetnim astronomskim
tablicama analizira ih nakon Braheove smrti - iz racuna zakljucuje da su planetarne orbite
elipse
Keplerov prvi kozmološki model (1596)
44- Astronomia Nova (1609 tri Keplerova zakona
kretanja planeta - planeti se krecu po elipsama u cijem jednom
fokusu je Sunce - radij-vektor planeta u jednakim vremenskim
razmacima prelazi jednake površine - kvadrat perioda planeta je proporcionalan duljini
glavne poluosi orbite (Harmonices mundi , 1619)
Keplerova elipticka orbita za Mars
45Simon Stevin (1548-1620)
- Belgijanac, vanbracno dijete, majka se kasnije
vjencala u kalvinisticku obitelj - radio razne cinovnicke poslove, tek s 35 godina
upisao sveucilište (Leiden) - važni doprinosi u trigonometriji, mehanici,
arhitekturi i utvrdivanju, glazbi, zemljopisu i
navigaciji - 1585 La Theinde (Desetina), knjižica s 29 strana
o decimalnim razlomcima (koje su prije njega
koristili Arapi i Kinezi, ali ih on uvodi u
Evropu) komentira da je opce uvodenje decimalnih
mjernih jedinica samo pitanje vremena
46- 1586 De Beghinselen der Weegconst teorem o
trokutu sila (poticaj razvoja statike) treatise
De Beghinselen des Waterwichts hidrostatika
razvoj Arhimedovih ideja tlak tekucine na plohu
ovisi o visini tekucine i površini plohe. - 1586 (3 godine prije Galilea) razlicite mase
danu visinu padaju jednako dugo (eksperiment
bacanjem dvije olovne kugle s crkvenog tornja u
Delftu) - 1608 De Hemelloop astronomija zagovornik
Kopernika - piše i o perspektivi (cak za slucaj da platno
nije okomito na tlo i o inverznoj perspektivi
gdje treba biti oko promatraca ako znamo gdje je
objekt i kakva mu je slika)
47Primjena matematike u likovnoj umjetnosti u doba
renesanse
- Zlatni rez kao idealni omjer
- Pravila linearne perspektive
48De divina proportione, (1509) Luca Pacioli
Luca Paciooli kako ga je prikazao Jacopo de
Barbari, 1495
49ilustracijeda Vinci tema zlatni rez, poliedri
...
http//www.georgehart.com/virtual-polyhedra/leonar
do.html
50Pravila linearne perspektive
http//www.math.nus.edu.sg/aslaksen/projects/persp
ective/
- F. Brunelleschi ca. 1415. ponovno otkriva
pravilo jedinstvene izbježne tocke paralelnih
pravaca koji ne leže u ravnini slike,
izracunavanje velicine slike objekta
51- L. Alberti De Pictura (1445.) prvo cjelovito
djelo o pravilima perspektive ? - P. Della Francesca više matematickih djela o
perspektivi, s vlastitim teoremima (De
prospectiva pingendi)
P. Della Francesca Bicevanje Krista
52Albrecht Dürer (1471-1528)
- iz Nürnberga, trece od 18 djece Madara (Ajtos ?
Türer ? Dürer), otac mu je bio draguljar - vec s 13 godina se istice kao slikar, od 1486
radi kao šegrt u radionici za oltare, 1494 se
ženi bogatom nasljednicom - put u Italiju 1494.-95. iako nije upoznao nikog
od vecih matematicara, a niti Leonarda, saznao je
o Pacioliju i važnosti matematike za umjetnost ?
pocinje proucavati matematicka djela (EE idr.)
53- od ca. 1500 pokazuje matematicki utjecaj u svojim
djelima, u to doba postaje i slavan - nakon smrti oca 1502. Dürer se mora brinuti za
invalidnu i gotovo slijepu majku, otvara svoju
tiskaru i usput prodaje svoja djela na sajmovima
? težak život koji mu uništava zdravlje - 1505.-7. opet u Italiji, sad kao slavni slikar, a
zanima ga ucenje matematike - od 1508. skuplja materijale za djelo o primjeni
matematike u umjetnosti, postavio osnove nacrtne
geometrije - 1514. Melankolija prvi magicni kvadrat u Evropi
- 1525. Unterweisung der Messung mit dem Zirkel und
Richtscheit ? matematika za umjetnike tu se
nalaze i Dürerove krivulje, konstrukcije
pravilnih poligona, ...
54Melankolija (1514.)
55(No Transcript)
56Serija drvoreza Život djevice (ima ih još...)