Himpunan Bilangan

1
Himpunan Bilangan

• Pertemuan 2
• (Himpunan Bilangan)
• .Erna Sri Hartatik.

2

• Himpunan bilangan dan skemanya

3
Skema Himpunan Bilangan
4

• Himpunan bilangan asliadalah himpunan bilangan
  yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat
  positif.
• Ex N 1,2,3,4,5,6,......
• Himpunan bilangan primaadalah himpunan
  bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi
  dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.
• Ex P 2,3,5,7,11,13,.... 

5

• Himpunan bilangan cacahadalah himpunan bilangan
  yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat
  positif digabung dengan nol.
• Ex C 0,1,2,3,4,5,6,....
• Himpunan bilangan bulatadalah himpunan bilangan
  yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat,
  baik negatif, nol, dan positif.
• Ex B ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,... 

6

• Himpunan bilangan rasionaladalah himpunan
  bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan
  yang dapat dinyatakan sebagaip/q dimana p,q ?
  bulat dan q ?0 atau dapat dinyatakan sebagai
  suatu desimal berulang.Contoh 0,-2, 2/7, 5,
  2/11, dan lain lain
• Himpunan bilangan irasionaladalah himpunan
  bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat
  dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak dapat
  dinyatakan sebagai suatu desimal
  berulang. contoh log 2, e, ?7

7

• Himpunan bilangan riiladalah himpunan yang
  anggota-anggotanya merupakan gabungan dari
  himpunan bilangan rasional dan irasional.contoh 
  log 10, 5/8, -3, 0, 3
• Himpunan bilangan imajineradalah himpunan
  bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i
  (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang
  bilangan baru.
• contoh i, 4i, 5i

8

• Himpunan bilangan kompleksadalah himpunan
  bilangan yang anggota-anggotanya (a bi) dimana
  a, b ?R, i² -1,
• dengan a bagian riil dan b bagian
  imajiner.contoh 2-3i, 82

9
Bilangan bulat
10

• Bilangan bulat adalah bilangan bukan pecahan yang
  terdiri dari bilangan
• Bulat positif (1, 2, 3, 4, 5, )
• Nol 0
• Bulat Negatif ( ,-5,-4,-3,-2,-1)
• Himpunan Bilangan bulat
• A , -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,

11
Garis bilangan bulat

• Di dalam bilangan bulat terdapat bilangan genap
  dan ganjil
• Bilangan bulat genap , -6, -4, -2, 0, 2, 4,
  6,
• Bilangan yang habis dibagi dengan 2
• Bilangan bulat ganjil , -5, -3, -1, 1, 3, 5,
  
• Bilangan yang apabila dibagi 2 tersisa -1 atau 1

12
Operasi Hitung Bilangan Bulat

• Penjumlahan
• Sifat Asosiatif ? ( a b ) c a ( b c )
• Sifat Komutatif ? a b b a
• Unsur Identitas terhadap penjumlahan ? a 0
• 0 a
• Unsur invers terhadap penjumlahan ? a (-a)
• (-a) a
• Bersifat tertutup ? a dan b ? bilangan bulat
  maka
• a b c c ? bilangan bulat

13

• Pengurangan
• Untuk sembarang bilangan bulat berlaku
• a b a (-b)
• a (-b) a b
• Sifat Komutatif dan asosiatif tidak berlaku
• a b ? b - a
• (a b ) c ? a ( b c )
• Pengurangan bilangan nol mempunyai sifat
• a 0 a dan 0 a -a
• Bersifat tertutup ? a dan b ? bilangan bulat
  maka
• a - b c c ? bilangan bulat

14

• Perkalian
• a x b ab , a x b -ab , -a x -b ab
• Sifat Asosiatif ? (a x b) x c a x (b x c)
• Sifat komutatif ? a x b b x a
• Sifat distributif ? a x (bc) (a x b ) (a x
  c)
• Unsur identitas untuk perkalian? a x 0 0 atau a
  x 1 1 x a a
• Bersifat tertutup? a x b c
• a, b, c ? bilangan bulat

15

• Pembagian
• Hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah
  bilangan positif ? () () ()
• Hasil bagi dua bilangan bulat negatif adalah
  bilangan positif ? (-) (-) ()
• Hasil bagi dua bilangan bulat yang berbeda adalah
  bilangan negatif ? () (-) (-) atau (-)
  () (-)
• Hasil bagi bilangan bulat dengan 0 (nol) adalah
  tidak terdefinisi ? a 0 ? () atau 0 a? 0
  (nol)
• Tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif
• a b ? b a atau (ab)c ? a (bc)
• Bersifat tidak tertutup

16
Pemangkatan bilangan bulat
Contoh 3 4 4 x 4 x 4 64
5 3 3 x 3 x 3 x 3 x 3
243
17
Akar pangkat dua

• Akar kuadrat (akar pangkat dua)

18
Akar kubik (akar pangkat tiga)
19
Bilangan Riil
20

• Notasi dari himpunan bilangan riil adalah ?
• ? dinyatakan sebagai garis lurus x ? ?? dibaca x
  (sembarang bilangan) anggota dari ? Jika x ? ?
  dinyatakan sebagai suatu titik di garis

• Bilangan x terletak antara -a dan a dengan
  titik pusatnya 0

21
Urutan Pada Garis Bilangan Riil

• Misalkan x lt y dibaca x berada di sebelah kiri
  y
• atau x lebih
  kecil dari y
• x gt y dibaca x berada di
  sebelah kanan y
• atau y lebih
  kecil dari x

• ? dibaca jika dan hanya jika
• x lt y ? y-x positif

22
Sifatsifat bilangan real

• Sifat-sifat urutan
• Trikotomi
• Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti
  berlaku salah satu dari x lt y atau x gt y atau x
  y
• Ketransitifan
• Jika x lt y dan y lt z maka x lt z
• Perkalian
• Misalkan z bilangan positif dan x lt y maka xz
  lt yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz
  gt yz

23

• Penambahan ? xlty ? xz ltyz
• Relasi urutan ? dibaca kurang dari atau
  sama dengan
• ? dibaca
  lebih dari atau sama dengan
• x ? y ? y - x positif
  atau nol

24
Selang (interval)
himpunan bilangan real tertentu yang
didefinisikan dan dilambangkan sebagai berikut
Penulisan Penulisan himpunan Grafik
(a,b) x ? ? a lt x lt b
a,b x ? ? a x b
a,b) x ? ? a x lt b
(a,b x ? ? a lt x 8 b
(a,8) x ? ? x gt a
a, 8) x ? ? x a
(-8,b) x ? ? x lt b
(-8,b x ? ? x b
(-8, 8) ?