La transformada de Laplace

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La transformada de Laplace
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La transformada de Fourier

• La transformada de Fourier para señales
  periódicas es un espectro discreto de
  frecuencias. La primera ecuación es la de
  síntesis y la otra la de análisis.

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La transformada de Fourier

• Existen funciones no periódicas como la función
  escalón, la función rampa, o la función impulso,
  etc. El espectro de estas funciones es un
  espectro continuo en los que se puede encontrar
  energía en cualquier intervalo de frecuencia
  diferente a cero, por pequeño que éste sea.

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La transformada de Fourier

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La transformada de Fourier

• Existen funciones del tiempo que al querer
  encontrar su equivalente en Fourier, nos
  encontramos con una expresión indeterminada al
  sustituir los límites de integración. Este
  problema surge cada vez intentamos obtener la
  transformada de Fourier de una función del tiempo
  cuyo

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La transformada de Fourier

• Algunas de estas funciones son el escalón,
  signo, etc. Aunque su equivalente de Fourier si
  exista y se obtenga a partir de ciertos
  resultados básicos, existen ciertas funciones
  como la exponencial creciente, señales
  aleatorias, y otras que no son absolutamente
  integrales.

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La transformada de Fourier

• Además las técnicas de Fourier no permiten
  analizar los sistemas a partir de las condiciones
  iniciales que este presenta. Estas dos objeciones
  se superan al usar la transformada de Laplace,
  que además tiene una nomenclatura más sencilla y
  una mayor facilidad de manejo.

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Frecuencia compleja

• Antes de comenzar el desarrollo de la
  Transformada de Laplace, se dará una definición
  puramente matemática de la frecuencia compleja,
  para luego desarrollar gradualmente una
  interpretación física mientras avanza el curso.

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Frecuencia compleja

• Se dice que cualquier función que puede
  escribirse en la forma
• donde y son constantes complejas
  (independientes del tiempo), está caracterizada
  por la frecuencia compleja
• Para conocer la frecuencia compleja de una
  función dada por inspección, es necesario
  escribirla de la forma anterior.

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Frecuencia compleja

• Considerese la siguiente función senoidal
  exponencialmente amortiguada
• donde

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Frecuencia compleja

• La parte real de está asociada con la
  variación exponencial si es negativa, la función
  decrece conforme t aumenta, si es positiva
  aumenta, y si es cero, la amplitud de la
  senoidal es constante. Mientras mayor sea la
  magnitud de la parte real de , mayor será la
  rapidez del aumento o disminución exponencial.

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Frecuencia compleja

• La parte imaginaria de describe la variación
  senoidal específicamente, representa la
  frecuencia angular. Una magnitud grande de la
  parte imaginaria indica una variación más rápida
  respecto al tiempo. Por lo tanto, valores mayores
  de la magnitud de , indican una variación más
  rápida respecto al tiempo.

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Frecuencia compleja

• Se denota por a la parte real, y por a la
  parte imaginaria
• es la frecuencia compleja, es la frecuencia
  neperiana y es la frecuencia angular.

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La transformada de Laplace

• La transformada de Laplace se presentará como un
  desarrollo o evolución de la transformada de
  Fourier, aunque se podría definir directamente.
  El objetivo es hacer que la variación en el
  tiempo sea de la forma

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La transformada de Laplace

• Para lograrlo se considerará la transformada de
  Fourier de en vez de ,
  haciendo entonces
• y su respectiva transformada de Fourier

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La transformada de Laplace

• tomando la transformada inversa de Fourier se
  obtiene

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La transformada de Laplace

• Ahora se sustituye por la variable
  compleja , y como es constante,
• donde la constante real se incluye en los
  límites para garantizar la convergencia de la
  integral impropia. En términos de

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La transformada de Laplace

• La ecuaciones anteriores definen el par de la
  transformada bilateral de Laplace.
• Puede pensarse que la transformada bilateral de
  Laplace expresa a como la sumatoria
  (integral) un número infinito de términos
  infinitesimalmente pequeños cuya frecuencia
  compleja es

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La transformada de Laplace

• La transformada de Laplace que se toma con
  límite inferior
• define la transformada unilateral de Laplace, la
  transforma inversa sigue inalterada, pero sólo es
  válida para

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La transformada de Laplace

• También se puede usar el símbolo para
  indicar la transformada directa o inversa de
  Laplace

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La transformada de Laplace

• Linealidad de Laplace

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La transformada de Laplace

• Función exponencial

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La transformada de Laplace

• Función escalón

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La transformada de Laplace

• Función rampa

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La transformada de Laplace

• Funciones de la forma

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La transformada de Laplace

• Función senoidal

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La transformada de Laplace

• Función cosenoidal

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La transformada de Laplace

• Funciones desplazadas en el tiempo

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La transformada de Laplace

• Función pulso

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La transformada de Laplace

• Función impulso

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La transformada de Laplace

• Funciones desplazadas en la frecuencia

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La transformada de Laplace

• Cambio de la escala de tiempo

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La transformada de Laplace

• Teorema de diferenciación real

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La transformada de Laplace

• Teorema del valor final
• Si f(t) y su derivada se pueden transformar por
  el método de Laplace, y si existe el limite de
  f(t) cuando t tiende a infinito.

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La transformada de Laplace

• Teorema del valor inicial
• Si f(t) y su derivada se pueden transformar por
  el método de Laplace, y si existe el limite de
  sF(s) cuando s tiende a infinito.

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La transformada de Laplace

• Teorema de integración real

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La transformada de Laplace

• Teorema de diferenciación compleja

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La transformada de Laplace

• Integral de convolución

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La transformada de Laplace

• Transformada inversa de Laplace
• Integral de conversión
• Tablas
• Fracciones parciales

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La transformada de Laplace

• Fracciones parciales con polos distintos
• Considere F(s) escrita en la forma factorizada
• para mltn

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La transformada de Laplace

• Si F(s) sólo involucra polos distintos, puede
  expandirse en una suma de fracciones parciales
  simples de la siguiente manera

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La transformada de Laplace

• en donde ak(k1,2,...,n) son constantes y se
  denominan como el residuo del polo en
• s-pk. El valor de ak se encuentra multiplicando
  ambos miembros de la ecuación anterior por (spk)
  y suponiendo que s-pk, esto nos lleva a

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La transformada de Laplace

• Se observa que todos los términos expandidos se
  cancelan con excepción de ak. Por lo tanto el
  residuo ak se encuentra a partir de

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La transformada de Laplace

• Encontrar la transformada inversa de Laplace de

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La transformada de Laplace

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La transformada de Laplace

• Fracciones parciales con polos múltiples
• Se usará un ejemplo para demostrar como obtener
  la expansión en fracciones parciales de F(s)

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La transformada de Laplace

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La transformada de Laplace

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