Dia 1

1
2.4.3. Toistokoe Sama koe toistuu monta kertaa.
Kokeet ovat toisistaan riippumattomia. Toistokok
een todennäköisyyksien laskeminen Sama koe
toistuu n kertaa. Ilmiö tapahtuu kokeessa
todennäköisyydellä p P(kaikki n koetta antavat
suotuisan tuloksen) pn.
2
E.2. Noppaa heitetään 4 kertaa. Millä
todennäköisyydellä saadaan a) aina muu kuin 6 b)
ainakin yksi 6? k saadaan kuutonen p(k)
1/6 n 4 k saadaan muu kuin
kuutonen p(k) 5/6 a) P(saadaan aina muu kuin
kuutonen) P(k, k, k, k) (5/6)4 ? 0,48 b)
P(saadaan ainakin 1 kuutonen) 1 P(0 kuutosta)
1 0,48 0,52
3
E.3. Monestiko on heitettävä noppaa, jotta
saataisiin tulos ainakin yksi 6
todennäköisyydellä ³ 0,8? P(saadaan ainakin yksi
kuutonen) 1 P(0 kuutosta) 1 (5/6)n 1
(5/6)n 0,8
n 8,8274... V 9
4
E.4. Björn Borg voittaa erän tenniksessä
todennäköisyydellä 0,7. Hän johtaa erin 2 - 1,
kun alkaa sade. Miten 100 000 dollarin voitto on
jaettava, jos peliä ei voi jatkaa ja voittoon
tarvitaan 3 erävoittoa? P(X voittaa) 0,3 ? 0,3
0,09 P(BB voittaa) 1 P(X voittaa) 1
0,09 0,91 V BBlle 91 000 , vastustajalle
9000
5
2.5. Binomitodennäköisyys n-kertainen
toistokoe Sama koe toistuu n kertaa.
Todennäköisyydet ovat joka kerralla täysin
samat. Yleensä tällöin halutaan tietää millä
todennäköisyydellä näistä n kerrasta on k kpl
suotuisia. Todennäköisyyden laskeminen
n-kertaisessa toistokokeessa P(nssä toistossa
on k suotuisaa) pk (1 - p)n-k
missä n on toistojen määrä, k on suotuisten
tapausten määrä, p on suotuisan tapahtuman
todennäköisyys.
6
E.1. Noppaa heitetään 5 kertaa. Millä
todennäköisyydellä saadaan kolme a) kuutosta b)
samaa?
k kuutonen p(k) 1/6 n 5 k 3
a)
? 0,032
P(3 kuutosta)
b)
P(kolme samaa) 6 0,03215 ? 0,192
7
E.2. Rahaa heitetään 7 kertaa. Millä
todennäköisyydellä saadaan 4 kruunaa?
p(kruuna) ½ n 7 k 4
P(4 kruunaa)
0,27
8
E.3. Pakasta otetaan kortti, joka laitetaan
takaisin. Millä todennäköisyydellä 5. kerralla
saadaan kolmas pata?
P(viidennellä nostolla 3. pata)
0,05