??:2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 ,

1
????
2
??????

• ????? 1 ?????????? 1 ????
• ?????????
• ??2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 ,
• ??(???)4 , 6 , 8 , 9 , 10 , 12
• ?????????

3
????

• ????(Euclid of Alexandria ???? 330 ? ???? 275)

• ?????????????????????????????

4
???????

• ??? ?????

• ??? ????
• ?????? ???????
• ??? ???
• ??? ????
• ??????? ??
• ??? ?????
• ???????? ????

5
???????

• ?? IX.20 ??????????,???????????

• ?????????????!

6
??

• ???????????
• ????????? P
• ?? Q 2 ? 3 ? 5 ? 7 ? ?( P 1)
• ?????,Q ???????
• ??,? Q ???????? 1,
• ?????????? Q ???!
• ?????? !!!
• ??????????

7
?????????

• ???????
• ???????????
• ??? 2003?
• ??? 9909408073?
• ???????????????

8
????

• ??(Marin Mersenne 1588 ? 1648)

• ???,??
• ????(1644)
• 2 p ? 1

9
????

• 22 ? 1 3

23 ? 1 7 25 ? 1 31 27 ? 1 127 211 ? 1
2047 23 ? 89 213 ? 1 8191 217 ? 1 131071 219
? 1 524287 223 ? 1 838607 47 ? 178481 229 ?
1 536870911 233 ? 2304167 231 ? 1 2147483647
10
????

• ?????????????

• ? p 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 ? 257
  ?,2 p ? 1 ?????
• ?????? 257 ? 44 ? p , 2 p ? 1 ?????
• ?????????,? p 67 ? 257 ?, 2 p ? 1 ?????? p
  61, 89 ? 107 ?, 2 p ? 1 ????!

11
????

• ?????????
• 224036583 ? 1
• ??????
• (Josh Findley )
• ??2004 ? 5 ? 15 ?

12
????

• ??(Pierre de Fermat1601 ? 1665)

• ???
• ??,1631 ???????????
• ??????
• ????????????????????????????

13
????

• ????(1640)

22n 1

• 220 1 3
• 221 1 5
• 222 1 17
• 223 1 257
• 224 1 65537

14
????

• ???????? 22n 1 ?????????

15
??

• ??(Leonhard Euler 1707 - 1783)

• ??????
• 13 ????,17 ???????,30 ?????,60 ??????
• ?? 225 1 ?????

16
??

• ? a 27 ? b 5?
• ?? a ? b3 3 ?
• 1 ab ? b4 1 (a ? b3)b 1 3b 16 24?
• ? 225 1 232 1 (2a)4 1 24a4 1
• (1 ab ? b4)a4 1 (1 ab)a4 (1 ? a4b4)
• (1 ab)(a4 (1 ? ab)(1 a2b2))
• ? 232 1 ?? 1 ab 641 ??! (??)
• ??232 1 494967297 641 ? 6700417

17
??

• ???????????????,????????????????

• ???????,???????????,???????????!

18
??

• ??(Carl Friedrich Gauss 1777 ? 1855)

• ??????
• ??????????
• ???????????????,?????????

19
??

• 19 ?????????????? 17 ??????

• ??????????????????????
• ??????????!

20
? 17 ?????
21
?????

• 641 ? 225 1 ????
• ? ?(n) ????? n ???????? ?(10) 4??(100) 25
  ?
• ? n ?????,? ?(n) / n ?? 0 ?(?? n ???,???????????)

22
?????

• ??????(1742)

• ?????? 6 ???,????????????
• ?? 8 3 5?20 7 13?100 17 83 ??
• ?????? 9 ???,????????????
• ?????????????,???????????????,????????????!

23
??? 1933 ? 1996
24
????????

• ??????
• ???????? 2 ????
• ?? (3, 5) (5, 7) (11, 13) (17, 19) (29,
  31) (101, 103) (10016957,
  10016959)
• ????(??? 1973)???????? p,? p 2 ???????????

25
???????

• ???
• ??6, 28, 496, 8128 ?
• ??????

• ????????????