Diapositiva 1

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Investigación de Operaciones
Modelo Monoservidor
Teoría de ColasNotación de Kendall
LeeEjercicios
Sesión Teórico/Práctica No. 2 Nelson José Pérez
Díaz
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Colas

• Las LINEAS DE ESPERA, FILAS DE ESPERA o COLAS,
  son realidades cotidianas
• Personas esperando para realizar sus
  transacciones ante una caja en un banco,
• Estudiantes esperando por obtener copias en la
  fotocopiadora,
• Vehículos esperando pagar ante una estación de
  peaje o continuar su camino, ante un semáforo en
  rojo,
• Máquinas dañadas a la espera de ser
  rehabilitadas.
• Se forman debido a un desequilibrio temporal
  entre la demanda del servicio y la capacidad del
  sistema para suministrarlo.

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Colas

• Los Modelos de Líneas de Espera son de gran
  utilidad tanto en las áreas de Manufactura como
  en las de Servicio.
• Los Análisis de Colas relacionan
• la longitud de la línea de espera,
• el promedio de tiempo de espera
• y otros factores como
• la conducta de los usuarios a la llegada y en la
  cola,
• Los Análisis de Colas ayudan a entender el
  comportamiento de estos sistemas de servicio (la
  atención de las cajeras de un banco, actividades
  de mantenimiento y reparación de maquinaria, el
  control de las operaciones en planta, etc.).

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Colas

• Desde la perspectiva de la Investigación de
  Operaciones, los pacientes que esperan ser
  atendidos por el odontólogo o las prensas dañadas
  esperando reparación, tienen mucho en común.
• Ambos (gente y máquinas) requieren de recursos
  humanos y recursos materiales como equipos para
  que se los cure o se los haga funcionar
  nuevamente.

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Colas
COLAS MAS COMUNES COLAS MAS COMUNES COLAS MAS COMUNES
SITIO ARRIBOS EN COLA SERVICIO
Supermercado Compradores Pago en cajas
Peaje Vehículos Pago de peaje
Consultorio Pacientes Consulta
Sistema de Cómputo Programas a ser corridos Proceso de datos
Compañía de teléfonos Llamadas Efectuar comunicación
Banco Clientes Depósitos y Cobros
Mantenimiento Máquinas dañadas Reparación
Muelle Barcos Carga y descarga
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Características de una LINEA DE
ESPERACARACTERISTICAS DE ARRIBOº
Colas

• DISTRIBUCION DE POISSON
• P(x) Probabilidad de x arribos
• .x número de arribos por unidad de tiempo
• ? rata promedio de arribo
• .e 2.71828

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TEORIA DE COLASDISTRIBUCION DE POISSON
Colas
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TEORIA DE COLASDISTRIBUCION DE POISSON
Colas
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Proceso de nacimiento y muerte
Colas

• Los llamados procesos de nacimiento y muerte
  describen una gran diversidad de situaciones
  prácticas cuya característica principal consiste
  en la aparición y/o desaparición de entes en la
  cantidad 1 ó 1.
• Si N(t) expresa el número total de entes que
  componen la población al tiempo t, entonces N(t)
  puede sufrir cambios crecientes o decrecientes de
  magnitud 1 en un instante infinitesimal de tiempo

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Diagrama Tasas de Transición
Colas

• Dado que hay n clientes en el sistema en un
  instante t, el número de clientes luego de un ?t
  suficientemente pequeño será (n-1) si ocurrió una
  salida o (n1) si fue una entrada

• Se obtiene la ecuación de equilibrio
• ?n-1Pn-1 ?n1Pn1 ( ?n ?n) Pn

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Teoría de Colas
Colas

• Para calcular la probabilidad de estado es
  preciso tener en cuenta
• El proceso de llegada de los paquetes
• La distribución de duración de los paquetes
• La política de servicio
• PEPS Primero en entrar, primero en salir (FIFO)
• UEPS último en entrar primero en salir (LIFO)

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Representación general de la Formación de
colasNotación de Kendall
Colas
A/B/C
Distribución de llegada
Número de servidores
Distribución de servicio
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Colas
Clasificación de Kendall y Lee
Kendall y Lee 1953 Proponen un sistema de
clasificación para sistemas de líneas de espera,
el cual considera seis de las características
mencionadas en la estructura de los modelos.
El cual tiene el siguiente formato (a/b/c)(d/e/f)
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Colas
Clasificación de Kendall y Lee
DISCIPLINA DE SERVICIO DG , FIFO , LIFO RAND,
PRI
PATRON de LLEGADAS M Markoviano G General E
Erlang
TAMAÑO POBLACION Infinita P Finita
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X X , x , X , X, X
PATRON del SERVICIO M Markoviano G
General E Erlang
NUMERO SERVIDORES 1 un servidor s s
servidores en paralelo
TAMAÑO COLA Infinita K Finita
8
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Colas
Clasificación de Kendall y Lee
Donde a Distribución de probabilidad del tiempo
entre llegadas de las transacciones b Distribuci
ones de probabilidad del tiempo de servicio.
Símbolos utilizados en estos dos primeros campos
son D constante Ek distribución Erlang con
parámetro k G cualquier tipo de
distribución GI distribución general
independiente H distribución
hiperexponencial M distribución exponencial
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Colas
Clasificación de Kendall y Lee
c número de servidores d orden de atención de los
clientes Símbolos utilizados en este campo
son FIFO primeras entradas, primeros
servicios LIFO últimas entradas, primeros
servicios SIRO orden aleatorio PR con
base en prioridades GD en forma
general e número máximo de clientes que soporta
el sistema en un mismo instante de
tiempo f número de clientes potenciales del
sistema de líneas de espera
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Colas
Ejemplos
Un modelo (M/D/3)(FIFO/20/20) representa la
clasificación de un sistema donde existen 3
servidores en paralelo atendiendo de acuerdo con
un orden de primeras entradas, primeras salidas,
con un tiempo de servicio constante. El sistema
tiene sólo 20 clientes potenciales, los cuales
podrían encontrarse dentro del sistema en un
mismo instante. El tiempo entre llegadas de los
clientes sigue una distribución exponencial y, en
caso de llegar y encontrar todos los servidores
ocupados, pasan a formarse de una fila común.
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Colas
Clasificación de Kendall y Lee
Respetando la clasificación Kendall y Lee, es
posible agrupar los diferentes modelos de una
manera donde los procesos Markovianos y los no
Markovianos se separan claramente. Los
Markovianos se dividen en modelos de capacidad
finita y modelos de capacidad Infinita. Los No
Markovianos, se clasifican en modelos con tiempos
entre llegadas exponenciales y tiempos de
servicios con cualquier tipo de distribución.
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Colas
M / M / 1 / DG /? / ? markoviano,
markoviano, 1 servidor, población infinita, cola
infinita
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Colas
Clasificación de Kendall y Lee
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Objetivos de los modelos de colas
Colas

• Se pueden obtener los valores siguientes
• Probabilidad de que hayan n paquetes en el
  sistema
• Longitud o número esperado de paquetes en la cola
  LEC
• Longitud o número esperado de paquetes en el
  sistema LES
• Tiempo esperado que un paquete debe permanecer en
  la cola TEC
• Tiempo promedio que un paquete debe permanecer en
  el sistema antes de ser atendido TES
• Número promedio de canales en servicio inactivos
  en el sistema NCI
• Probabilidad de que un paquete que llega deba
  esperar
• Probabilidad de que un paquete deba esperar en la
  cola o en el sistema más de un tiempo t
• Número promedio de paquetes atendidos

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TEORIA DE COLASMedición del Rendimiento de las
Colas
Colas

• Los modelos de colas ayudan a los
  administradores a tomar decisiones para balancear
  los costos de servicio deseables con los costos
  de espera en la línea.
• Los principales factores que se evalúan en estos
  modelos son
• Tiempo promedio que cada cliente u objeto
  permanece en la cola
• Longitud de cola promedio
• Tiempo promedio que cada cliente permanece en el
  sistema (tiempo de espera tiempo de servicio).
• Número de clientes promedio en el sistema.
• Probabilidad de que el servicio se quede vacío
• Factor de utilización del sistema
• Probabilidad de la presencia de un específico
  número de clientes en el sistema.

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Colas
Medidas de desempeño

• Medidas de desempeño
• Utilización de Servicio
• Tasa de entrada Promedio
• Número Promedio de Clientes en el sistema
• Número promedio de Clientes en la fila
• Tiempo promedio de espera en el sistema
• Tiempo promedio de espera en la fila
• Coeficiente cuadrado de variación

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Modelo Monoservidor
Colas
Área de almacenamiento temporal
Servidor
Llegada de paquetes
Salida de paquetes
Modelo de cola en un servidor único

• Los paquetes son clientes formando cola en
  espera del servicio

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Modelo Monoservidor
Colas

• Ejemplos de modelos de un solo servidor
• Taquilla de Pago CANTV
• Caja de UNITEC
• Cafetin
• Cobro de Estacionamiento (Parqueaderos)

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Modelo Monoservidor
Colas

• Los paquetes llegan en forma aleatoria a una
  velocidad promedio de

• Forman una cola en espera de servicio en el área
  de almacenamiento temporal y luego, con alguna
  política de servicio especificada, son atendidos
  a razón de un promedio de

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Modelo Monoservidor
Colas

• La cola empieza a formarse cuando

Llegada de paquetes
Capacidad de transmisión del paquete

• Para un área de almacenamiento temporal finita,
  la cola llegaría a saturación cuando exceda
  . Cuando el área de almacenamiento temporal se
  satura, se bloquean las llegadas de todos los
  paquetes.

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Modelo Monoservidor
Colas

• Si se supone un área de almacenamiento temporal
  infinita, la cola se vuelve inestable a medida
  que

• Para la cola con un solo servidor

• Asegura estabilidad

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Modelo Monoservidor
Colas

• Un parámetro crítico en el análisis de la teoría
  de formación de colas es Utilización o
  intensidad de tráfico en el enlace

• Es la razón entre la carga y la capacidad
  del sistema

• Para el caso de un solo servidor se presenta
  congestión cuando

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TEORIA DE COLASModelo M/M/1
Investigación de Operaciones

• Asumimos que existen las siguientes condiciones
• Los clientes son servidos con una política PEPS y
  cada arribo espera a ser servido sin importar la
  longitud de la línea o cola.
• Los arribos son independientes de arribos
  anteriores, pero el promedio de arribos, no
  cambia con el tiempo.
• Los arribos son descritos mediante la
  distribución de probabilidad de Poisson y
  proceden de una población muy grande o infinita.
• Los tiempos de servicio varían de cliente a
  cliente y son independientes entre sí, pero su
  rata promedio es conocida.
• Los tiempos de servicio se representan mediante
  la distribución de probabilidad exponencial
  negativa.
• La rata de servicio es más rápida que la rata de
  arribo.

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FÓRMULAS PARA COLASMODELO M/M/1
Investigación de Operaciones
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FÓRMULAS PARA COLASMODELO M/M/1
Investigación de Operaciones
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Colas
Nomenclatura
pii Probabilidad de que el sistema cambie del
estado i a un estado j después de un intervalo
de tiempo Pn Probabilidad en estado estable de
que existan n clientes en el
sistema L Número promedio de clientes en el
sistema Lq Número promedio de clientes en la
fila W Tiempo promedio de permanencia en el
sistema Wq Tiempo promedio de permanencia en la
fila ? Factor de utilización promedio del
servicio Ct Costo total promedio del sistema de
líneas de espera por unidad de tiempo Ce Costo
promedio de servicio por cliente por unidad de
tiempo Cq Costo promedio de espera por cliente
por unidad de tiempo
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Elementos a estudiar en las COLAS

• Medida del performance en períodos
  estacionarios.
• P0 Probabilidad de que no existan clientes en
  el sist.
• Pn Probabilidad de que existan n clientes en
  el sistema.
• L número de clientes promedio en el sistema.
• Lq número de clientes promedio en la cola.
• W Tiempo promedio de permanencia de un
  cliente en el sistema.
• Wq Tiempo promedio de permanencia de un
  cliente en la cola.
• Pw Probabilidad de que un cliente que llega
  deba esperar para ser atendido.
• r Tasa de uso de cada servidor (porcentaje
  del tiempo que cada servidor es ocupado).

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Elementos a estudiar en las COLAS

• Medidas del Desempeño para la cola M / M /1
• P0 1- (l / m)
• Pn 1 - (l / m) (l/ m)n
• L l / (m - l)
• Lq l 2 / m(m - l)
• W 1 / (m - l)
• Wq l / m(m - l)
• Pw l / m
• r l / m

La probabilidad de que un cliente espere en el
sistema más de t es P(Xgtt) e-(m - l)t
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Elementos a estudiar en las COLAS

• Zapatería Marys
• Los clientes que llegan a la zapatería Marys son
  en promedio 12 por minuto, de acuerdo a la
  distribución Poisson.
• El tiempo de atención se distribuye
  exponencialmente con un promedio de 8 minutos por
  cliente.
• La gerencia esta interesada en determinar las
  medidas de performance para este servicio.

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SOLUCION
Elementos a estudiar en las COLAS

• Datos de entrada
• l 1/ 12 clientes por minuto 60/ 12 5 por
  hora.
• m 1/ 8 clientes por minuto 60/ 8 7.5
  por hora.
• Calculo del performance

P0 1- (l / m) 1 - (5 / 7.5) 0.3333 Pn 1
- (l / m) (l/ m) (0.3333)(0.6667)n
L l / (m
- l) 2 Lq l2/ m(m - l) 1.3333 W 1 /
(m - l) 0.4 horas 24 minutos Wq l / m(m -
l) 0.26667 horas 16 minutos
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Ejemplo
Colas

• Un peluquero atiende sus clientes sin cita
  previa, el primero en llegar es el primero en ser
  atendido. La llegada de los clientes se
  distribuye de acuerdo con un proceso de Poisson
  con un promedio de 5/hora. Los clientes prefieren
  esperar el tiempo necesario antes de ser
  atendidos. El tiempo de corte del cabello está
  exponencialmente distribuido con un tiempo de
  corte promedio de 10 minutos.
• Cual es el número promedio de clientes en el
  negocio y el número promedio de personas
  esperando a ser atendidas?

39
Ejemplo Cont...
Elementos a estudiar en las COLAS
40
Ejemplo Cont...
Elementos a estudiar en las COLAS

• La probabilidad de que los clientes no deban
  esperar antes de ser atendidos es P0

41
Ejemplo Cont...
Elementos a estudiar en las COLAS

• Esta probabilidad es

• Esto indica que el 16.7 de los clientes son
  atendidos sin hacer cola y el 83.3 deben esperar
  algún tiempo en la cola antes de pasar a la silla
  del peluquero.

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Ejemplo Cont...
Elementos a estudiar en las COLAS

• Sólo hay cuatro sillas en la peluquería y el
  dueño desea conocer qué porcentaje de clientes
  que esperan deben hacerlo parados. La
  probabilidad de no encontrar silla es

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Ejemplo Cont...
Elementos a estudiar en las COLAS

• El 40 del tiempo los clientes no encuentran
  silla disponible.
• Cuánto debe el cliente esperar en promedio en la
  cola y en el sistema, está dado por la formulas y
  LEC y LES

• En el ejemplo LEC y LES es de 50 y de 60 minutos
  respectivamente.