LOGIQUE ET PROGRAMMATION LOGIQUE

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LOGIQUE ET PROGRAMMATION LOGIQUE

• Nadia KABACHI
• Maître de Conférences
• UFR dInformatique
• Nadia.Kabachi_at_univ-lyon1.fr

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PLAN
LE COURS DE LOGIQUE EST BASE SUR LE COURS DE
NARENDRA JUSSIEN

• INTRODUCTION
• LOGIQUE DES PROPOSITIONS
• LOGIQUE DU PREMIER ORDRE
• PROLOG

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Définition
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Historique
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Logique des propositions
Notion de proposition
6
Logique des propositions
Notion de valeur de vérité
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Logique des propositions
Étude du calcul propositionnel
Quatre étapes

• Comment écrire les formules?
• Aspects syntaxiques
• Comment déterminer la valeur de vérité dune
  formule ? Aspects sémantiques
• Existe-t-il un lien entre logique et
  mathématique? Aspects algébriques (Mr G. Boole)
• Comment démontrer (automatiquement) de nouveaux
  résultats ? Aspects déductifs

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Logique des propositions
Aspects syntaxiques
Les données
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Logique des propositions
Aspects syntaxiques
F lensemble des formules du calcul
propositionnel
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Logique des propositions
Aspects syntaxiques
Règles délimination des parenthèses

• Supprimer les parenthèses entourant les variables
  
• Tenir compte de la priorité des connecteurs ordre
  standard , ?, ?, ?, ?
• Considérer quun opérateur unaire lemporte
  toujours sur un opérateur binaire

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Logique des propositions
Aspects sémantiques
Valeurs de vérité
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Logique des propositions
Aspects sémantiques

• Table de vérités

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Logique des propositions
Aspects sémantiques
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Calcul propositionnel
?
1 1 0 0
1 0 1 0
0
1 1 1 0
1 1 1 1
1
0
1
0
1
1
0
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Logique des propositions
Aspects sémantiques
Formules particulières

• NB on dit aussi que F est consistante.

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Logique des propositions
Aspects sémantiques
Exemple On considère (p ? q) ? (q ? r)
p q r p p ? q q ? r (p ? q) ? (q ? r)
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1
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Logique des propositions
Aspects sémantiques
Formules particulières
NB on dit aussi que F est inconsistante, contradictoire, ou encore insatis?able.
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Logique des propositions
Aspects sémantiques
Formules particulières
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Logique des propositions
Aspects syntaxiques

• p ? q et p ? q sont tautologiquement
  équivalentes. On peut donc écrire
• (p ? q) ? (p ? q).

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Logique des propositions
Aspects syntaxiques
Équivalences tautologiques bien connues
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Logique des propositions
Aspects syntaxiques
Équivalences tautologiques bien connues
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Logique des propositions
Aspects syntaxiques
Équivalences tautologiques bien connues
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Logique des propositions
Aspects syntaxiques
Équivalences tautologiques bien connues
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Logique des propositions
Aspects syntaxiques
Formes normales

• NB si dans chaque Hi ?gurent toutes les
  variables ou leur négation, on parle de forme
  canonique

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Logique des propositions
Aspects syntaxiques
Forme normale disjonctive
A faire pour le TD
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Logique des propositions
Aspects syntaxiques
Forme normale conjonctive

• A retenir La forme normale conjonctive est
  aussi appelée forme clausale

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Logique des propositions
Aspects déductifs
Notion de conséquence
NB Une conséquence logique de Ø est une
tautologie
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Logique des propositions
Aspects déductifs
Notion de conséquence
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Logique des propositions
Aspects déductifs
Systèmes formels
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Logique des propositions
Aspects déductifs
Systèmes formels Démonstrations et théorèmes
NB Différence entre conséquence logique et
démonstration
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Logique des propositions
Aspects déductifs
Prise en compte dhypothèses
NB On dit aussi que J est un modèle de A.
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Logique des propositions
Aspects déductifs
Principales règles dinférences
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Logique des propositions
Aspects déductifs
Propriétés dun système formel théorèmes

• Un système formel est correct ssi si A
  alors A
• tout ce qui est démontrable est vrai
• Un système formel est complet ssi si A
  alors A
• tout ce qui est vrai est démontrable

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Logique des propositions
Aspects déductifs
Limites du calcul propositionnel
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Logique des propositions
Aspects déductifs
Être plus proche du langage naturel

• NB dans un langage du second ordre, on peut
  aussi quanti?er les relations et les fonctions

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Calcul des prédicats
Logique du premier ordre

• Comment écrire les formules ?
• Aspects syntaxiques
• Comment déterminer la valeur de vérité dune
  formule ?
• Aspects sémantiques
• Comment démontrer de nouveaux résultats ? Aspects
  déductifs

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Une modélisation
Calcul des prédicats
Logique du premier ordre

• Les chandelles sont faites pour éclairer
• Quelques chandelles éclairent très mal
• Quelques objets qui sont faits pour éclairer le
  font très mal

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Syntaxe
Calcul des prédicats
Logique du premier ordre
Alphabet
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Calcul des prédicats
Logique du premier ordre
Syntaxe
Alphabet
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Vocabulaire
Calcul des prédicats
Logique du premier ordre

• Les termes
• les variables et les constantes sont des termes
• f(t1, , tn) est un terme si
• les ti sont des termes
• f est un symbole de fonction darité n
• Les atomes
• R(t1, , tn) est un atome si
• les ti sont des termes
• R est un symbole de relation darité n

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Formules
Calcul des prédicats
Logique du premier ordre

• Un atome est une formule
• Si F et G sont des formules et x une variable,
  alors les expressions suivantes sont des formules
• ?(F)
• (F) ? (G) et (F) ? (G)
• (F) ? (G) et (F) ? (G)
• ?x (F) et ?x (G)

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Formules
Calcul des prédicats
Logique du premier ordre
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Calcul des prédicats
Logique du premier ordre
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Calcul des prédicats
Logique du premier ordre
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Calcul des prédicats
Logique du premier ordre
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Occurrence dune variable
Calcul des prédicats
Logique du premier ordre

• Une occurrence dune variable x dans une formule
  F est un endroit où x apparaît dans F sans être
  immédiatement précédée par ? ou ?
• Une occurrence libre de x dans F est définie

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Occurrence libre
Calcul des prédicats
Logique du premier ordre
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Caractéristiques des variables
Calcul des prédicats
Logique du premier ordre

• Une variable est dite libre dans une formule F si
  elle a au moins une occurrence libre (sinon on
  dit quelle est liée)
• Une formule nayant pas de variable libre est
  dite close

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Calcul des prédicats
Logique du premier ordre
50
Logique du premier ordre
Suite en TD
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Logique du premier ordre
Notion de substitution
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Aspects sémantiques
Calcul des prédicats
Logique du premier ordre

• Interprétation
• Formules universellement valides
• Le théorème de Herbrand
• Principe de résolution adapté au calcul des
  prédicats

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Calcul des prédicats
Logique du premier ordre
Vers la notion de modèle
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Vers la notion de modèle
Calcul des prédicats
Logique du premier ordre

• Soit L le langage du calcul des prédicats
• une interprétation de L cest la donnée de
• un ensemble E non vide appelé ensemble de base
• pour chaque symbole de prédicat R darité n, dun
  sous-ensemble R de En
• pour chaque symbole de fonction f darité n,
  dune application f de En vers E (y compris pour
  les constantes)
• on peut alors calculer la valeur de tout terme
  clos (cest un élément de E)
• on peut donc associer une valeur de vérité à tout
  atome et donc par extension à toute formule close

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Exemple dinterprétation
Calcul des prédicats
Logique du premier ordre

• ?x?y?z (P(x,y) ? Q(y,z) ? R(x,z))
• ?x?y ( (M(x,y) ? P(x,y) ? Q(x,y))
• M(a,b) ? P(c,b) ? P(d,a) ? P(e,c)
• E
• P
• a

anne, bernard,
M est la mère de Q est un parent de R
est le grand-père de
est le père de
b bernard c charles d didier e éric
anne
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Modèle
Calcul des prédicats
Logique du premier ordre
NB on dit aussi que F est une tautologie.
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Preuve et démonstration
Calcul des prédicats
Logique du premier ordre

• Comment prouver une formule du calcul des
  prédicats ?
• Prouver quelle est vraie
• passer en revue toutes les interprétations !
• Prouver quelle est fausse
• trouver une interprétation qui invalide la
  formule

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Toutes les interprétations ?
Calcul des prédicats
Logique du premier ordre

• Une représentation utile des formules
• forme clausale
• Un théorème qui simplifie la vie
• théorème de Herbrand
• Principe de résolution pour le calcul des
  prédicats
• vers une automatisation des démonstrations

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Transformation de formule
Calcul des prédicats
Logique du premier ordre

• Forme normale prénexe
• quantificateurs en tête de la formule
• formule sous forme normale conjonctive
• Forme standard de Skolem
• formule sous forme normale prénexe
• quantificateurs existentiels précédant
  quantificateurs universels

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Calcul des prédicats
Logique du premier ordre
Mise sous forme normale prénexe
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Mise sous forme normale prénexe
Calcul des prédicats
Logique du premier ordre

• Éliminer les connecteurs ? et ?
• Transporter les ? devant les atomes
• en utilisant (?? F ? F) et les lois de De Morgan
• Transporter les quantificateurs en tête de la
  formule
• Ne pas hésiter à renommer les variables pour
  pouvoir utiliser les propriétés des
  quantificateurs.

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Transport des quantificateurs
Calcul des prédicats
Logique du premier ordre
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Calcul des prédicats
Logique du premier ordre
Mise sous forme normale prénexe
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Calcul des prédicats
Logique du premier ordre
Mise sous forme normale prénexe
En TD
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Logique du premier ordre
Forme de Skolem
NB lorsque les quanti?cateurs universels
précèdent les quanti?cateurs existentiels, on
parle de forme de Herbrand
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Inversion de ? et de ?Skolemisation
Calcul des prédicats
Logique du premier ordre

• Lorsquon a
• on remplace y par une fonction g qui à x associe
  y

NB On dit aussi quon  Skolémise  la variable
y
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Logique du premier ordre
Forme standard de Skolem
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Une représentation utile des formules Forme
clausale
Calcul des prédicats
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Calcul des prédicats
Une représentation utile des formules Forme
clausale
En TD
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Une représentation utile des formules Forme
clausale
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Univers de Herbrand
Calcul des prédicats
Logique du premier ordre

NB si aucune constante napparaît dans C, on pose H0 a.
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Calcul des prédicats
Logique du premier ordre
Univers de Herbrand
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Calcul des prédicats
Logique du premier ordre
Univers de Herbrand
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Calcul des prédicats
Logique du premier ordre
Univers de Herbrand
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Calcul des prédicats
Logique du premier ordre
Univers de Herbrand
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Théorème de Herbrand
Calcul des prédicats
Logique du premier ordre

• Théorème Un ensemble S de clauses est
  insatisfaisable si et seulement si il existe un
  ensemble S dinstances de base insatisfaisable
• Corollaire Un ensemble de clauses est
  satisfaisable si et seulement si tout ensemble
  fini dinstances de base est satisfaisable

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Principales applications du théorème de Herbrand

• Preuve quune formule est universellement valide
  ? on montre que sa négation est insatis?able.
• Validation de raisonnement ? on montre que les
  prémisses et la négation de la conclusion forment
  un ensemble de clauses insatis?able

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(No Transcript)
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(No Transcript)
80
(No Transcript)
81
(No Transcript)
82
(No Transcript)
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(No Transcript)
84
(No Transcript)
85
(No Transcript)
86
(No Transcript)
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Principe de résolution pour le calcul des
prédicats
NB cest le théorème de Herbrand qui nous permet ces transformations
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Vocabulaire
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Vocabulaire
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Vocabulaire
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Principe de résolution
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Principe de résolution
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Principe de résolution
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Principe de résolution
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Principe de résolution
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Principe de résolution
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Principe de résolution
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Principe de résolution
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Principe de résolution
100
Principe de résolution
101
Principe de résolution
102
Principe de résolution