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INTEGRAL DEFINIDA

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Podemos ent o escrever, de forma indiferente: PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA 1.Trocando os limites de integra o, a integral muda de sinal: Exemplo: ... – PowerPoint PPT presentation

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Title: INTEGRAL DEFINIDA


1
INTEGRAL DEFINIDA
Nice Maria Americano da Costa
2
A NOÇÃO DE SOMAS INTEGRAIS
A ferramenta da integral definida que estudaremos
envolve um dos conceitos mais fundamentais da
Análise Matemática. Ela surge a partir da noção
de somas integrais.
Nosso ponto de partida é o cálculo de áreas sob
curvas de funções. Suponhamos que é dada uma
função f(x), contínua no intervalo a,b,
mostrada no gráfico. Desejamos calcular a área
delimitada por esta curva no intervalo.
M
Aproximadamente, poderíamos dividir o intervalo
a,b em pequenos segmentos e construirmos
retângulos sob a curva e somar as suas áreas.
m
X0a
Xnb
x1
x2
Xn-1
x3
3
Sejam, em cada pequeno intervalo xi, xi1, mi e
Mi o menor valor e o maior valor da função no
intervalo. Então
Mi
mi
Correspondem à área do retângulo menor, neste
intervalo, e à área do retângulo maior no mesmo
intervalo, respectivamente. Construamos então
duas somas dessas áreas

Essas somas são chamadas de somas integrais
inferior e superior, respectivamente. Temos ainda
que vale
4
Note que
representa a área do retângulo construído com o
menor valor da função, em todo o intervalo a,b.
e que
representa a área do retângulo construído com o
maior valor da função, em todo o intervalo a,b.
M
m
X0a
x3
Xnb
x1
x2
Xn-1
5
Vemos que
Podemos escrever então
Ou seja a área construída com o retângulo
formado pelo tamanho do intervalo e o maior valor
da função é maior que a soma integral superior,
que, por sua vez, é maior que a soma integral
inferior, que, por sua vez, é maior que área
construída com o retângulo formado pelo menor
valor da função e o tamanho do intervalo.
6
A INTEGRAL DEFINIDA
Mas sob a curva a área é delimitada pela própria
curva, pelo eixo x e pelas retas xa e xb. Se
considerarmos cada pequeno intervalo nos quais
subdividimos o intervalo inteiro, a área sob este
pequeno pedaço da curva será igualmente
delimitada pela curva, o eixo x e as retas xxi e
xxi1.
X0a
Xnb
xi1
Xi
7
Tomemos agora um ponto intermediário,x?i em cada
subintervalo xi,xi1 e construamos a área do
retângulo formado por f(?i ) e pelo tamanho do
subintervalo, ?xi.
Somemos essas áreas assim formadas
Sint é a soma integral da função f(x) no
intervalo a,b. Como mi ? f(?i)?Mi, teremos
Somando sobre todos os subintervalos, teremos
finalmente
8
Se agora, calculamos o limite de Sint, quando o
maior ?xi?0 e esse limite existe, dizemos que
esse limite é a integral definida de f(x)
Vemos então que a integral definida de uma função
num intervalo a,b corresponde à área sob a
curva, da figura trapezoidal curvilínea,
compreendida entre o eixo x e as retas xa e xb
X0a
Xnb
9
Na expressão simbólica da integral definida
a é o limite inferior da integração, b o limite
superior da integração, o intervalo a,b é o
intervalo de integração e x é a variável de
integração
Se f(x) é contínua sobre um intervalo a,b ela é
integrável neste intervalo. A integral definida
de f(x) depende dos limites de integração mas não
da variável de integração. Podemos então
escrever, de forma indiferente
10
PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA
1.Trocando os limites de integração, a integral
muda de sinal
Exemplo
2.Pode-se retirar um fator constante de dentro do
sinal de integração
Demonstração
11
3.A integral definida da soma de duas funções é
igual à soma das integrais definidas das mesmas
funções
Demonstração
4.Se no intervalo a,b, as funções f(x) e ?(x)
satisfazem à condição f(x) ? ?(x), então, tem-se
12
Demonstração
e
Temos, então
13
5.Sendo m e M, respectivamente, o menor e o maior
valor da função no intervalo a,b, então, tem-se
Demonstração
Por hipótese, no intervalo a,b, tem-se

Pela propriedade anterior
14
Teorema da Média. A função f(x) seno continua no
intervalo a,b, existe um ponto ?, tal que se
tem
Demonstração
Considerando que, respectivamente, m e M são o
menor valor e o maior valor de f(x) no intervalo,
teremos
Considerando que o resultado da integral é um
número, designemos esse por ?. Temos então
com
Como a função é contínua no intervalo, haverá um
valor de f(x) igual ? isto é, um ponto ?, a???b,
tal que f(?) ? (o valor médio da função no
intervalo).
15
Propriedade 6. a,b e c sendo três números
arbitrários, ter-se-á
a
b
c
x
16
INTEGRAL DEFINIDA Fórmula de Newton-Leibniz
Considerando que, para a integral
, o limite de integração inferior seja fixo,a.
Variemos o limite superior, b, e calculemos,
sucessivas integrais de f(x). Os resultados,
portanto dependerão de b. Podemos então trocar a
variável de integração por t. Então
?(x) é portanto igual à área subtendida pelo
trecho da curva entre a e x, o eixo t e as retas
ta e tx.
x
a
t
17
Teorema. Sendo f(x) uma função contínua e se
colocamos
então
Demonstração
Se
então
Aplicando o teorema da média,temos
18
Teorema Fundamental . Se F(x) é uma primitiva de
f(x) então
Demonstração
Seja F(x) uma primitiva de f(x). Pelo teorema
anterior, ?(x) é também uma primitiva de f(x).
Mas,
Além disso, duas primitivas de uma mesma função
diferem por uma constante. Então
Determinemos C, calculando a integral para xa
Mas
19
Coloquemos então xb
Esta é a fórmula de Newton Leibniz
20
CÁLCULO DA INTEGRAL DEFINIDA PELA DEFINIÇÃO
f(a)
Mas,
21
(No Transcript)
22
(No Transcript)
23
Exemplos usando fórmula Newton-Leiniz
24
Teorema (Mudança de variável) . Seja dada a
integral
onde f(x) é contínua no intervalo a,b.
Introduzamos a variável t, por
Se
e, ainda, se ?(t) ?(t) são contínuas no
intervalo ? ?, e também f?(t) é definida e
contínua no intervalo ? ?, então
25
Demonstração se F(x) é uma primitiva de f(x),
podemos escrever
Da primeira podemos escrever
Da segunda podemos escrever
26
INTEGRAÇÃO POR PARTES
Sabemos que
Integrando entre xa e xb, teremos
Mas,
,
e
Então
27
EXTENSÃO DA NOÇÃO DE INTEGRAL
Integrais com limites de integração infinitos
Definição. Se o limite
existe, ele será representado por
a
b
e diz-se que a integral converge.
Por definição, então
28
(No Transcript)
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