Tema 4

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Tema 4

• Dpt. Teoría de la Señal, Telemática y
  Comunicaciones

PLANIFICACIÓN DE TRAYECTORIAS
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Secciones

• Introducción.
• Trayectorias Interpoladas.
• Trayectorias Interpoladas con Funciones
  polinómicas.
• Trayectoria 4-3-4.
• Trayectorias Interpoladas con Funciones Lineales
• Trayectorias Cartesianas.

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1. Introducción.

• La realización de cualquier movimiento implica
  dos tareas
• Planificación de la Trayectoria.
• Control del Movimiento.

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1. Introducción.

• En que consiste?
• Obtención de las funciones temporales 0TN(t) que
  nos llevan desde una localización inicial (Tini)
  hasta otra final (Tfin).
• O, alternativamente q(t)(q1(t), q2(t), ,
  qN(t)).
• Tipos de trayectorias
• Trayectorias punto a punto Evolución
  independiente de cada articulación. Sólo útiles
  en tareas a manipulador parado.
• Trayectorias continuas 0TN(t) es conocida.
  Trayectorias suaves. Útiles en tareas con el
  brazo en movimiento.

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1. Introducción.

• Tipos de Trayectorias Continuas

• Control directo del movimiento en el espacio
  cartesiano.
• Ortogonalidad (separación rotación/translación)
• Mayor dificultad de implementación y control.

• Algoritmos más sencillos.
• Fácil control.
• Riesgo de choques con obstáculos.

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2. Trayectorias Interpoladas.

• Trayectorias interpoladas con funciones
  polinómicas.
• Trayectoria polinómica desde una posición inicial
  a otra final.
• Condiciones para trayectoriasuave
• Continuidad en la velocidad.
• Grado del polinomio ?(t) menor posible.

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2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones
polinómicas.

• Condiciones a satisfacer 4 ! polinomio de grado
  3.
• Aplicando las (4) condiciones de contorno

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2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones
polinómicas.

• Ejemplo ?0 15º, ?f 75º, tf 3 seg.

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2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones
polinómicas.

• Es conveniente dar puntos intermedios (Por
  qué?).
• Podemos emplear un polinómio cúbico para cada
  segmento y replicar el método.
• Discusión del caso anterior ?0 15º, ?1 75º,
  ?f 135º, t01 3 seg, t1f 3 seg.

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2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones
polinómicas.

• Trayectorias con varios segmentos
• Recorrido por secuencia varias posiciones
  intermedias.
• Cada segmento emplea un polinómio cúbico.
• Se garantiza continuidad en la posición y
  velocidad.
• Ventajas e inconvenientes.

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2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones
polinómicas.

• Inconvenientes
• No se asegura la continuidad en la aceleración.
• Problema mayor fijar las velocidades
  intermedias.
• Solución intercambio de las restricciones
  anteriores.
• No se indica velocidad en los puntos intermedios.
• A cambio se asegura la continuidad en la
  aceleración.

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2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones
polinómicas.

• Caso sencillo con dos segmentos ?0, ?v, ?g
• Nótese los intervalos de tiempo.
• Condiciones impuestas
• Recorrer los puntos inicial, final e intermedio

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2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones
polinómicas.

• Velocidades (nulas en este caso) en los extremos
• Continuidad en la posición, velocidad y
  aceleración en el punto intermedio
• Nótese que no exigimos un valor concreto en la
  velocidad, pero sí continuidad en la aceleración.

Segmento 1
Segmento 2
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2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones
polinómicas.

• Solución (tf1 tf2 tf)
• Avances
• Ajuste de tiempo favorable para resolver
  ecuaciones.
• Introducir continuidad en aceleración para no
  definir velocidades intermedias.

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2. Trayectorias Interpoladas.

• Trayectoria 4-3-4
• Operación frecuente Traslado de objetos desde
  una superficie a otra.
• Solución sencilla una trayectoria con cuatro
  puntos como la de la figura.
• Objetivo evitar colisiones (por qué?).
• Cómo introducción de dos puntos intermedios.

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2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria
4-3-4.

• Se escogen puntos intermedios en unas posiciones
  de despegue y asentamiento normales a las
  superficies de origen y destino, respectivamente.
• Relación tiempos ! velocidad.

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2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria
4-3-4.

• Condiciones de contorno para un movimiento suave
• Inicio posición, velocidad (nula) y aceleración
  (nula) determinadas.
• Fin posición, velocidad (nula) y aceleración
  (nula) determinadas.
• Intermedios paso por posiciones de despegue y
  asentamiento con continuidad en posición,
  velocidad y aceleración.
• Grado del polinomio?

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2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria
4-3-4.

• Es preferible dividir el movimiento en 3
  segmentos con polinomios de grado inferior.
  Soluciones trayectorias 4-3-4 y trayectorias
  3-5-3.
• Variables
• ? tiempo real en segundos.
• ?i tiempo real al final de la trayectoria
  i-ésima.
• ti (?i-?i-1) tiempo real requerido para el
  segmento i-ésimo.
• t tiempo normalizado en el intervalo 0,1

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2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria
4-3-4.

• Polinomios empleados
• Ventajas/Inconvenientes del tiempo normalizado

4 3 4
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2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria
4-3-4.

• Condiciones de contorno
• Punto inicial
• Punto despegue

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2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria
4-3-4.

• Punto asentamiento
• Punto final
• 14 ligaduras (ecuaciones) para 14 parámetros

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2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria
4-3-4.

• Primer segmento de la trayectoria
• ? ?0, t 0 (inicio primer segmento).

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2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria
4-3-4.

• ??1, t 1 (final primer segmento).
• Ahora no ofrecen soluciones, más adelante
  recurriremos a ellas.

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2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria
4-3-4.

• Segundo segmento de la trayectoria
• ? ?1, t 0 (inicio segundo segmento).

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2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria
4-3-4.

• Condiciones de continuidad con el tramo anterior
• ??2, t 1 (final segundo segmento).

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2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria
4-3-4.

• Tercer (último) segmento de la trayectoria
• Nuevo cambio de variable para facilitar la
  resolución.
• Las derivadas no quedan afectadas (suma de
  constante).
• Nótese que el polinomio esta basado en la nueva
  variable y no en t (aunque podemos obtener
  fácilmente el correspondiente en t).

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2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria
4-3-4.

1. ??f, t 1, (final tercer segmento).
2. ??2, t 0, (inicio tercer segmento).

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2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria
4-3-4.

• Condiciones de continuidad con el tramo anterior
• Gracias a los cambios de variable hemos obtenido
  de forma directa 7 de los 14 parámetros. Para el
  resto

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2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria
4-3-4.

• Se calculan los cambios de las variables de
  articulación entre segmentos contiguos
• Las condiciones (1) a (7) se pueden expresar en
  forma matricial

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2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria
4-3-4.

• Solución

x C-1y
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2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria
4-3-4.

• Los coeficientes (a10,a11,a12,a20,an0,an1,an2) se
  obtienen de forma directa.
• Importante recordar el último cambio de
  variable.
• Si utilizamosDeberemos recorrer el tiempo de
  -1 a 0.
• Si queremos homogeneizar el tiempo (siempre de 0
  a 1) hay que deshacer el cambio de variable

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2. Trayectorias Interpoladas.

• Trayectorias interpoladas con funciones lineales.
• Opción alternativa al uso de polinomios.
  Fundamento sencillo conectar los puntos mediante
  rectas y solucionar los problemas derivados.

• Problema discontinuidad en los extremos.

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2.3. Trayectorias Interpoladas. Uso de Funciones
Lineales.

• Solución suavizado parabólico con una
  determinada aceleración.
• Secuencia de movimientos
• Uniforme acelerado.
• Uniforme.
• Uniforme decelerado.
• Durante cuanto tiempoaceleramos/deceleramos?

tb
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2.3. Trayectorias Interpoladas. Uso de Funciones
Lineales.

• Suponemos una cierta aceleración (Ã ventajas
  prácticas).
• Implicaciones del discriminante positivo.

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2.3. Trayectorias Interpoladas. Uso de Funciones
Lineales.

• Generalización a varios segmentos
• Definición de secuencia de puntos (?1, ?2, ,
  ?f).
• Definición de los instantes de tiempo (t1, t2, ,
  tf).
• En los puntos intermedios se realiza una
  aceleración de suavizado .

• ?i ángulo punto i-ésimo.
• ti tiempo punto i-ésimo.
• tsi duración del suavizado.
• tli-1,i duración zona lineal.
• tdi-1,i duración segmento.

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2.3. Trayectorias Interpoladas. Uso de Funciones
Lineales.

• Parámetros que definen el movimiento (Ã síntesis
  posterior)
• Segmentos intermedios

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2.3. Trayectorias Interpoladas. Uso de Funciones
Lineales.

• Segmento inicial

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2.3. Trayectorias Interpoladas. Uso de Funciones
Lineales.

• Segmento final

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3. Trayectorias Cartesianas.

• Descripción de las posiciones del manipulador.

• 0TN ! T Trans. Hom. brazo robot.
• NGherr ! G coordenadas herramienta (desde el
  EF).
• absZbase ! Z coordenadas base del robot (desde
  el SdR global).
• absW(t)obj ! W(t) coordenadas del objeto (desde
  el SdR global). Caso General Consideramos que
  puede estar en movimiento (depende de t).
• objPherr ! P coordenadas de la herramienta
  (desde el SdR del objeto).

G
T
P

• Para simplificar el cálculo posterior
• C(t)Z-1W(t)

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3. Trayectorias Cartesianas.

• La posición del manipulador se puede expresar
  como
• TGC(t)P
• Aplicando PCI podremos resolver
• TC(t)PG-1
• Para realizar una tarea habrá que desplazar la
  herramienta entre varios puntos consecutivos
  (1,2,3,,f)
• T1G1C1(t)P1
• T2G2C2(t)P2
• TfGfCf(t)Pf

G1
T1
P1
T2
G2
C2(t)
P2
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3. Trayectorias Cartesianas.

• Entre dos puntos consecutivos cualquiera
• Entonces podríamos obtener

• Vamos a suponer un par de transformaciones, Pi,i
  y Pi,i1, tal que fuera posible

• Es decir, el movimiento entre los dos puntos
  (i,i1) consistiría simplemente en la
  transformación de Pi,i1 en Pi1,i1.

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3. Trayectorias Cartesianas.

• Obviamente Pi,iPi, pero Pi,i1?
• Despejamos Pi,i1 de la segunda ecuación
• Despejando T de la primera ecuación y
  sustituyendo en la anterior
• Así, Pi,i1 puede ser precalculado.

G1
G2
T1
P1
T2
G2
P1,2
C2(t)
P2
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3. Trayectorias Cartesianas.

• Podemos definir una transformación D(t)
  (transformación de impulsión) que convierte la
  matriz Pi,i1 en la matriz Pi1,i1 conforme
  avanza el tiempo.
• Se realiza en tiempo normalizado t (0 t 1).
• Verifica las siguientes condiciones de contorno
  
• De donde podemos despejar D(1)

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3. Trayectorias Cartesianas.

• La transformación D(t) consiste en un movimiento
  translacional (para alcanzar la posición final) y
  dos rotacionales (orientación).
• La translación lleva el vector pi hasta pi1.
• La primera rotación lleva ai hasta ai1 (!).
• La segunda rotación (sobre a) lleva oi hasta oi1
  (y por tanto ni a ni1).