TRIGONOMETRI - PowerPoint PPT Presentation

Loading...

PPT – TRIGONOMETRI PowerPoint presentation | free to download - id: 78b3b0-NTc4N



Loading


The Adobe Flash plugin is needed to view this content

Get the plugin now

View by Category
About This Presentation
Title:

TRIGONOMETRI

Description:

Title: EYE BEE SEE Author: compaq Last modified by: Pak De Roni Created Date: 7/22/2009 11:47:14 AM Document presentation format: On-screen Show (4:3) – PowerPoint PPT presentation

Number of Views:11
Avg rating:3.0/5.0
Slides: 46
Provided by: comp1424
Learn more at: http://fagilmahakarya.weebly.com
Category:

less

Write a Comment
User Comments (0)
Transcript and Presenter's Notes

Title: TRIGONOMETRI


1
TRIGONOMETRI
2
KOMPETENSI

SK KD
Menerapkan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri dalam pemecahan masalah Menentukan nilai perbandingan trigonometri suatu sudut.
Mengkonversi koordinat kartesius dan koordinat kutub
Menerapkan aturan sinus dan kosinus
Menentukan luas suatu segitiga
Menerapkan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut
Menyelesaikan persamaan trigonometri
3
TOPIK PEMBAHASAN
  • Apa itu trigonometri
  • Sudut dan satuannya
  • Segitiga siku-siku dan fungsi trigonometri
  • Fungsi trigonometri sudut istimewa
  • Koordinat dan fungsi trigonometri
  • Fungsi trigonometri di berbagai kuadran
  • Kuadran dan relasi I
  • Komplemen dan relasi II
  • Sudut negatif dan relasi III
  • Sudut putaran dan relasi IV
  • Lingkaran dan fungsi trigonometri
  • Grafik fungsi trigonometri
  • Tabel fungsi trigonometri dan kalkulator
  • Koordinat kartesian dan koordinat kutub
  • Aturan sinus dan aturan kosinus
  • Rumus luas segitiga
  • Jumlah dan hasilkali trigonometri
  • Identitas trigonometri
  • Persamaan trigonometri sederhana

4
Apa itu trigonometri
  • Trigonometri mula-mula dipelajari untuk kegiatan
    astronomi. Dimulai di Babilonia, Yunani, Mesir,
    India, Arab, lalu ke Eropa.
  • Dalam bentuk awal, trigonometri mempelajari
    tentang penentuan tali busur (chord).
  • Sering dikatakan Hipparchus (180-125 SM) adalah
    Bapak trigonometri, karena ia orang yang pertama
    kali menulis tabel tali busur yang dikenal.
  • Tabel setengah tali-busur muncul di India, antara
    lain oleh Aryabhata I sekitar tahun 500.
  • Di tangan orang Arab, studi trigonometri mulai
    jelas. Nashirudin at-Tusi (1201-1274) dikenal
    sebagai orang pertama yang menulis studi
    trigonometri lepas dari astronomi dalam buku
    Treatise on the quadrilateral. Sebagai
    alternatif, ia juga dikenal sebagai Bapak
    trigonometri.
  • Regiomontanus atau John Muller (1436-1476)
    menulis De triangulis omnimodis yang dipercaya
    sebagai buku lengkap pertama yang membahas
    trigonometri bidang.

5
Apa itu trigonometri
  • Mungkin yang pertama kali menulis tentang
    perbandingan trigonometri dari sebuah segitiga
    siku-siku pada lingkaran adalah Rheticus (murid
    Copernicus) dalam buku Opus palatinum de
    triangulis (1596)
  • Kata trigonometry mula-mula muncul dalam
    bukunya Pitiscus berjudul Trigonometria yang
    dipublikasi tahun 1595.
  • Kata trigonometri gabungan dari kata tri
    (tiga), gonos (bidang/sisi), dan metros
    (ukuran/ilmu). Secara ethimologi, trigonometri
    adalah ilmu tentang segitiga (khususnya segitiga
    siku-siku).
  • Trigonometri sendiri adalah cabang besar
    matematika yang mempelajari hubungan sudut dan
    sisi segitiga, khususnya segitiga siku-siku, dan
    sifat-sifat dari hubungan itu. Hubungan itu yang
    dikenal dengan nama fungsi trigonometri.
  • Beberapa cabang trigonometri trigonometri bidang
    datar, trigonometri bola, analisis trigonometri,
    trigonometri analitik.
  • Trigonometri muncul dalam berbagai cabang ilmu
    antara lain teori musik, optik, elektronik,
    statistik, biologi, kimia, meteorologi, komputer
    grafik, geodesi, arsitektur, bahkan ekonomi.

6
Sudut dan satuannya
  • Sudut adalah suatu bukaan (unsur geometri) yang
    dibentuk oleh dua buah sinar dari sebuah titik
    atau dua buah garis yang bertemu di sebuah titik.
    (definisi statis)
  • Sudut adalah suatu daerah yang dibentuk dari
    perputaran sebuah sinar terhadap titik asalnya
    atau perputaran sebuah garis terhadap titik
    ujungnya. (definisi dinamis)
  • Pada konsep bukaan dikenal sudut lancip dan
    sudut tumpul, juga sudut reflektif.
  • Pada konsep putaran dikenal sudut positif dan
    sudut negatif.
  • Satuan sudut antara lain derajat, radian,
    gradian (gon), mil.
  • 1 putaran penuh 360o 2? radian 400 grad
    6400 mil (NATO).
  • Satuan derajat menggunakan sistem seksagesimal
    (warisan Babilonia dan diinspirasi dari 1 tahun ?
    360 hari). Untuk satuan yang lebih kecil
    berturut-turut digunakan istilah menit (?) dan
    detik (?). Satuan ini sering digunakan
    sehari-hari.
  • Satuan radian, murni menggunakan sistem desimal
    dan merupakan bilangan biasa (bebas dari satuan
    fisis). Mengapa satuan radian biasanya tidak
    dituliskan? Perhatikan bahwa bila kita membagi
    panjang busur di depan sudut dengan jari-jari
    maka tidak ada satuan fisis yang terjadi (tidak
    berdimensi fisik, dimensionless). Dengan alasan
    ini dan penulisan dalam desimal, maka satuan
    radian sering digunakan dalam studi ilmiah.

7
Sudut dan satuannya
  • Bagaimana definisi satuan radian?
  • Kita tahu bahwa panjang keliling lingkaran
    dengan jari-jari r adalah 2?r . Bila dipilih
    jari-jari 1 satuan, maka keliling lingkaran
    adalah 2?. Bilangan inilah yang selanjutnya
    dipilih sebagai satuan radian untuk 1 putaran
    penuh. Dari pemilihan ini, diperoleh antara lain
    bahwa 1 radian adalah besar sudut pusat lingkaran
    dengan panjang busur sama dengan jari-jari
    lingkaran.
  • Jadi, seharusnya jelas perbedaan antara ? 180o
    dan ? 3,1415926
  • Satuan gradian (grade , gon) menetapkan besar
    sudut siku-siku 100 grad 100g . Mula-mula
    digunakan di Perancis. Sekarang, secara
    internasional ditetapkan dengan nama gon.
    Pemakaiannya terbatas di beberapa negara dan
    khususnya untuk kegiatan pengukuran tanah.
  • Satuan mil dipergunakan dalam kemiliteran. NATO
    menggunakan 1 mil 1/6400 putaran penuh, Rusia
    menggunakan 1 mil 1/6000 putaran penuh, dan
    pada beberapa alat teleskopik 1 mil 1/6283
    putaran penuh. Bandingkan dengan 1 putaran penuh
    2000? miliradian ? 6283,185 milirad.

8
Segitiga siku-siku dan fungsi trig.
  • Perbandingan trigonometri berkaitan dengan
    perbandingan (panjang) sisi-sisi segitiga
    siku-siku. Perbandingan-perbandingan inilah yang
    kemudian disebut dengan perbandingan
    trigonometri.
  • Dari sini, istilah fungsi trigonometri sudut pada
    segitiga siku-siku didefinisikan sebagai
    perbandingan-perbandingan tersebut.
  • Dikenal ada 6 fungsi trigonometri terkait dengan
    6 permutasi 2 sisi dari 3 sisi. Keenam fungsi
    trigonometri itu adalah sinus, kosinus, tangen,
    sekan, kosekan, dan kotangen. Berturut-turut
    disingkat sin, cos, tan, sec, csc atau cosec,
    dan cot.
  • Funsgi-fungsi yang berkebalikan adalah sin
    cosec, cos sec, serta tan cot. (dengan sifat
    resiprokal ini, sec, cosec, cot dapat pula
    didefinisikan)
  • Dari definisi juga jelas bahwa
  • Dengan menggunakan rumus Pythagoras, diperoleh
    identitas
  • sin2? cos2? 1 tan2? 1 sec2? 1
    cot2? cosec2?

9
Fungsi trigonometri sudut istimewa
  • Biasanya yang dimaksud sudut-sudut istimewa
    adalah 0o, 30o, 45o, 60o, dan 90o.
  • Untuk sementara kita tidak dapat berbicara
    mengenai fungsi trigonometri sudut 0o dan 90o.
    Mengapa? Karena untuk sudut-sudut itu, tidak ada
    segitiga siku-siku yang memenuhi. Dengan lain
    kata, kita berhadapan dengan segitiga siku-siku
    asimtotik. Kita perlu memperluas definisi fungsi
    trigonometri!
  • Untuk sudut 30o dan 60o, kita dapat melihat pada
    segitiga samasisi.
  • Untuk sudut 45o kita dapat menggunakan segitiga
    siku-siku samakaki.
  • Apa itu sesungguhnya sudut istimewa? Tidak jelas.
  • Jika yang dimaksud sudut dari bangun datar
    istimewa di mana nilai fungsi trigonometri dapat
    mudah dinyatakan sebagai perbandingan, maka 0o
    dan 90o tidak termasuk sudut istimewa. Lagi pula,
    dari segilima beraturan kita dapat menurunkan
    sudut istimewa yang lain 18o dan 72o.
  • Jika yang dimaksud sudut di mana nilai fungsi
    trigonometrinya dapat dinyatakan dengan tepat
    dengan menggunakan tanda akar, maka 15o
    seharusnya merupakan sudut istimewa. Lebih detil,
    semua sudut kelipatan 3o juga sudut istimewa.
    (tahun 2001, penulis telah menyusun daftar fungsi
    trig. sudut kelipatan 3o . Sebagai contoh, )

10
Koordinat dan fungsi trigonometri
  • Definisi fungsi trigonometri dari perbandingan
    pada segitiga siku-siku mengandung beberapa
    kelemahan (1) tidak dapat atau sulit
    mendefinisikan fungsi trig. pada sudut 0o dan
    90o, (2) untuk sudut yang lebih besar dari 90o
    tidak dapat didefinisikan nilai fungsi trig.nya.
  • Ada beberapa cara memperluas definisi fungsi
    trig., salah satunya menggunakan koordinat
    kartesian dengan pusat di titik sumbu koordinat.
    Pada cara ini, sebuah sudut ditentukan oleh
    sumbu-x positif dan ruas garis dari titik sumbu
    ke sebuah titik pada bidang koordinat.
  • Tentu absis dan ordinat dapat bernilai negatif,
    tetapi panjang garis dari titik pusat ke sebuah
    titik pada bidang koordinat tetaplah positif.
    Selanjutnya fungsi-fungsi trigonometri
    didefinisikan menggunakan perbandingan dengan
    mengganti sisi di depan sudut dan sisi penyiku
    berturut-turut dengan ordinat dan absis.
  • Berbagai variasi tanda fungsi-fungsi trgonometri
    dapat dibedakan ke dalam 4 kuadran bidang
    koordinat.

11
Fungsi trig. di berbagai kuadran
  • Titik pada kuadran I (0o ? ? ? 90o)
  • (mirip pada segitiga siku-siku)
  • Titik pada kuadran II (90o ? ? ? 180o)
  • sinus positif, yang lain negatif.
  • Titik pada kuadran I (180o ? ? ? 270o)
  • tangen positif, yang lain negatif.
  • Titik pada kuadran I (270o ? ? ? 360o)
  • kosinus positif, yang lain negatif.
  • Mnemonik tanda positif fungsi trigonometri
  • se-sin-ta-kos atau cukup semua sintaks
  • Bagaimana dengan sudut 0o, 90o, 180o, 270o dan
    360o ?

12
Kuadran dan relasi I
  • Berdasarkan perluasan definisi fungsi
    trigonometri di atas, maka mudah diperoleh
    beberapa hubungan sudut-sudut pada berbagai
    kuadran dengan sudut di kuadran I.
  • Bila 90o ? ? ? 180o (Pada kuadran II)
  • Misal ? 180o ? maka ? adalah sudut
    lancip.
  • Perhatikan ? ? 180o , 2 sudut jumlahnya
    180o disebut saling bersuplemen.
  • Jadi, diperoleh dari gambar
  • sin ? sin (180o ?) sin ?
  • cos ? cos (180o ?) cos ?
  • tan ? tan (180o ?) tan ?
  • Bila 180o ? ? ? 270o (Pada kuadran III)
  • Misal ? ? 180o maka ? adalah sudut
    lancip.
  • Jadi, diperoleh dari gambar
  • sin ? sin (? 180o) sin ?
  • cos ? cos (? 180o) cos ?
  • tan ? tan (? 180o) tan ?

13
Kuadran dan relasi I
  • Bila 270o ? ? ? 360o (Pada kuadran IV)
  • Misal ? 360o ? maka ? adalah sudut
    lancip.
  • Jadi, diperoleh dari gambar
  • sin ? sin (360o ?) sin ?
  • cos ? cos (360o ?) cos ?
  • tan ? tan (360o ?) tan ?

14
Komplemen dan relasi II
  • Terdapat relasi khusus yang disebut komplemen.
  • Dua sudut berkomplemen bila jumlahnya 90o.
  • Perhatikan gambar. Pada dua sudut berkomplemen,
    status sisi x dan y saling bertukar tempat.
    Dengan sifat ini mudah diperoleh bahwa
  • Untuk ? pada kuadran I
  • sin ? cos (90o ?) , cos ? sin (90o ?)
  • tan ? cot (90o ?) , cot ? tan (90o ?)
  • sec ? cosec (90o ?) , cosec ? sec (90o
    ?)
  • catatan di sinilah arti penamaan co yang
    berarti complement.
  • Sifat komplemen ini dapat diperluas pada sudut di
    kuadran II, III, dan IV.
  • Bila 90o ? ? ? 180o (Pada kuadran II) maka
  • sin ? cos (? 90o) , cos ? sin (?
    90o)
  • tan ? cot (? 90o) , cot ? tan (?
    90o)
  • sec ? cosec (? 90o) , cosec ? sec (?
    90o)

15
Komplemen dan relasi II
  • Bila 180o ? ? ? 270o (Pada kuadran III) maka
  • sin ? cos (270o ?) , cos ? sin (270o
    ?)
  • tan ? cot (270o ?) , cot ? tan (270o
    ?)
  • sec ? cosec (270o ?) , cosec ? sec
    (270o ?)
  • Bila 270o ? ? ? 360o (Pada kuadran IV) maka
  • sin ? cos (? 270o) , cos ? sin (?
    270o)
  • tan ? cot (? 270o) , cot ? tan (?
    270o)
  • sec ? cosec (? 270o) , cosec ? sec (?
    270o)

16
Sudut negatif dan relasi III
  • Kita mendefinisikan sudut negatif adalah
    sudut dalam arah yang searah dengan jarum jam.
  • Perhatikan gambar!
  • Jika 0o ? ? ? 360o maka diperoleh bahwa posisi
    titik P(a,b) sama baik ditentukan oleh (?)
    maupun (360o ?). Jadi, dapat disimpulkan
    bahwa nilai fungsi trigonometri sudut negatif
    sama dengan jumlah sudut itu dan 360o .
  • Oleh karena itu, mudah ditunjukkan bahwa
  • sin (?) sin ?
  • cos (?) cos ?
  • tan (?) tan ?
  • cot (?) cot ?
  • sec (?) sec ?
  • cosec (?) cosec ?
  • perhatikan bahwa sudut ? besarnya sebarang
    (tidak dibatasi yang lancip)

17
Sudut putaran dan relasi IV
  • Kita sudah memperkenalkan sudut positif sebagai
    putaran berlawanan jarum jam dan sudut negatif
    sebagai sudut putaran dengan arah jarum jam.
    Bagaimana bila terus diputar melebihi satu
    putaran penuh? Misalnya sudut 500o?
  • Perhatikan seberapapun diputar maka posisi titik
    P(a,b) akan dapat ditentukan dalam besar sudut
    kurang dari 360o. Perhatikan gambar!
  • Mudah ditunjukkan bahwa
  • sin (? n.360o) sin ?
  • perhatikan bahwa n adalah sebarang bilangan
    bulat, dan fungsi sinus dapat diganti dengan
    fungsi trgonometri yang mana saja.

18
Lingkaran dan fungsi trigonometri
  • Pada penggunaan koordinat untuk mendefinisikan
    fungsi trigonometri, oleh karena perbandingan
    tetap di mana pun titik pada koordinat selama
    sudut yang terbentuk tetap, maka kita dapat
    mengasumsikan titik-titik pada bidang koordinat
    terletak pada sebuah lingkaran.
  • Lebih khusus lagi, bila kita memilih lingkaran
    dengan jari-jari 1 satuan.
  • Dengan sifat-sifat penggunaan lingkaran itu,
    fungsi-fungsi trigonometri dikenal pula dengan
    istilah fungsi sirkular.
  • Berikut diagram hubungan keenam fungsi
    trigonometri pada lingkaran satuan.

19
Grafik fungsi trigonometri
  • Sekarang kita dapat menggambar grafik fungsi
    trigonometri pada sumbu koordinat.
  • Cara yang dapat dilakukan dengan mencacah titik
    demi titik. Tetapi ada cara yang lebih mudah
    menggunakan representasi fungsi trigonometri pada
    lingkaran satuan.
  • Contoh.

20
Grafik fungsi trigonometri
  • Berikut grafik sinus dan komplemennya (kosekan)
  • Grafik y sin x
  • Grafik y cosec x

21
Grafik fungsi trigonometri
  • Berikut grafik kosinus dan komplemennya (sekan)
  • Grafik y cos x
  • Grafik y sec x

22
Grafik fungsi trigonometri
  • Berikut grafik tangen dan komplemennya
    (kotangen)
  • Grafik y tan x
  • Grafik y cot x

23
Grafik fungsi trigonometri
  • Terlihat pada grafik bahwa masing-masing fungsi
    trigonometri memiliki bagian kurva yang berulang
    secara periodik.
  • Selanjutnya panjang interval sudut di mana bagian
    kurva berulang ulang disebut periode. Untuk
    grafik keenam fungsi trigonometri dasar tersebut
    180o (tan, cot) atau 360o (sin, cosec, cos, sec)
  • Jarak terjauh titik pada kurva trigonometri
    terhadap sumbu x disebut dengan amplitudo. Untuk
    grafik keenam fungsi trigonometri dasar tersebut
    1 (sin, cos) atau tak-hingga (tan, cot, sec,
    cosec)

24
Tabel fungsi trigonometri kalkulator
  • Sejak pertama konsep trigonometri (primitif)
    dikenal, orang telah menulis nilai-nilainya dalam
    bentuk tabel.
  • Tabel tali busur yang pertama dari Hipparchus
    (k.180-k.125 SM) sekitar 140 SM. al-Battani
    (k.858-929) memberikan fungsi kotangens dan
    daftarnya untuk setiap derajat sudut. Abu
    al-Wafa yang pertama kali menggunakan tangens
    dan menyusun tabel tangens sinus dengan
    interval 15 menit. yang akurat hingga 8 tempat
    desimal. Ulugh Beg (1394-1449), bersama al-Kasyi
    dan Qadi Zada al-Rumi menyusun tabel berisi
    daftar sinus dan tangens untuk setiap 1 (satu
    menit) dan teliti hingga 17 angka desimal.
    Rheticus (1514-1574) menerbitkan tabel sinus dan
    kosinus tahun 1596 dengan interval 10 detik.
  • Dengan memperhatikan hasil-hasil pada sudut-sudut
    berelasi, maka tabel semua fungsi trigonometri
    sesungguhnya cukup dibuat dari 0o hingga 45o.
    Mengapa?
  • Selain tabel, kini orang telah banyak berpindah
    pada penggunaan kalkulator (dan komputer). Pada
    kalkulator ilmiah (scientific cal.) minimal telah
    disediakan tombol untuk sin, cos, tan, dan
    sudut derajat dan radian.

25
Koordinat kartesian koordinat kutub
  • Kedudukan titik (atau umumnya gambar geometri)
    pada bidang dapat ditentukan dengan menggunakan
    beberapa cara kordinat kartesian, atau koordinat
    kutub (polar coordinate).
  • Fungsi trigonometri berguna dalam melakukan
    konversi dari koordinat kartesian ke koordinat
    kutub, dan sebaliknya.
  • Perhatikan gambar di bawah. Titip P dapat
    ditetapkan kedudukannya dengan koordinat (a,b)
    atau (r,?). Koordinat (a,b) disebut koordinat
    kartesian, dan koordinat (r, ?) disebut koordinat
    kutub.
  • Dari gambar, jelas dapat diturunkan hubungan
    sebagai berikut
  • cos ? atau a r cos ?
  • sin ? atau b r sin ?
  • dengan a2 b2 r2 (rumus Pythagoras)

26
Aturan sinus dan aturan kosinus
  • Pada sebarang segitiga dikenal banyak rumus atau
    aturan yang berlaku, dua di antaranya yang
    penting adalah Aturan Sinus, Aturan Kosinus.
  • Aturan Sinus berbunyi Pada sebarang segitiga ABC
    dengan panjang sisi yang bersesuaian (di hadapan)
    sudut A dan B berturut-turut a dan b maka
    berlaku
  • Perhatikan bahwa kita dapat menulis lengkap
    aturan di atas dengan menggunakan ketiga pasang
    sudut dan sisi yang bersesuaian yang mungkin,
    lalu menggabungkan hasil-hasilnya.
  • Aturan Sinus dapat pula digabungkan dengan sifat
    lingkaran luar segitiga, dan diperoleh hubungan
  • dengan a mewakili sebarang sisi segitiga dan A
    sudut yang bersesuaian.

Bukti
Bukti
27
Aturan sinus dan aturan kosinus
  • Aturan Kosinus berbunyi Pada sebarang segitiga
    ABC dengan panjang sisi yang bersesuaian (di
    hadapan) sudut A, B, dan C berturut-turut a, b,
    dan c maka berlaku
  • a2 b2 c2 2bc cos A atau
  • Perhatikan bahwa kita cukup menulis satu bentuk
    di atas, karena permutasi apapun dari a, b,dan c
    rumus serupa tetap berlaku. (mengapa?)

Bukti
28
Rumus luas segitiga
  • Kita sebelumnya telah mengenal rumus segitiga
    yang ditentukan oleh sebarang sisi (sebagai
    alas) dan tinggi yang bersesuaian.
  • Bagaimana bila luas segitiga ditentukan oleh
    besar sudut segitiga? Dalam hal ini fungsi
    trigonometri dapat membantu.
  • Untuk sebarang segitiga ABC dengan a dan b
    panjang sisi di hadapan berturut-turut sudut A
    dan B, maka berlaku
  • Luas segitiga ABC ½ absin C
  • Perhatikan bahwa pemilihan sisi a dan b dapat
    diganti sebarang pasangan sisi lain segitiga
    (sudut C menyesuaikan).
  • Rumus di atas berguna bila diketahui sebarang 2
    sisi dan sudut yang diapit.
  • Nah, bila diketahui 2 sudut dan sisi yang
    bersekutu, kita memperoleh rumus sebagai berikut
  • Luas segitiga ABC
  • Bagaimana bila yang diketahui panjang ketiga sisi
    segitiga?

Jawab
29
Jumlah hasilkali trigonometri
  • Rumus jumlah selisih sudut
  • Rumus hasil kali fungsi trig.
  • Rumus jumlah selisih fungsi trig.

Bukti
Bukti
Bukti
30
Identitas trigonometri
  • Istilah identitas dalam matematika memiliki makna
    yang beragam. Dalam aljabar, identitas adalah
    elemen yang tidak mempengaruhi elemen lain
    terhadap suatu operasi. Secara umum, identitas
    matematika adalah kalimat terbuka (memuat
    variabel) yang selalu bernilai benar dalam domain
    tertentu.
  • Identitas trigonometri adalah identitas yang
    memuat fungsi trigonometri.
  • Beberapa identitas penting yang dapat diturunkan
    sebagai berikut
  • Identitas dari rumus Pythagoras
  • Identitas aturan sinus
  • Identitas aturan kosinus atau
  • Identitas aturan tangen

31
Identitas trigonometri
  • Identitas jumlah dan selisih sudut.
  • Identitas jumlah dan selisih fungsi trig.
  • Identitas hasil kali fungsi trig.

32
Identitas trigonometri
  • Identitas sudut rangkap.
  • Identitas setengah sudut

33
Identitas trigonometri
  • Identitas pangkat fungsi trig.

34
Identitas trigonometri
  • Identitas rekursif tangen kotangen sudut
    rangkap.
  • Identitas tangen untuk rerata sudut.
  • Dan lain-lain.

35
Persamaan trigonometri sederhana
  • Persamaan trigonometri bisa berbagai bentuk dari
    yang sederhana hingga yang kompleks.
  • Persamaan trigonometri sederhana, berbentuk
  • Bentuk sin x c , 0 ? c ? 1
  • Tentukan ? sudut lancip sedemikian hingga sin ?
    c.
  • Maka penyelesaiannya x ? k. 360o atau
    x (180 ?) k. 360o .
  • Bentuk cos x c , 0 ? c ? 1
  • Tentukan ? sudut lancip sedemikian hingga cos ?
    c.
  • Maka penyelesaiannya x ? k. 360o atau
    x (360 ?) k. 360o .
  • Bentuk tan x c , 0 ? c ? 1
  • Tentukan ? sudut lancip sedemikian hingga tan ?
    c.
  • Maka penyelesaiannya x ? k. 180o.

36
BUKTI 1 ATURAN SINUS
KEMBALI
  • Untuk sudut C (dan B) lancip.
  • Pada gambar 1,
  • Diperoleh c.sin B b.sin C atau
  • Untuk sudut C (atau B) tumpul
  • Pada gambar 2,
  • padahal, sin (180o C) sin C
  • Selanjutnya,mudah ditunjukkan

37
BUKTI 2 ATURAN SINUS
KEMBALI
  • ? A ? A? (karena menghadap busur BC) 2R
  • sin A? ? 2R
  • Dengan cara yang serupa, kita dapat sampai pada
  • 2R dan 2R
  •  
  • maka (Aturan Sinus)

38
BUKTI ATURAN KOSINUS
KEMBALI
  • Pada gambar 1 maupun 2, c2 AD2 BD2
  • lalu, atau AD b. sin C
  • selanjutnya,
  • untuk sudut C (dan B) lancip, maka
  • BD BC CD a b.cos C
  • untuk sudut C (atau B) tumpul, maka
  • BD BC CD a b.cos (180o C) a
    b.cos C
  • (jadi, sama saja untuk BD).
  • Dengan demikian, c2 (b.sin C)2 (a b.cos
    C)2
  • b2. sin2C a2 2ab.cos C b2.cos2C
  • a2 b2 2ab.cos C
  • (menggunakan sifat sin2C cos2C 1)

39
RUMUS HERON
KEMBALI
  • Jika segitiga ABC dengan panjang sisi a, b, dan c
    maka rumus luas segitiga sebagai berikut
  • L ½ bc sin A
  • Subtitusi cos A menggunakan aturan kosinus,
    yaitu
  • hingga diperoleh
  • L
  • Dengan sedikit manipulasi aljabar dan menulis ½
    (a b c) s maka diperoleh
  • L

40
BUKTI RUMUS JUMLAH SELISIH SUDUT
KEMBALI
  • Perhatikan gambar.
  • PQ2 cos(??) 12 sin (??) 02
  • Dapat disederhanakan menjadi PQ2 2 2cos
    (??) (i)
  • Juga, P?Q?2 cos ? cos ?2 sin ? sin
    ?2
  • Dapat disederhanakan menjadi P?Q?2 2 2cos ?
    cos ? 2sin ? sin ? (ii)
  • Dari (i) dan (ii) terbukti bahwa cos (? ?)
    cos ? cos ? sin ? sin ?
  • Bagaimana untuk salah satu sudut adalah sudut
    tumpul, atau kedua-duanya tumpul?

41
BUKTI RUMUS JUMLAH SELISIH SUDUT
KEMBALI
  • Perhatikan gambar.
  • Jika salah satu sudut adalah sudut tumpul ataupun
    kedua-duanya tumpul, maka koordinat titik P , P?
    dan Q? tidak akan berubah. (titik Q dibuat tetap
    pada titik (1,0))

42
BUKTI RUMUS JUMLAH SELISIH SUDUT
KEMBALI
  • Dari sifat cos (? ?) cos ? cos ? sin ? sin
    ? (1) dengan mengganti ? dengan ? diperoleh
    cos (? ?) cos ? cos ? sin ? sin ? (2)
  • Dengan sifat sin (? ?) cos (90o (? ?))
    cos ((90o ?) ?)) dan sifat (2) diperoleh
  • sin (? ?) sin ? cos ? cos ? sin ? (3)
  • Dari sifat (3) dengan mengganti ? dengan ?
    diperoleh
  • sin (? ?) sin ? cos ? cos ? sin ? (4)
  • Dari sifat tan (? ?) sin (? ?) /cos (?
    ?), sifat (3), sifat (1) lalu membagi pembilang
    penyebut dengan cos ?.cos ?, diperoleh
  • tan (? ?) (tan ? tan ?)/(1 tan ? tan ?)
    (5)
  • Dari sifat (5) dengan mengganti ? dengan ?
    diperoleh
  • tan (? ?) (tan ? tan ?)/(1 tan ? tan ?)
    (6)

43
BUKTI RUMUS HASIL KALI FUNGSI TRIG
KEMBALI
  • Diketahui cos (? ?) cos ? cos ? sin ? sin
    ? (1)
  • cos (? ?) cos ? cos ? sin ? sin ? (2)
  • sin (? ?) sin ? cos ? cos ? sin ? (3)
  • sin (? ?) sin ? cos ? cos ? sin ? (4)
  • Jumlahkan (2) (3) lalu bagi 2, maka diperoleh
  • sin ? cos ? ½ sin (? ?) sin (? ?)
    (7)
  • Jumlahkan (1) (2) lalu bagi 2, maka diperoleh
  • cos ? cos ? ½ cos (? ?) cos (? ?)
    (8)
  • Ambil selisih (1) (2) lalu dibagi 2, maka
    diperoleh
  • sin ? sin ? ½ cos (? ?) cos (? ?)
    (9)

44
BUKTI RUMUS JUMLAH SELISIH FUNGSI TRIG
KEMBALI
  • Diketahui sin ? cos ? ½ sin (? ?) sin (?
    ?) (7)
  • cos ? cos ? ½ cos (? ?) cos (? ?)
    (8)
  • sin ? sin ? ½ cos (? ?) cos (? ?)
    (9)
  • Dari (7) dengan memisal A ? ? dan B ?
    ? diperoleh
  • sin A sin B 2 sin ½ (A B) cos ½ (A B)
    (10)
  • Dari (8) dengan memisal A ? ? dan B ?
    ? diperoleh
  • cos A cos B 2 cos ½ (A B) cos ½ (A B)
    (11)
  • Dari (9) dengan memisal A ? ? dan B ?
    ? diperoleh
  • cos A cos B 2 sin ½ (A B) sin ½ (A B)
    (10)

Sumardyono, M.Pd.
45
TERIMA KASIH
About PowerShow.com