Angewandte Biosystemanalyse - Kapitel II: Reaktionssysteme -

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Angewandte Biosystemanalyse- Kapitel II
Reaktionssysteme -

• Peter Dittrich
• Bio Systems Analysis Group
• Jena Centre for Bioinformatics
• Dept. of Mathematics and Computer Science
• Friedrich-Schiller-University Jena

BMBF Grant No. 0312704A
Friedrich-Schiller-Universität Jena
Jena Centre for Bioinformatics
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Chapter II Introduction to Reaction
SystemsOverview

• Introduction
• Reaction Network
• Example (4-Species)
• Formal Representation of Reaction Networks
• Multisets
• Stoichimetric Coefficients
• Explicit vs. Implicit Representation
• Representation as a bipartit Graph
• Inhibition and Modifiers (requires an extended
  representation)
• Reaction System Chemical Differential Equation
• A Simple Model of Chemical Dynamics
• The Chemical ODE
• Kinetic laws are constrained by the reaction
  networks structure
• Mass-Action Kinetics
• Syntactic sugar Michaelis-Menten Kinetics
• Inflow and Outflow (selective / none-selective)
• Outflow can be controlled (Examples Catalytic
  Network Equation, Hypercycle)
• The Concentration simplex
• Exercise

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II.1 Introduction Basic Concepts

• Reaction network set of species set of
  reaction rules
• Reaction system reaction network dynamics
• We will use the term reaction network quite
  formally. It describes an important structural
  feature of the reaction system, that is, the
  structural feature of the relationships of the
  molecular species of a reaction system. These
  relationships are encoded in reaction rules. A
  reaction rule is simply defined by stoichiometric
  factors.
• The term reaction system is less precise. It can
  denote a formal system (e.g., a model) or a
  concrete chemical system. For each reaction
  system, we can define a reaction network (in
  principle).
• In this lecture, the chemical differential
  equation will be introduced, which describes (or
  is) a reaction system.

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II.2 Reaktionsnetzwerk
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II.2 Abstraction Reaction Network
Reaktionsnetzwerk (M, R)
Designat
Abstraktion
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II.2.a Example Reaction System with 4 Species

• Molecules M a, b, c, d
• Reactions R a b -gt a 2 b, c -gt d,
  ...

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II.2.a Example Reaction System with 4 Species
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II.2.a Example Reaction System with 4 Species
a b ? a 2b
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II.2.a Example Reaction System with 4 Species
b c ? 2c
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II.2.a Example Reaction System with 4 Species
d ?
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II.2.b Formal Representation

• Multiset(Tafel)
• Stoichiometric Coefficients(Tafel)

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II.2.c Explicitly vs. Implicitly Defined Reaction
Networks
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Explizite Repräsentationen

• Liste oder Menge von Molekülen M
• Liste oder Menge von Reaktionsregeln R
• Reaktionsregel (A, B) mit A, B Multimenge
  über M
• oder A, B nicht-negative Zahlenvektoren

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Implizite Repräsentation

• Beispiel Polymere, sekundärer und tertiärer
  Lipidstoffwechsel, Primzahlenchemie
• erfordert
• strukturierte Moleküle
• Struktur-Funktions-Abbildung

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II.2.d Repräsentation als Graph

• Wollen wir Graphen zur Repräsentation verwenden,
  so müssen wir mind. zwei Knotentypen für Moleküle
  und Reaktionen einführen.
• Wir erhalten damit einen gerichteten bipartiten
  Graph mit Kantengewichten für die Stoichiometrie
• bipartit Die Knoten lassen sich in zwei Gruppen
  aufteilen, sodass keine Kanten zwischen Elementen
  einer Gruppe vorhanden sind.
• Beispiel
• a b -gt 2a b c

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a
c
b
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II.2.e Inhibition and Modifiers

• Wird noch nicht berücksichtigt.
• Mögliche Wirkung
• auf Moleküle
• auf Reaktionen
• (Bespiele, Tafel)
• Bemerkung Inhibierende Wechselwirkungen lassen
  sich in der Regel durch normale
  Reaktionsnetzwerke beschreiben. Beachte, eine
  100ige Inhibierung ist eine globale Aktion,
  d.h., sie lässt sich nicht durch lokale
  molekulare Reaktionen erklären.

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II.3. Reaktionsystem / chemische
Differenzialgleichung
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II.3 Abstraktion mittels Differentialgleichungen
Reaktionsystem / chemical ODE (M, R, dx/dtf(x))
Designat
Abstraktion
Beispiel für ein Reaktionssystem. Die konkrete
Dynamik kann auf vielfälltige Art und Weise
beschrieben werde.
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II.3.a A Simple Model of Chemical Dynamics

• Assume a space in which molecules diffuse and
  collide.
• If they collide, they may react with a certain
  probability.
• This scenario can be simulated by a quite simple
  algorithm
• Take a sub-set of molecules randomly
• If this set matches the left hand side of a
  reaction rule
• (With a certain probability) replace these
  molecules by the right hand side
• Goto a.

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III.3.b Example ODE (Deterministic, Contineous
Dynamics)
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III.3.b Example ODE (Deterministic, Contineous
Dynamics)
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II.3.b Chemical (Ordinary) Differential Equation
stoichiometric matrix
flux vector
state at time t
state space
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II.3.b Example ODE (Deterministic, Contineous
Dynamics)
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II.3.c Einschränkende Annahmen für den Flussvektor

• v_j positiv nur dann wenn Moleküle der linken
  Seite von j auch vohanden sind.
• Etwas strengerv_j genau dann positiv wenn die
  Moleküle der linken Seite vorhanden sind.
• Bemerkung Wir wollen beide Bedingungen annehmen.
  Die erste Bedingung erscheint eigentlich als
  trivial denn Moleküle können ja nur dann
  reagieren, wenn sie auch vorhanden sind. Es
  könnte aber sein, dass für eine Reaktion der Form
  E S ? E P eine Dynamik der Form dP/dt k1
  S k2 ES definiert wird, die
  berücksichtigt, dass S auch ohne Katalysator zu P
  reagieren kann. Wir wollen aber in diesem Fall
  fordern, dass auch die Reaktion E ? P in der
  Menge der Reaktionsregeln enthalten ist.

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II.3.d Mass-Action Kinetics

• Die Rate der Reaktion ist proportional zur
  Konzentration der Reaktanden.
• Bsp 2AB -gt CdC/dt k AAB

Neben der Mass-Action-Kinetik gibt es noch eine
Fülle anderer Kinetiken, da die
Mass-Action-Kinetik nur in idealisierten
Situationen gilt. Ferner werden alternative
Kinetiken zur Vereinfachung verwendet. Vgl.
Michaelis-Menten-Kinetik i.F.
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II.3.e Michaelis-Menten Kinetics

• S E ?k_1 k_-1? ES ? k_2 E P
• Ansatz dES/dt dE/dt 0
• v V _max S / (k_m S)
• k_m (k_-1 k_2) / k_1
• V_max k_2 E_total
• E_total E ES

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II.3.f Zu- und Abfluss

• ? A (Zufluss von A)
• A ? (Abfluss von A)
• (math. Beschreibung, Übung, Tafel)

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II.3.f Selektiver Abfluss

• nicht selektiver AbflussFür alle Moleküle i, j
  gilt Das Konzentrationsverhältniss von i und j
  im Abfluss ist gleich dem im Reaktor

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II.3.f Gesteuert Abfluss am Beispiel
katalytischer Netzwerke

• (Tafel)
• Catalytic Network Equation
• Replicator Equation
• Hypercycle
• Concentration Simplex

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II.3.f Alternative Regelung der
Populationsgröße katalytischer
Reaktionsnetzwerke

• Einführung eines Substrats, das mit endlicher
  Rate (bspw. konstanter Rate) zufließt.
• (Tafel)

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II.4 Übungen
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II.4.a Ist das Lorenz-Modell eine chemische DGL?

• http//hypertextbook.com/chaos/21.shtml

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II.4.b Example HIV Dynamics
Wodarz/Nowak, PNAS 9614464,1999
uninfected CD4 T cells
infected CD4 T cells
CTL precursors
state after some time
initial state
CTL effectors
uninfected CD4 T cells
uninfected CD4 T cells
simulation model of HIV replication (4 ODEs)
infected CD4 T cells
infected CD4 T cells
CTL precursors
CTL precursors
CTL effectors
CTL effectors
CTL cytotoxic T lymphocytes
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II.4.b HIV Dynamics Simulation
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II.4.b HIV Dynamics Reaction Rules
Model by Wodarz/Nowak, PNAS 9614464,1999
uninfected CD4 T cells
infected CD4 T cells
CTL precursors
CTL effectors

• x
• x y ? 2y
• x y w ? x y 2w
• y w ? y z
• x ?
• y ?
• w ?
• z?

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Literatur

• Dynamische Systeme
• Hale, J. and H. Koçak (1991), Dynamics and
  Bifurcations, Springer Verlag, New York
• Bossel, H. (1992), Modellbildung und Simulation,
  Vieweg, Braunschweig
• Jetschke, G. (1989), Mathematik der
  Selbstorganisation. Deutscher Verlag der
  Wissenschaften, Berlin
• Elmer, Franz-Josef (1998), The lecture room,
  http//monet.physik.unibas.ch/elmer/pendulum/lroo
  m.htm
• Chemische Differenzialgleichungen /
  Reaktionskinetik
• Erdi, P., J. Toth (1989), Mathematical Models of
  Chemical Reactions, Princeton University Press,
  Princeton NJ
• In der Bib. gibt es eine Fülle von Büchern zu den
  Themen Enzyme Kinetics und Metabolic
  Modelling
• Werkzeuge
• William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A.
  Teukolsky, William T. Vetterling (1992),
  Numerical Recipes in C - The Art of Scientific
  Computing, Cambridge University Press, Cambridge,
  UKhttp//www.nr.com/