ENSEIGNEMENT DE LA GEOMETRIE et MAITRISE DE L'ESPACE - PowerPoint PPT Presentation

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ENSEIGNEMENT DE LA GEOMETRIE et MAITRISE DE L'ESPACE

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Title: L enseignement de l espace et de la g om trie dans l enseignement l mentaire Author: SALIN Marie-H l ne Last modified by: Marie-H l ne – PowerPoint PPT presentation

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Title: ENSEIGNEMENT DE LA GEOMETRIE et MAITRISE DE L'ESPACE


1
ENSEIGNEMENT DE LA GEOMETRIE et MAITRISE DE
L'ESPACEà lECOLE PRIMAIRE et au COLLEGE
  • Marie-Hélène Salin
  • Des commentaires complètent les diapos.
  • Ne pas regarder sous la forme diaporama

2
Partie I
  • Que recouvre lexpression  maîtrise de lespace
  • Une personne manifeste une certaine maîtrise de
    lespace si elle est capable de résoudre
    lessentiel des problèmes spatiaux quelle
    rencontre

3
Problèmes spatiaux
  • - leur finalité concerne l'espace sensible
  • - ils peuvent porter sur la réalisation
  •  d'actions fabriquer, se déplacer, déplacer,
    dessiner, etc..
  •  de communications à propos d'actions ou de
    constats. Le langage et les représentations
    spatiales permettent de communiquer des
    informations qui se substituent à la perception.
  • - la réussite ou l'échec est déterminée par le
    sujet par comparaison entre le résultat attendu
    et le résultat obtenu.

4
Un exemple dans les métiers du bâtiment les
activités de lecture-tracé
Exemple tiré de la recherche en cours de A.
Bessot et C. Laborde Projet École et sciences
cognitives  Activités et formation
professionnelles simulations informatiques
comme aide à la conceptualisation 
5
Plan de fabrication prédalle 2
6
Quelques questions abordées dans la première
partie
  • Dans quelle mesure lenseignement de la géométrie
    dans la scolarité obligatoire participe-t-il au
    développement de la maîtrise de lespace chez les
    élèves ?
  • Est-ce une finalité de cet enseignement ?
  • Si oui, comment est-elle prise en compte dans les
    programmes ?
  • Avec quels résultats ?

7
Les finalités générales de la scolarité
obligatoire
  • Deux fonctions de la scolarité obligatoire
  • - préparer les élèves aux apprentissages
    ultérieurs, en particulier professionnels et
    scolaires,
  • - les préparer à assumer les décisions quils
    doivent prendre dans leurs milieux de vie.
  • De ce double point de vue,
  • des connaissances et des compétences spatiales
    minimales sont nécessaires

8
Les finalités de lenseignement de la géométrie
dans la scolarité obligatoire
  • A lécole primaire,
  • cet enseignement, qui se nomme  espace et
    géométrie , doit aider lélève à se situer dans
    lespace, à décrire des situations spatiales et à
    pouvoir y agir par la connaissance des notions
    géométriques élémentaires et lusage des
    instruments et du mesurage.

9
Les finalités de lenseignement de la géométrie
dans la scolarité obligatoire
  • Par contre, au collège, cest moins clair
  • -  lemploi de loutil mathématique est
    précieux dans de multiples circonstances, de la
    gestion familiale à lactivité scientifique ou
    professionnelle .
  • - Dans les objectifs généraux pour le collège, la
    priorité semble donnée au raisonnement
    géométrique
  • - est notée la familiarisation avec des
    représentations de lespace

10
Des programmes à la pratique effective
  • En primaire
  • Au collège
  • La faible place accordée aux connaissances
    spatiales est justifiée si leur acquisition se
    fait quasi-spontanément, dans les interactions
    familières de l'enfant avec le milieu spatial.
  • Est-ce bien le cas ? Quelques exemples

11
Quelques résultats concernant les compétences des
élèves à l'issue de l'école primaire
  • Exemple 1 lorientation dun plan pose problème
    à beaucoup délèves de 11 ans

12
Lorientation dun plan
  • Nos résultats montrent que les trois-quart de
    ces élèves de 10-11 ans ne maîtrisent pas
    convenablement l'utilisation d'un plan dans une
    activité d'anticipation spatiale, et que 40
    d'entre eux sont même assez loin de la
    compréhension des propriétés spatiales en jeu
    dans une mise en oeuvre correcte

13
Quelques résultats concernant les compétences des
élèves à l'issue de l'école primaire
  • Exemple 2
  • Les connaissances enseignées en primaire ne
    sont guère disponibles pour résoudre des
    problèmes posés dans un autre espace que la
    feuille de papier

14
Résoudre des problèmes posés dans un autre espace
que la feuille de papier
15
  • - Presque tous les élèves prennent les mesures
    des (4 ou 2) côtés, placent deux pastilles, et
    ajustent les deux autres par tâtonnement pour que
    les 3 distances restantes correspondent aux
    longueurs.
  • - Très peu délèves (moins de 10) recourent à
    une utilisation immédiate de léquerre et font un
    positionnement convenable des quatre coins.
  • - Les élèves constatent donc un échec massif à la
    réalisation, lorsquon tente de placer les coins
    du tapis sur les marques faites au sol.

16
  • - parmi les élèves qui échouent, plus de 60 sont
    incapables dentrevoir lorigine de leur échec et
    imputent celui-ci à une erreur de prise des
    longueurs.
  • - Pourtant, les évaluations ministérielles
    montrent que les concepts enseignés sont
    relativement bien acquis quand les épreuves sont
    classiques

17
Évaluation 6éme
  • a. On a commencé le dessin du carré ABCD. Termine
    le dessin de ce carré
  • 4èmesommet correctement placé  84,7
  •  b. Trace le cercle de centre B passant par A.
  • tracé correct 76,2

18
Quelques résultats concernant les compétences des
élèves de lenseignement technique
  • Exemple 3 Les opérations nécessaires à la
    maîtrise de la représentation des objets de
    l'espace ne sont pas construites chez de nombreux
    élèves de 15 ans

19
Représentation des objets de l'espace
  • 30 à 40 des élèves narrivent pas à changer de
    point de vue d'observation pour repérer la
    troisième dimension. 
  • Toute linformation est demandée à la vue de
    face, stéréotype représentatif,
  • De grandes difficultés à sortir du stéréotype
    pour choisir une autre vue de face. 

20
Les difficultés des élèves (et des
professionnels) des métiers du bâtiment 
  •  un nombre significatif de litiges entre le
    fabricant et le client résultent derreurs
    commises par les ouvriers dans la tâche de
    lecture - tracé (30 de litiges déclarés) .

21
Partie II
  • Pourquoi lenseignement de la géométrie
    semble-t-il si peu efficace du point de vue des
    compétences spatiales, telles que définies
    ci-dessus ?
  • Quelques interrogations plus précises.

22
  • 1 comment sont liées les connaissances
    spatiales et les connaissances géométriques ?
  • 2 les compétences et connaissances spatiales
    ont-elles besoin dêtre enseignées ?
  • 3 si on vise une certaine maîtrise spatiale,
    peut-on limiter les rapports avec lespace à des
    rapports avec des représentations (travail sur
    les plans) ou des figures de lespace graphique ?
  • 4 au collège, quels peuvent être les effets de
    la centration de lenseignement sur la
    démonstration, du point de vue de la maîtrise de
    lespace ?

23
1. Connaissances spatiales et connaissances
géométriques
  • Nous avons pris le point de vue suivant
  • d'une part différencier les types de
    connaissances (spatiales / géométriques) par les
    types de situations et de problèmes dans
    lesquelles elles sont mobilisées.
  • d'autre part prendre le terme  géométrie  au
    sens strict, c'est-à-dire renvoyant à une branche
    des mathématiques.

24
Problème de géométrie
  • Les problèmes de géométrie, au sens où ce mot est
    employé en mathématiques
  • Résoudre un problème de géométrie est une
    activité qui concerne le caractère nécessaire de
    certaines propriétés des objets de la géométrie.
  • Un exemple simple Construire un segment AC de
    5 cm de longueur et un triangle ARC tel que AR
    3 cm et RC 4 cm. Quelle est la nature du
    triangle ARC ?
  • Un raisonnement géométrique permet de prévoir que
    le triangle ARC est rectangle en R, en sappuyant
    sur les données et un théorème, la réciproque du
    théorème de Pythagore

25
  • Une  figure-dessin  peut soutenir le
    raisonnement, mais le constat des propriétés sur
    la  figure-dessin  ne permet pas de valider la
    proposition mise à l'étude.
  • Les situations de géométrie mettent donc en
    interaction un sujet  mathématicien  avec un
    milieu qui n'est plus l'espace physique et ses
    objets mais un espace conceptualisé.
  • Les connaissances géométriques (dont sont
    extraites celles enseignées dans le secondaire)
    constituent un savoir la géométrie euclidienne

26
Les rapports entre connaissances spatiales et
connaissances géométriques
  • leur genèse seffectue différemment 
  • ce sont les problèmes spatiaux qui ont donné
    naissance à la géométrie
  • Les connaissances géométriques sont des outils
    pour la résolution des problèmes spatiaux 
  • Le vocabulaire  points communs et différences
  • L'organisation des connaissances

27
En conclusion
  • Les connaissances spatiales et les connaissances
    géométriques
  • - ne sont pas mobilisées dans le même type de
    problèmes,
  • - ne se recouvrent pas les unes les autres,
  • - on ne peut pas faire de géométrie sans un
    minimum de connaissances spatiales
  • - dans notre société, un minimum de
    connaissances géométriques sont nécessaires pour
    résoudre des problèmes spatiaux ordinaires ou
    professionnels.

28
2. Les compétences et connaissances spatiales
ont-elles besoin dêtre enseignées ?
  • Deux problématiques possibles pour la résolution
    des problèmes spatiaux
  • Un exemple hors école, pour comprendre lenjeu de
    cette distinction Le vitrier

29
La problématique pratique
  • Cest la problématique de la vie courante, des
    problèmes spatiaux  ordinaires . Le sujet tente
    de les résoudre de la manière la plus rapide
    possible. Si la solution n'est pas satisfaisante,
    le sujet va l'ajuster à la solution attendue par
    une suite de corrections immédiates, sans se
    soucier de corriger la méthode utilisée
    initialement pour l'obtenir

30
La problématique de modélisation
  • Cest la problématique dans laquelle se situent
    les  professionnels , ingénieurs, techniciens.
  • Le problème concerne l'espace sensible. Comme
    pour la problématique pratique, la solution doit
    pouvoir être validée dans l'espace sensible. Mais
    la solution doit être reproductible, dépassant le
    problème immédiat.

31
La problématique de modélisation
  • la solution d'un problème par modélisation doit
    être construite dans le système symbolique du
    modèle
  • L'interprétation dans l'espace sensible de la
    solution construite dans le modèle permet la
    validation pragmatique de l'ensemble de la
    démarche
  • Modélisation spatio-géométrique modélisation
    de l'espace par des connaissances issues du
    savoir géométrique,
  • Modélisation analogique modélisation d'un
    espace par un autre  schéma, dessins, plans,
    etc..

32
Retour sur lenseignement des connaissances
spatiales
  • La problématique pratique est présente dès la
    naissance. De nombreuses compétences spatiales de
    base se développent, relayées et approfondies par
    certaines situations denseignement à lécole
    maternelle et au cycle 2,
  • La problématique pratique ne suffit plus sitôt
    quest visée une certaine modélisation, même très
    élémentaire, des problèmes spatiaux, quils
    relèvent des connaissances  analogiques  ou
     spatio-géométriques .

33
3. Peut-on limiter les rapports avec lespace à
des rapports avec des représentations (travail
sur les plans) ou des figures de lespace
graphique ?
34
Exemple 1  le travail sur le plan
35
Exemple 2 le déplacement du tapis
  • Les élèves ont appris à dessiner des rectangles
    sur du papier, et à parler de ses propriétés.
    Mais ils n'ont jamais ressenti la nécessité
    d'utiliser effectivement les propriétés des
    angles droits. Pourquoi ? Parce qu'ils utilisent
    d'autres propriétés pour contrôler leurs dessins
    sur papier. Par exemple, ils peuvent contrôler la
    forme par des moyens perceptifs qui sont très
    efficaces dans ce micro-espace.

36
  • Pour résoudre le problème, les élèves doivent se
    transporter dans un espace qui n'est plus
    l'espace symbolique de la géométrie, où ils ne
    peuvent plus contrôler une forme d'un seul coup
    d'oeil (comme sur le papier), et le modifier
    immédiatement. Ils doivent reconstruire tout le
    modèle géométrique lignes joignant deux points
    (places des coins), et contrôler la position
    relative des lignes avec des angles ils doivent
    aussi contrôler les liens entre l'espace et le
    modèle.

37
Pour conclure à propos de lenseignement
primaire
  • Les connaissances dont disposent les élèves
    concernent surtout lespace de la feuille de
    papier.
  • Lenseignement de lespace et de la géométrie à
    lécole primaire sous-estime la difficulté
    dacquisition des connaissances spatiales.
  • Il laisse à lélève la charge détablir des
    rapports adéquats entre lespace et les concepts
    qui lui sont enseignés.

38
4. Les effets du changement de rapport aux
figures initié en 6ème
  • Depuis vingt ans, les programmes privilégient un
    passage en douceur de la géométrie
     instrumentée  à la géométrie  déductive  et
    évoquent pour la classe de 6ème la mise en place
    de  courtes séquences déductives 
  • Dans la plupart des manuels, il y a confusion
    entre séquence déductive et démonstration.
  • Pour essayer daider les élèves, des moyens
    différents sont proposés

39
Essayer de convaincre les élèves que mesurer ou
utiliser les instruments est imprécis
40
Mesurer ou utiliser les instruments est imprécis
  • Il sagit dintroduire la nécessité de la
    démonstration en disqualifiant la mesure, trop
    imprécise, sans prendre en compte le fait que les
    deux méthodes (mesure et logique) pour vérifier
    la vérité dune assertion, sappliquent à des
    objets de nature complètement différente. Une
    personne qui veut savoir si ses murs sont
    déquerre devrait-elle renoncer à lemploi dune
    équerre ou à des mesurages sous prétexte que ces
    mesures peuvent être imprécises ?

41
Développer un apprentissage systématique du
codage et de règles de prélèvement dinformations
sur une figure
42
Introduire en 6ème des figures à main levée,
dès les premiers chapitres de géométrie
43
Quelles conséquences pour le développement des
compétences spatio-géométriques ?
  • Les exercices présentés ont toutes chances dêtre
    incompréhensibles pour des élèves de 6ème
    puisquils renvoient à un type de rapport à la
     figure-dessin  spécifique de la géométrie
    mathématique qui leur est étrangère.
  • Selon les moments, tantôt le professeur a les
    mêmes exigences en 6ème quau CM2 (géométrie
    instrumentée), tantôt il  démolit  les
    connaissances que lélève a mis plusieurs années
    à acquérir et qui lui permettent davoir prise
    sur le réel. Comment ce dernier pourrait-il sy
    retrouver ?

44
  • La disqualification du rapport spatial aux
    figures-dessins, sans justification accessible
    aux élèves, les conduit à adopter des
    comportements incompréhensibles si on ne les
    remet pas dans ce contexte
  •  Même quand il sagit de construire un patron de
    cube, dont jai donné les dimensions, les élèves
    ne les respectent pas, ils nassocient
    visiblement pas un patron à un objet précis mais
    plutôt à une famille dobjets  (PLC2, à propos
    de ses élèves de 5ème)

45
Partie IIIA
  • Quelques pistes à lécole primaire
  • - Introduire, dès l'école primaire, les savoirs
    géométriques de base comme outils pour résoudre
    effectivement des problèmes spatiaux.
  • - Utiliser la feuille de papier comme laboratoire

46
Exemple 1 Alignement et visée
  • Objectifs
  • - introduire la notion dalignement dans une
    situation spatiale, en liaison avec la visée et
    le fait que si lœil est dans lalignement
    déterminé par deux objets  quasi ponctuels ,
    lobjet le plus proche de lœil cache lautre.
  • - relier alignement-visée et ligne droite
  • - travailler simultanément dans le méso-espace et
    dans lespace de la feuille de papier.

47
(No Transcript)
48
Le viseur(posé sur une table roulante support de
rétro)
49
Déroulement en 6ème de SEGPA
  • Phase 1 jeu par équipes
  • Phase 2 jeu par deux puis représentation sur un
    plan
  • Phase 3 nouveau jeu par équipes
  • Phase 4 institutionnalisation
  •  depuis la position où on veut mettre la
    bouteille, regarder le poteau et le viseur. Il
    faut que le poteau cache le trou du viseur. 
  • ou   la bouteille, le poteau et le viseur
    doivent être alignés 

50
  • Phase 5 plus de viseur
  • Il faut aligner sur le sol quatre croix en légos
    avec des contraintes.
  • Matériel des ficelles, une règle de maçon

51
Réinvestissement et entraînement
Ex 1 Choisis une place pour le viseur, doù on
ne voit pas la bouteille
52
Exemple 2 (C. Maurin ) Jouer aux maçons en
traçant les contours dune maison de 12 mètres
sur 9 m
  • Premier essai en général, fabrication de
    parallélogrammes non rectangles. Quelques-uns
    utilisent léquerre, les résultats ne sont pas
    fameux
  • Travail sur le plan à la recherche dautres
    propriétés. Découverte de légalité des longueurs
    des diagonales et de lexistence du centre du
    rectangle
  • Les figures qui ont la propriété énoncée
    sont-elles des rectangles ? Recherche sur feuille

53
  • Retour sur le terrain recherche dune procédure
    adaptée à la taille de lespace
  • Enrichissement de la carte didentité du
    rectangle
  • Conclusion de C. Maurin
  •  Le fait de poser un problème de construction
    dans lequel les dimensions de la figure dépassent
    largement la taille des élèves peut les amener à
    remettre en cause leur mode de fonctionnement
    spontané et à entrer dans un questionnement de
    nature géométrique. La feuille de papier change
    de statut et devient un laboratoire
    dexpérimentation graphique. 

54
Partie IIIB
  • Quelques pistes en 6ème pour introduire au
    raisonnement déductif en confortant un juste
    rapport à lespace

55
Elaborer un raisonnement déductif est possible
dès la fin du cycle trois
  • Un exemple de test réussi, après un certain type
    travail. Le texte est donné sans figure
  • On a donné à un enfant une figure qui
    ressemble beaucoup à un carré, en lui disant de
    vérifier si c'est bien un carré. Il a mesuré les
    quatre côtés et trouvé qu'ils étaient de même
    longueur. Il a vérifié ensuite un angle avec son
    équerre. Il a trouvé qu'il n'était pas droit. Il
    a alors dit  Ce n'est pas la peine que je
    vérifie les autres angles, je suis sûr que cette
    figure n'est pas un carré.  Es-tu d'accord avec
    lui? Justifie ta réponse.

56
Des conditions favorablessinon nécessaires
  • Le raisonnement est nécessaire pour anticiper la
    solution dun problème spatial.
  • Des contextes différents sont accessibles aux
    élèves
  • - espace de la feuille de papier mais avec des
    limitations (ex 1. M. Le Berre)
  • - prévoir des mesures dun espace effectif à
    laide dun raisonnement sur un schéma (ex 2)
  • - prévoir des propriétés à partir de la
    représentation en perspective dun solide
     existant  (ex 3)

57
Parallèles et perpendiculaires.Introduction du
théorème
58
Adaptation dun item de lévaluation 5ème
59
Adaptation dun item de lévaluation 5ème
(envisageable après lintroduction de schémas
comme moyen de communication dinformations
spatiales)
  • Consigne   je vous donne un schéma qui décrit
    la figure que jai dessinée, mais je ne vous la
    montre pas ! Vous devez être capables de trouver
    la mesure du segment EB à laide des informations
    écrites sur le schéma. Quand vous aurez tous fait
    votre prévision, je relèverai les résultats, nous
    essaierons de comprendre comment vous avez trouvé
    et nous vérifierons ensuite sur mon dessin. 

60
Prévoir des propriétés sur une
représentationavant de vérifier sur le solide
  • Essaie de prévoir à partir du dessin en
    perspective
  • - Quelle est la nature des triangles EFG, BFG,
    AFB ?
  • Quelle est la nature du quadrilatère EIJF ?
  • Vérifie sur ton cube

61
En guise de conclusion
  • On ne peut espérer enrichir lexpérience spatiale
    des élèves de lapport de la géométrie
    mathématique si dans lenseignement, dès le
    départ, on ne leur permet pas dexpérimenter son
    intérêt en tant que moyen danticipation, dans
    des situations bien choisies.
  • Dans ces situations, le problème doit être posé
    de telle manière que la problématique pratique ne
    puisse être mobilisée.

62
  • Cette façon de travailler suscite des questions
  • - dordre matériel comment sorganiser ?
  • - dordre conceptuel, en particulier, comment
    aider les élèves à différencier la qualité dune
    production et la qualité dune démarche de
    résolution ?
  • - dordre pédagogique combien de situations
    de ce type ? comment mener les mises en commun,
    institutionnaliser, construire des exercices ?
    etc..

63
Cest pour cela que la retraitée que je suis dit
aux plus jeunes, enseignants et chercheurs
 Continuez les recherches . 
64
Bibliographie
  • BERTHELOT R. et SALIN M.H. (1994), Lenseignement
    de la géométrie à lécole primaire, Grand N n 53
    IREM de Grenoble
  • BERTHELOT R. et SALIN M.H. (1999), L'enseignement
    de lespace à lécole primaire Grand N n 65
  • BERTHELOT R et SALIN M.H.(2001), L'enseignement
    de la géométrie au début du collège Comment
    concevoir le passage de la géométrie du constat à
    la géométrie déductive ? Petit x n 56 IREM de
    Grenoble

65
  • Bessot A. Laborde C.( 2005)
  •  Vers une modélisation dune géométrie en actes
    dans les activités de lecture-tracé du bâtiment 
    Actes du séminaire national de didactique des
    mathématiques Année 2005 ed IREM Paris 7
  • brochure inter-IREM (2001)  Articulation
    Ecole-Collège des activités géométriques 
  • IREM Paris 7

66
  • I.N.R.P. (1984) L'apprentissage de la géométrie
    du dessin technique Des constats d'échec et des
    moyens de réussite. Collection "rapports de
    recherche" 1984 n9
  • Jaffrot Al (1997) Lire et écrire en
    mathématiques Des mathématiques au cycle central,
    Editions IREM de Nantes
  • Revue Grand N de nombreux articles traitent de
    lenseignement de la géométrie en cycle 3
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