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CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ
VARIABILI - 3.
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Argomenti della lezione

• Forme quadratiche. Criteri per i punti destremo
  liberi.

• Differenziazione di funzioni da Rm a Rn.

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FORME QUADRATICHE.
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Vogliamo dare condizioni sufficienti per
lesistenza di punti destremo (max o min)
relativi.
A questo scopo definiremo e studieremo
brevemente le forme quadratiche.
Una forma quadratica su Rm è un polinomio
omogeneo di grado due nelle variabili h1, h2, ,
hm.
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Con notazione vettoriale, si scrive
q(h1, h2, , hm) hTAh, h? Rm
È facile riconoscere che una forma quadratica si
può pensare generata da una matrice simmetrica,
cioè con
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Qualche semplice esempio...
È, come si ricorderà, la forma quadratica
associata al differenziale secondo di una
funzione nel punto x0. La chiameremo lHessiano
di f in x0.
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Una forma quadratica q(h1, h2, , hm) si dice
1. Definita positiva (negativa) se per ogni h?
Rm, h? 0, q(h) gt 0 (lt 0).
2. Semidefinita positiva (negativa) se per ogni
h? Rm, h? 0, q(h) 0 ( 0), ma esiste h? 0 tale
che q(h) 0.
3. Indefinita se esistono h1, h2 ? Rm, tali che
q(h1) gt 0 e q(h2) lt 0 .
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Data la matrice A associata a una forma
quadratica q(h1, h2, , hm), diremo minori
principali (di NW) i minori formati con le prime
k righe e k colonne di A.
M1 a11
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(No Transcript)
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Criterio
(di Jacobi - Sylvester )
Sia data la forma q(h1, h2, , hm) hTAh.
a) hTAh è definita positiva se e solo se Mkgt 0
per k 1, 2, , m
b) hTAh è definita negativa se e solo se
(-1)kMkgt 0 per k 1, 2, , m
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Nel caso delle f.q. in due variabili, possiamo
provare un criterio più completo.
q(h1,h2) a?h12 2?b?h1?h2 c?h22
a(h1 (b/a)?h2)2 ((ac-b2)/a)?h22
hTA h
dove
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Allora la f.q. q(h1,h2)

a) è definita positiva (negativa) se e solo se
det A gt 0 e a gt 0 (lt 0)
b) è indefinita det A lt0
c) è semidefinita positiva (negativa) se e solo
se det A 0 e a gt 0 (lt 0) oppure a 0 e c gt 0
(lt 0)
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Teorema
Sia f A ? Rm ? R, una funzione C2(A).
Se in x0 è ?f(x0) 0 e se
i) d2fx0 è definito positivo, allora x0 è punto
di minimo relativo.
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ii) d2fx0 è definito negativo, allora x0 è punto
di massimo relativo.
iii) d2fx0 è indefinito, allora x0 non è punto
né di max né di min relativo.
iv) d2fx0 è la f.q. nulla o è semidefinito,
allora nulla si può concludere in generale.
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In particolare, per funzioni di due variabili
H(x0,y0)
Se
e
det H(x0,y0) gt 0
gt 0
allora (x0,y0) è punto di min rel.
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Se
e
det H(x0,y0) gt 0
lt 0
allora (x0,y0) è punto di max rel.
Se
det H(x0,y0) lt 0
allora (x0,y0) è punto di sella.
Se
det H(x0,y0) 0
allora nulla si può in generale sulla natura di
(x0,y0).
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Calcoli ed esempi a parte..
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Differenziazione di funzioni da Rm a Rn.
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Una funzione f A ? Rm ? Rn , A aperto, fa
corrispondere a ogni x ? A un solo y ? Rn.
y ? Rn ha n componenti, ciascuna funzione delle
m componenti di x
Dunque y f(x) corrisponde a n funzioni fi A
? Rm ? R, i 1,.., n
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f A ? Rm ? Rn è continua in x0? A se e solo se
ciascuna delle componenti fi A ? Rm ? R, i
1,.., n è continua in x0 ? A. f A ? Rm ? Rn
ha limite l ? Rn per x ? x0 se e solo se ogni
componente fi A ? Rm ? R ha limite li per x ?
x0.
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Diremo che f A ? Rm ? Rn è differenziabile in
x0? A se esiste unapplicazione lineare L Rm ?
Rn tale che, se x x0 h (x, x0,h ? Rm)
f(x) f(x0) L h ?(h) h
con ?(h)? 0 se h ? 0
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Si verifica che f A ? Rm ? Rn è
differenziabile se e solo se lo sono le sue
componenti. Si trova che il differenziale di f è
rappresentato dalla seguente matrice L con m
colonne ed n righe
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Nella matrice L ogni riga è il differenziale di
una componente fi di f .
Ci interesserà nel seguito la seguente formula
di derivazione di funzione composta più generale
di quella già dimostrata.
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Teorema
(Derivazione di funzione composta )
Sia f A ? Rm ? Rp, A aperto,
differenziabile in x0, g ? ? Rn ? A ? Rm , ?
aperto, x0 g(u0), esistano finite in u0 tutte
le derivate ?ui gk (u0), i1,..,n , k 1,..,m
, allora
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F(u) f(g(u)), ? aperto, ha tutte le
derivate parziali ?ui Fr. E vale
r 1,, p.
Un accenno di calcolo a parte..