Diapositive 1

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Mouvement dun corps soumis à lattraction
gravitationnelle dun autre corps
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Johannes KEPLER (1571 - 1630)
" loi des aires " (1604)
le rayon vecteur qui joint le Soleil à une
planète balaie des aires égales en des temps
égaux.
" loi du mouvement elliptique " ( 1609)
les planètes décrivent des orbites elliptiques
dont un des foyers est occupé par le Soleil.
3ème loi (1618 )
pour l'ensemble des planètes, le carré de la
période orbitale T est proportionnel au cube du
grand axe a.
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Galileo GALILEI (1564 1642)
Étude expérimentale du mouvement dun corps en
chute libre
Expérience réalisée en 1602 pour évaluer la
vitesse des corps au cours de leur chute. Des
billes de laiton glissent dans des rainures
inclinées longues de quatorze mètres et les
durées de chute sont mesurées avec une horloge à
eau.
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La vitesse des billes est dautant plus grande
que leur chute dure plus longtemps.
La vitesse saugmente de quantités égales dans
des temps égaux quelconques.
Le mouvement de chute des corps est uniformément
accéléré
La longueur de la chute dun corps dépend, non
pas de sa durée,mais du carré de cette durée
au bout dun temps double, le corps parcourt un
espace quadruple.
Principe de linertie
publié en 1638, lorsque Galilée était en
résidence surveillée à Arceti
Un corps qui nest soumis à aucune force est
animé dun mouvement rectiligne et uniforme
Mais une question restait pourquoi les planètes
se déplaçaient-elles sur des courbes et non en
ligne droite ?
Cest Robert Hooke qui devait y répondre quelques
dizaines dannées plus tard.
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Galileo GALILEI (1564 1642)
Discours et démonstrations publié en 1638
Nous avons été conduit comme par la main à la
découverte de la loi du mouvement naturellement
accéléré par lobservation des autres œuvres de
la nature, où elle nemploie jamais que les
moyens les plus simples et les plus faciles.
Lorsque je vois quune pierre acquiert, dans sa
chute, dincessants accroissement de vitesse,
pourquoi ne penserais-je pas que ces
accroissements sont réglés de la façon la plus
simple ?
Or, si nous y regardons attentivement, nous ne
trouverons aucun mode daccroissement plus simple
que celui qui se fait toujours de la même
manière. Et on le comprendra facilement en
observant la très grande affinité qui se trouve
entre le temps et le mouvement car de même que
le mouvement uniforme se conçoit et se définit
par luniformité dans le temps et légalité dans
les espaces, de même nous pouvons concevoir que
les accroissements de vitesse se fassent dune
manière simple dans les parties égales des temps,
en imaginant que, dans le mouvement uniformément
accéléré, la vitesse reçoive les mêmes
accroissement dans des temps égaux quelconques,
de sorte que le mobile acquérant au bout de deux
particules de temps, au bout de trois, etc., des
vitesses double, triple, etc., de celle quil
avait acquise à partir du repos dans la première
sil prenait au bout de chacune de ces
particules de temps, un mouvement uniforme dont
la vitesse fut la vitesse alors acquise, il
parcourrait dans ces divers mouvements des
chemins simple, double et triple, etc., dans un
même temps.
Nous dirons donc quun mouvement uniformément
accéléré est celui dans lequel la vitesse
saugmente de quantités égales dans des temps
égaux quelconques.
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Robert HOOKE (1635 - 1703)
Hooke était fasciné par lincroyable simplicité
apparente de la troisième loi de Képler.
Pour facilité une première explication, il
identifia les orbites planétaires à des cercles.
Les planètes nayant pas un mouvement rectiligne
uniforme, elles devaient être soumises à laction
dune force dirigée radicalement vers lintérieur
de lorbite.
Hooke proposa lanalogie du mouvement dune
pierre attachée à une ficelle que lon fait
tourner avec le bras. La force agissant sur la
pierre dépend de la masse m de la pierre, de sa
vitesse v, et de la longueur a de la corde.
Christian HUYGENS (1629 - 1695)
Une planète de masse m, sur un cercle de rayon r,
est soumis à une force gravitationnelle
mais
?
?
?
La force gravitationnelle agissant sur une
planète est inversement proportionnelle au carré
de sa distance au Soleil.
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Isaac NEWTON (1642 1727)
Le génie de Newton fut davoir synthétisé tous
les résultats de ses prédécesseurs et davoir
clairement démontré luniversalité de la
gravitation.
De 1684 à 1687, il travailla à la rédaction dun
ouvrage quil publia en 1687 Philosophae
naturalis principia mathématica.
Dans les deux premières parties de Principes,
Newton décrivait les lois générales du mouvement
Le Principe de linertie
Tout corps maintient son état de repos, ou de
mouvement uniforme rectiligne, à moins que des
forces agissant sur lui ne le forcent à modifier
cet état.
Le Principe fondamental de la dynamique
Laccélération dun corps est proportionnelle à
la force agissant sur lui et elle est dans la
direction dans laquelle la force agit.
? m . ?
Le Principe de laction de de la réaction
À chaque action soppose toujours un réaction
égale les actions mutuelles de deux corps lun
sur lautre sont toujours égales et opposées
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Dans la troisième partie des Principes, Newton
démontre à laide de son invention, le calcul
différentiel et intégral, le comportement de la
force de gravité dans le cas des orbites
elliptiques.
Loi de la gravitation universelle
Chaque corps dans lunivers attire tout autre
corps avec une force F qui est proportionnelle
au produit de leur masse m1 et m2 et inversement
proportionnelle au carré de la distance d entre
leurs centres
G est la constante gravitationnelle
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Relation fondamentale de la Dynamique et Moment
cinétique dun mobile
Un corps de masse m , animé dune vitesse ? à un
instant t, est soumis à une force ?
Si un corps P est animé dun mouvement de
rotation autour dun point O
s m.v.?
Si M? est le moment de la force ? qui sexerce
sur le corps P
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Conservation du moment cinétique et loi des aires
Lorsquun corps P est soumis à laction
gravitationnelle dun corps céleste, la force
dattraction ? est toujours dirigée vers un même
point C, le centre du corps céleste.
Son moment par rapport au point C est donc
constamment nul
s constante
v.? constante
s m .v.? constante ð
P et P' sont deux positions du corps à deux
instants voisins t et t dt
P P' v.dt
Laire du triangle PCP'
Puisque v.? constante
Laire balayée par le rayon vecteur dune planète
est proportionnelle au temps.
Cest la  loi des aires  découverte par Képler
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Énergie mécanique du corps P
Le rayon vecteur r C P du corps P de masse
m soumis à lattraction du corps céleste C de
masse M varie constamment au cours du temps
mais son énergie totale reste constante.
Énergie cinétique Ec Énergie potentielle Ep
Énergie totale E constante
En coordonnées polaires,
lénergie cinétique a pour expression
LÉnergie potentielle du corps P soumis à
lattraction du corps C vaut
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Équation de la trajectoire du corps P en
coordonnées polaires
Les coordonnées de P sont r et ?, fonctions du
temps t.
Léquation de la trajectoire est de la forme r
f(?)
Dans léquation
il faut donc éliminer le temps t
, dS sexprime en coordonnées polaires par
Dans la loi des aires
?
et
?
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Si on pose
et
Léquation
sécrit
En dérivant par rapport à ?, cette expression où
E est une constante, on obtient
et après simplification
soit
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Léquation
admet comme solution
où K, A et ?0 sont des constantes déterminées par
les conditions initiales du mouvement position
initiale du corps, module et direction de la
vitesse à lorigine du temps
Cette relation r f(?) représente léquation de
la trajectoire du corps P
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Équation générale dune conique en coordonnées
polaires
où p est le paramètre et e lexcentricité de la
conique
?0 est langle que fait le grand axe de la
conique avec laxe polaire origine.
Si e 0 la conique est un cercle
Si e lt 1 la conique est une ellipse
Si e 1 la conique est une parabole
Si e gt 1 la conique est une hyperbole
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Équation de la trajectoire du corps P
Équation générale dune conique
et
Si on prend
léquation de la trajectoire sécrit
soit
Lorsquun corps est soumis à lattraction
newtonienne dun autre corps sa trajectoire est
une conique
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Cas dune ellipse définie par son demi-grand axe
a et son excentricité e, léquation
devient
Périhélie pour cos(?-?0) 1
Aphélie pour cos(?-?0) - 1