Presentaci

1
Presentación elaborada por la profesora Ana Mª
Zapatero a partir de los materiales utilizados en
el centro (Editorial SM)

• Derivadas. Teoremas
• 2º Bachillerato

2
Esquema
3
Tasa de variación media en un intervalo
Para una función f(x) se define la tasa de
variación media de f en un intervalo a, b,
contenido en el dominio f(x), mediante el
cociente
La tasa de variación media es una medida de la
variación que experimenta una función, en un
intervalo, por unidad de variable independiente.
Pendiente positiva
Pendiente negativa
4
Tasa de variación media en un intervalo ejemplo
La evolución en el tiempo del número de afiliados
a la Seguridad Social en España entre 1980 y 1999
ha seguido un modelo similar al que se refleja en
la gráfica, donde x representa el tiempo en años,
siendo x 0 el año 1980, y f(x) representa el
número de afiliados expresado en millones.



Que puede interpretarse de la siguiente manera
entre 1980 y 1999 el número de afiliados aumentó
por término medio, en unas 124000 personas por
año.



5
Tasa de variación instantánea

6
Derivada de una función en un punto
Def Se dice que f(x) es derivable en xp si
existe el siguiente límite.
Si el límite existe y es finito, la derivada de
f(x) en xp es
7
Interpretación geométrica de la derivada
Al hacer que h ? 0, ocurrirá que

• p h tiende (se acerca) a p

• Q recorre la curva acercándose a P

• La recta secante a la curva se convierte en la
  recta tangente

• La inclinación de la recta secante tiende a la
  inclinación de la recta tangente

Si la función f tiene derivada en el punto p, la
pendiente de la recta tangente a la gráfica de la
función f en este punto es la derivada de f en p .
8
Ecuación de la recta tangente
Ecuación de la recta que pasa por un punto A(a,
b) y de pendiente m y b m (x a)
f(a)

• Entonces
• Pendiente de la tangente mt f '(a)
• Ecuación de la recta tangente
• t ? y f(a) f '(a) (x a)

a
9
Ecuación de la recta normal
Ecuación de una recta que pasa por un punto P(p,
f(p)) y de pendiente m y f(p) m (x p)
Como la tangente y la normal son perpendiculares
sus pendientes son inversas y cambiadas de signo.
Entonces Pendiente de la tangente mt f
'(p) Ecuación de la recta tangente y
f(p) f '(p) (x a) Pendiente de la normal
mn 1/f '(p) Ecuación de la normal y f(p)
1/f '(p) (x a)
10
Derivadas laterales
f '(a) tg a gt 0
f '(a) tg ß lt 0
Por ser f '(a) ? f '(a), f(x) no es derivable
en el punto a.
11
Teorema
Una función derivable en un punto es continua en
dicho punto.
Demostración Queremos llegar al límite de la
función en el punto
12
Relación continuidad y derivabilidad
Hay funciones continuas en un punto que no son
derivables en ese punto.
y x es continua en 0, pero no es derivable en
dicho punto
tga
tg ß
13
Función derivada
Se llama función derivada de una función f(x) a
la función f '(x) que asocia a cada x del dominio
de f(x) la derivada de f(x) en x, siempre que
exista.

• Derivada de f(x) x2 en el punto 3

• Derivada de f(x) x2 en el punto 2

Para obtener la derivada en x
Se dice que la función derivada (o simplemente la
derivada) de y x2 es f '(x) 2x
14
Consecuencias de la definición de derivada

• La función derivada no identifica totalmente a la
  función, pues funciones que se diferencian en una
  constante, tienen la misma función derivada.

Ej. f(x) g(x) k siendo k constante ? f(x)
g(x)
h(x) g(x) k siendo k una
constante ? h(x) g(x) Geométricamente,
indica que las funciones f(x) y h(x) se obtienen
mediante una traslación de vector paralelo al eje
Y y módulo k ó k. Por ello las tangentes a las
tres funciones son paralelas.
15
Derivadas de operaciones con funciones
Sean f y g dos funciones derivables en un punto x
? R y sea c un número real.

(cf)'(x) cf '(x)
(f g) '(x) f '(x) g'(x)
(fg) '(x) f '(x)g(x) f(x)g'(x)
16
Demostración de la regla de derivación del
cociente

• Enunciado La derivada de un cociente

17
Derivada de una función compuesta regla de la
cadena
Se define la composición de una función f con
otra función g, y se denota por gºf a la nueva
función dada por (gºf) (x) g(f(x)).
Ejemplo
La función h(x) (2x 1)2 es la composición de
dos funciones f(x) 2x1 y g(t) t2
Regla de la cadena si la función g es derivable
en el punto f(a) y la función f es derivable en
a, entonces la función gºf es derivable en a y su
derivada es (gºf)'(a) g'(f(a)) . f '(a)
Ejemplo
Como (gºf)(x) g(f(x)) (2x 1)2 ? ?
(gºf)'(x) g'(f(x)) . f '(x) 2(2x 1) . (2x
1)' 2(2x 1) . 2
18
Regla de la cadena Demostración
19
Derivada de la función inversa

• Se denomina función inversa de una función f a
  una nueva función, denotada por f1, cuyo dominio
  es el recorrido de f, tal que f1(f(x)) x.
• Para que esta función esté bien definida es
  necesario que f cumpla
• x1 ? x2 ? f(x1) ? f(x2)
• Las gráficas de f y f1 son simétricas respecto a
  la bisectriz del primer cuadrante.

20
Tabla de derivadas de las funciones elementales
21

• Obtención de la derivada de la función logaritmo
  neperiano

22

• Demostración de la derivada de la función seno

Usando la definición de derivada

La derivada de sen (x) es Cos (x)
23

• Obtención de la derivada de la función arcoseno

24

• Obtención de la derivada de la función arco
  tangente

25
Diferencial de una función
El diferencial de una función en un punto x a
es el incremento de la tangente al pasar del
punto x a al punto x a h
Tangente a la curva en (a, f(a)) su pendiente es
mt f '(a) tg at
26
Una aproximación geométrica al concepto de
diferencial

• Supongamos un cuadrado de lado x, al que
  incrementamos el lado en una cierta cantidad h.
  Su superficie se incrementará en
• ?f (x h)2 x2 2xh h2

• Si h es muy pequeño, h2 es mucho más pequeño.
• Entonces
• 2xh 2x dx es el diferencial de la función
• f(x) x2 y se ve que ?f ? 2x dx f '(x) dx
• El error que se comete al aproximar el
  incremento por la diferencial es h2.

27
Máximos y mínimos relativos
Una función f(x) tiene un mínimo (máximo)
relativo en x a si existe un intervalo abierto
(a h, a h), h gt 0 , en el que f(x)gt f(a)
(f(x)ltf(a)) para todo x perteneciente al
intervalo.

• La función y x2 6x 8 tiene un mínimo
  relativo en el punto m(3, -1). No tiene máximos
  relativos.

• La función y x2 6x 8 tiene un mínimo
  absoluto en su dominio, R, en el punto m(3, -1).
  No tiene máximo absoluto en su dominio.

• La función y x2 6x 8 tiene un mínimo
  absoluto en el intervalo 1, 2, en el punto (2,
  0). En ese mismo intervalo tiene un máximo
  absoluto en el punto (1, 3).

• La función y x2 6x 8 no tiene máximos ni
  mínimos en el intervalo (4, 5).

28
Derivada en un punto máximo o mínimo
(Interpretación geométrica)
Sea f(x) una función definida en el intervalo (a,
b). Si la función alcanza un máximo o mínimo en
un punto c ? (a, b) y es derivable en él,
entonces f '(c) 0
f '(c) 0
Si la función es constante entonces f '(c) 0
Si A es máximo, la tangente en x c es
horizontal. Su pendiente es 0
Si A es mínimo, la tangente en x c es
horizontal. Su pendiente es 0
29
Teorema de Rolle. Interpretación geométrica

• Si una función y f(x) cumple que
• Es continua en el intervalo cerrado a, b.
• Es derivable en su interior (a, b).
• f(a) f(b).
• Entonces existe al menos un punto c ? (a, b) tal
  que f '(c) 0.

Geométricamente este teorema expresa que una
función que cumpla las hipótesis anteriores va a
tener, al menos, un punto (c, f(c)) en el que la
tangente es horizontal.
30
Teorema de Rolle Demostración
Si una función y f(x) cumple que Es continua
en el intervalo cerrado a, b. Es derivable en
su interior (a, b), y f(a) f(b). Entonces
existe al menos un punto c ? (a, b) tal que f
'(c) 0.

• Demostración
• f es continua en a,b gt por Teor. de
  Weierstrass f tiene máximo absoluto M y mínimo
  absoluto m en a,b. ? x ? a,b m ? f(x) ? M.
• ? x1 ? a,b ? f(x1)M. ? x2 ?
  a,b ? f(x2)m.
• Si m M gt ? x ? a,b f(x) M (la función es
  constante) gt f'(x) 0
• Sino, m lt M gt por lo menos uno de los puntos, x1
  o x2, corresponde al interior del intervalo, a
  (a,b), por ejemplo m f(x2) gt (a,b) se comporta
  como un entorno de x2. Se cumple que ? x ? (a,b)
  f(x2) ? f(x) por lo que f presenta un mínimo
  relativo en x2. (1)
• f es derivable por hipótesis. (2)
• De 1) y 2), por la condición necesaria para la
  existencia de mínimos relativos f'(x2)0 como
  queríamos demostrar

31
Teorema del valor medio o de Lagrange.
Interpretación geométrica

• Si una función y f(x) cumple que
• Es continua a, b.
• Es derivable (a, b).
• Entonces existe al menos un punto c ? (a, b) tal
  que
• f(b) f(a) (b a) f '(c).
  Es decir f( c)

• Geométricamente si una función que cumple las
  hipótesis anteriores va a a tener al menos un
  punto (c, f(c)) en el que la tangente es paralela
  a la secante que pasa por los puntos (a, f(a)) y
  (b, f(b)).
• Analíticamente si una función cumple las
  hipótesis anteriores, en algún punto c ?(a,b) la
  razón incremental o tasa de variación media (f(b)
  f(a)) / (b a), es igual a la derivada en
  dicho punto.

32
Teorema del valor medio o de Lagrange
Demostración
Si una función y f(x) cumple que Es continua
a, b, y es derivable (a, b). Entonces existe
al menos un punto c ? (a, b) tal que
f(b) f(a) (b
a) f '(c).

• Definamos una función auxiliar g(x) f(x) hx,
  h ? R.
• g es continua en a,b por ser suma de funciones
  continuas.g es derivable en (a,b) por ser suma
  de funciones derivables.
• Queremos que g(a) sea igual a g(b) para aplicar
  el teorema de Rollegt f(a) ha f(b) hb gt
  f(a) - f(b) hb ha h(b - a)
• gt por el teorema de
  Rolle, existe c ? (a,b) tal g'(c) 0
• Por definición de g(x) g(x) f (x) h,
  g(c) f (c) h 0 luego f (c ) h
• y por tanto

33
Teorema de Cauchy o del valor medio generalizado

• Demostración Sea h(x) f(x) kg(x)
• 1.    h es continua en a,b por ser suma de
  funciones continuas en a,b.
• 2.    h es derivable en (a,b) por ser suma de
  funciones derivables en (a,b).
• 3.    Queremos que h(a)h(b) para aplicar el
  teorema de Rolle.
• f(a)kg(a)f(b)kg(b), k(g(a)-g(b))f(b)-f
  (a)
• De 1),2) y 3) por el teorema de Rolle ? c ?(a,b)
  tal que h'(c) 0.
• h'(x)f'(x)kg'(x) h'(c)f'(c)kg'(c)0
  f'(c)/g'(c) -k

34
Consecuencias del teorema del valor medio (I)
Expresión del valor de una función en el entorno
de x a
Si f(x) es continua en a h, a h y derivable
en su interior entonces f(a h) f(a) h f
'(a ?h) con ? ? (0, 1).

• Si f(x) cumple las hipótesis del teorema de
  Lagrange en a, b
• f(a) f(b) (b a) . f '(c) con c ? (a, b).
• Si b a h, entonces c a ?h con ? ? (0, 1).

35
Consecuencias del teorema del valor medio (II)
Caracterización de las funciones constantes
Si una función f(x) tiene derivada nula en todos
los puntos de un intervalo abierto, es constante
en dicho intervalo.

• f(x) es derivable en (a, b).
• f(x) tiene derivada nula en (a, b).

En consecuencia f(x) k en (a, b).

• Aunque f(x) tiene derivada nula en los puntos de
  (a, b) en los que es derivable (en c no es
  derivable).
• No es constante en (a, b).

36
Consecuencias del teorema del valor medio (III)
Relación entre funciones con igual derivada
Si dos funciones f(x) y g(x) tienen igual
derivada en todos los puntos de un intervalo
abierto, entonces difieren en una constante en
ese mismo intervalo.

• En el intervalo (0, 2?) las fi(x) son derivables
  y tienen igual derivada.
• Entonces se diferencian en una constante, lo que
  significa que cada una se obtiene de la otra
  trasladándola paralelamente al eje OY.

37
Regla de L'Hôpital (I)
Este teorema es válido sustituyendo u por a, a,
a, ?, ?.
Una aproximación geométrica al teorema
38
Regla de L'Hôpital (II)
Este teorema es válido sustituyendo u por a, a,
a, ?, ?
39
Regla de L'Hôpital (III)
Podemos convertir esa expresión en una 0/0 o en
una 8/8
Este procedimiento es válido sustituyendo u por
a, a, a, ?, ?
40
Regla de L'Hôpital (IV)
Este procedimiento es válido sustituyendo u por
a, a, a, ?, ?
41
Cálculo de límites indeterminados. Ejemplos (I)
42
Cálculo de límites indeterminados. Ejemplos (II)
1
A
A
0
43

• Monotonía crecimiento y decrecimiento en un
  intervalo

f(xh)
f(x)
f(xh)
f(x)
Función creciente en a, b
Función decreciente en a, b
f(x) lt f(xh), ?(x, xh) y h gt0
f(x) gt f(xh), ?(x, xh) y h gt0
f (x) gt0
f (x) lt 0
44

• Derivadas y curvatura concavidad

tg a1 lt tg a2 ? f '(x1) lt f '(x2)
Las pendientes de las tangentes aumentan ? f ' es
creciente ? su derivada que es f debe ser
f(x) gt 0 ? función concava
45

• Derivadas y curvatura convexidad

tg a1 gt tg a2 ? f '(x1) gt f '(x2)
Las pendientes de las tangentes disminuyen ? f '
es decreciente ? su derivada que es f " debe ser
negativa f (x) lt 0 ? función cónvexa
46

• Puntos de inflexión

Son los puntos en los que la función cambia de
curvatura