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Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representaci

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Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representaci n gr fica de funciones N meros cr ticos Estrategia para localizar extremos Teorema de Rolle – PowerPoint PPT presentation

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Title: Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representaci


1
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y
representación gráfica de funciones
  1. Números críticos
  2. Estrategia para localizar extremos
  3. Teorema de Rolle
  4. Teorema del Valor Medio
  5. Regla de Bernouilli-Hôpital
  6. Funciones crecientes y decrecientes
  7. Criterio de crecimiento y decrecimiento
  8. El criterio de la primera derivada
  9. Aplicación del criterio de la 1ª derivada
  10. Concavidad y convexidad
  11. Criterio de concavidad
  12. Aplicación del criterio de concavidad
  13. Puntos de inflexión
  14. El criterio de la 2ª derivada
  15. Aplicación del criterio de la 2ª derivada
  16. Problemas de aplicación de máximos y mínimos
  17. Análisis de gráficas
  • Índice
  • La derivada y la recta tangente
  • Definición de derivada
  • Derivadas laterales
  • Derivabilidad y continuidad
  • Ritmos de cambio
  • Reglas básicas de derivación
  • Derivadas de orden superior
  • La regla de la cadena
  • Extremos de una función
  • Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana
    Allueva

1
2
La Derivada y el problema de la recta tangente
(c ,f(c))
Recta secante
Recta tangente
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representación gráfica de funciones
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Definición de derivada
La derivada de f en x viene dada por
Definición
supuesto que exista ese límite
Una función es derivable en x si su derivada en x
existe, y derivable en un intervalo abierto (a,b)
si es derivable en todos y cada uno de los puntos
de ese intervalo
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representación gráfica de funciones
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Derivadas laterales
Una función es derivable en un intervalo cerrado
a,b si es derivable en (a,b) y además existen
la derivada por la derecha en a y la derivada por
la izquierda en b
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representación gráfica de funciones
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Derivabilidad y continuidad
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representación gráfica de funciones
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Ritmos de cambio
La derivada sirve para calcular el ritmo de
cambio de una variable con respecto a otra
  • Ritmos de crecimiento de poblaciones
  • Ritmos de producción
  • Flujo de un líquido
  • Velocidad y aceleración

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Reglas básicas de derivación
  1. Regla de la constante
  2. Regla de las potencias
  3. Regla del múltiplo constante
  4. Reglas de suma y diferencia
  5. Derivadas de las funciones seno y coseno
  6. Regla del producto
  7. Regla del cociente
  8. Derivadas de funciones trigonométricas

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Derivadas de orden superior
Ejemplo
a (t) es la segunda derivada de s (t)
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La Regla de la cadena y sus aplicaciones
Si y f(u) es una función derivabe de u, y si
además ug(x) es una función derivable de x,
entonces yf(g(x)) es una función derivable, con
Regla de la cadena

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Extremos de una función
máximo (2,5)
Sea f definida en un intervalo I que contiene a
c 1. f(c) es el mínimo de f en I, si
f(c) ? f(x) para todo x en I. 2. f(c) es el
máximo de f en I, si f(c) ? f(x) para todo x
en I. El máximo y mínimo de una funcion en un
intervalo son los valores extremos
- - - - - -
5
3
1
- - - - - - -
1 2 3
-2 -1
f continua en -1,2
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Números críticos
Sea f definida en c. Si f(c)0 o si f no está
definida en c, se dice que c es un número crítico
de f.
f(c)0 Tangente horizontal
f(c) no está definido
c
c
c es un número crítico de f
LOS EXTREMOS RELATIVOS SOLO OCURREN EN LOS
NÚMEROS CRÍTICOS Si f tiene un máximo relativo o
un mínimo relativo en xc, c es un número crítico
de f
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Estrategia para localizar extremos relativos en
un intervalo cerrado
Para hallar los extremos relativos de una
función continua f en un intervalo cerrado a,b

1. Hallar los números críticos de f en a,b 2.
Evaluar f en cada número crítico de (a,b) 3.
Evaluar f en a y en b 4. El más grande de esos
valores es el máximo. El más pequeño es el
mínimo.
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Teorema de Rolle
Máximo relativo
Máximo relativo
f es continua en a,b y derivable en (a,b)
f es continua en a,b
a c b
a c b
El teorema de Rolle asegura que existe al menos
un punto entre a y b en el que la gráfica de f
tiene tangente horizontal
Si se suprime la hipótesis de dervabilidad f
tiene un número crítico en (a,b), pero quizá no
tenga en el tangente horizontal
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Teorema del Valor Medio
Pendiente de la recta tangente f(c)
Recta tangente
Recta secante
(b, f(b))
(a, f(a))
a c b
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Regla de Bernouilli- Hôpital
Sean f y g continuas y derivables en un entorno
reducido del punto c. Si g no se anula en ningún
punto del entorno y las funciones fy gno se
anulan simultáneamente en ningún punto, en caso
de existir
también existe
y ambos coinciden
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Funciones crecientes y decrecientes
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Criterio de crecimiento y decrecimiento
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El criterio de la primera derivada
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Aplicación del criterio de la primera derivada
Ejemplo
Hallar los extremos relativos de
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Concavidad y Convexidad
Sea f derivable en un intervalo abierto I. La
gráfica de f es cóncava en I si fes creciente
en I y convexa en I si fes decreciente en I.
cóncava f creciente
convexa f decreciente
La gráfica de f queda por debajo de su recta
tangente
La gráfica de f queda por encima de su recta
tangente
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Criterio de concavidad
Sea f una función cuya segunda derivada existe en
un intervalo abierto I.
1. Si f(x) ? 0 para todo x en I, la gráfica de
f es cóncava en I 2. Si f(x) ? 0 para todo x
en I, la gráfica de f es convexa en I
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Aplicación del criterio de concavidad
Ejemplo
Hallar los intervalos abiertos para los que la
gráfica es cóncava o convexa
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Puntos de Inflexión
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El criterio de la segunda derivada
Sea f una función tal que f(c)0 y cuya segunda
derivada existe en un intervalo abierto que
contiene a c. 1. f(c) ? 0, entonces f(c) es
un mínimo relativo 2. f(c) ? 0, entonces
f(c) es un máximo relativo Si f(c) 0, este
criterio no decide y ha de recurrirse al criterio
de la primera derivada
cóncava
convexa
c
c
f(c) 0, f(c) ? 0
f(c) 0, f(c) ? 0
? f(c) es mínimo
? f(c) es máximo
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Aplicación del criterio de la segunda derivada
Ejemplo
Hallar los extremos relativos de
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Problemas de aplicación de máximos y mínimos
Un ganadero desea trasladar al matadero su
producción de cerdos. El transportista cobra 1,20
por cabeza si traslada en cada camión 20 cerdos
exactamente, mientras que si traslada más de 20
le descuentan 5 céntimos por cada uno que pase de
20. Hallar el número de cerdos que el
transportista propondrá trasladar al ganadero
para obtener el máximo beneficio
2. Escribir una ecuación primaria para la
magnitud que debe ser optimizada
B(x) -10 ? 0 , x2 máximo
Se transportarán 22 cerdos
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Análisis de Gráficas
Conceptos estudiados útiles al analizar gráficas
de funciones
  • Dominio y recorrido
  • Intersección con los ejes
  • Simetrías
  • Continuidad
  • Asíntotas
  • Derivabilidad
  • Extremos relativos
  • Concavidad y convexidad
  • Puntos de inflexión

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Bibliografía
Cálculo y Geometría Analítica Larson, Hostetler,
Eduards. Volumen 1, 1999 (6ª edición), Ed.
McGraw-Hill
Ejercicios y problemas
Problemas de Matemáticas para ingeniería
técnica agrícola y veterinaria Alejandre,
Allueva,González. Tomo 1, 2000 Ed. Copy Center
Zaragoza (C/. Doctor Cerrada nº 2)
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