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Seminario: Expresividad sem

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Title: Seminario: Consecuencia L gica: modelos y hechos modales Last modified by: Edu B Created Date: 4/1/2005 5:30:37 PM Document presentation format – PowerPoint PPT presentation

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Title: Seminario: Expresividad sem


1
Seminario Expresividad semántica y lógica de
segundo orden
  • Profesores Eduardo Alejandro Barrio y Javier
    Castro Albano
  • 1er cuatrimestre de 2008
  • Facultad de Filosofía y Letras, UBA.

2
Seminario Expresividad semántica y lógica de
segundo orden
  • Niels Henrick Abel (1802-1829). Carta de 1826 a
    Christoffer Hansteen
  • la tremenda oscuridad que uno
    incuestionablemente encuentra en el análisis.
    Carece tan absolutamente de todo plan y sistema
    que resulta extraño que lo hayan estudiado tantas
    personas. Lo peor es que jamás ha sido tratado
    rigurosamente. Hay muy pocos teoremas en análisis
    avanzado que hayan sido demostrados de una manera
    lógicamente sostenible. Por todas partes se
    encuentra uno con esta deplorable forma de pasar
    de lo particular a lo general y es extremadamente
    curioso que tal procedimiento haya conducido a
    tan pocas de las llamadas paradojas.

3
Seminario Expresividad semántica y lógica de
segundo orden
  • Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) Cours
    danalyse algébrique (1821)
  • En cuanto a los métodos, he tratado de darles
    todo el rigor que matemáticas se puede pedir

4
Seminario Expresividad semántica y lógica de
segundo orden
  • William R. Hamilton (1805-1865) Pares
    algebraicos con un ensayo preliminar sobre el
    tiempo (1837)
  • La presente teoría de pares se publica para
    poner de manifiesto ese significado oculto de
    los números complejos, y para mostrar, mediante
    este notable ejemplo, que expresiones que, según
    los puntos de vista comúnmente aceptados, parecen
    ser meramente simbólicas e imposibles de ser
    interpretadas, pueden pasar al mundo de las ideas
    y adquirir realidad y significado.

5
Seminario Expresividad semántica y lógica de
segundo orden
  • Karl Weierstrass (1815-1897)
  • Richard Dedekind (1831-1916)
  • Georg Cantor (1845-1918)
  • Giuseppe Peano (1858-1932)

6
Seminario Expresividad semántica y lógica de
segundo orden
  • El Lenguaje L
  •  
  • Expresiones
  • Símbolos lógicos 
  • Cuantificador universal de primer orden "
  • Cuantificador existencial de primer orden
  • Condicional material
  • Conjunción Ù
  • Disyunción Ú
  • Negación
  •  Símbolos auxiliares
  • Paréntesis ( , )
  • Expresiones no Lógicas
  • Constantes individuales Tarski, Etchemendy,
    Quine
  • Variables de individuos x, y, z,
  • Subíndice (1,...,n) para generar infinitas
    variables por posposición a x
  • Símbolos de función monádicos 'f1x' (El
    discípulo de x) , 'f2x' ,..., 'fnx',
  •  
  • Predicados diádicos (Identidad), C
    (criticar a)
  • Predicados monádicos T (es un teórico de
    modelos), N (es hombre)
  • Ejemplos de enunciados de este lenguaje y sus
    significados son
  • T (a) (Tarski es un teórico de modelos)
  • T (f1 Tarski) (El discípulo de Tarski es un
    teórico de modelos)
  • "x(NxCxTarski) (Para todo ser humano x, si x
    es hombre, entonces x no critica a Tarski)
  • "x(Nxx1 (N x1 Ù Cx x1)) (Para todo ser humano
    x1 existe otro x1 tal que x critica a x1).

7
Seminario Expresividad semántica y lógica de
segundo orden
  • Definición de término
  • Las constantes individuales, las variables y el
    resultado de escribir cualquier función n-ádica
    seguida por n-términos singulares es un término
    singular del lenguaje.
  •  
  • Definición de Fórmula Atómica
  • Las fórmulas atómicas bien formadas son el
    resultado de escribir cualquier predicado n-ádico
    seguido por n-términos singulares.
  • Definición Recursiva de FBF
  • Las fórmulas bien formadas son las fórmulas
    atómicas bien formadas, la negación de cualquier
    fórmula bien formada, la conjunción (la
    disyunción, la condicionalización) de dos
    fórmulas bien formadas cualesquiera, y la
    cuantificación universal (la cuantificación
    existencial) de cualquier fórmula bien formada
    con respecto a alguna variable.
  • Las oraciones son las fórmulas cerradas (fórmulas
    que no contienen ninguna variable libre).

8
Seminario Expresividad semántica y lógica de
segundo orden
  • Lenguaje Set
  •  
  • Predicado diádico (Símbolo de identidad) ?
  • Predicado diádico (Símbolo de Pertenencia) ??
  • Predicado monádico C (ser un conjunto)
  •  
  • Constantes de individuos a, b (nombran conjuntos
    o individuos)
  •  
  • Variables de individuos x, y, z,
    Subíndice (1,...,n) para generar infinitas
    variables por posposición a x
  •  
  • Cuantificador universal de primer orden ("),
  • Cuantificador existencial de primer orden, (),
  • Condicional material (),
  • Bicondicional material (?)
  • Conjunción (Ù)
  • Disyunción Ú
  • Negación (),
  • Paréntesis ((, ))
  • Variables de individuos u, v x, y, z,
    Subíndice (1,...,n) para generar infinitas
    variables por posposición a x
  • Ejemplos de fórmulas
  • y "x (x ? y ? Cx) (Para cada conjunto existe la
    clase a la cual pertenece)
  • "u"w ("x (x?u ? x? w u ? w) (Dos clases que
    coinciden en sus elementos son la misma clase)
  • Cx ? y x ? y (Un conjunto es una clase que es
    elemento de alguna clase)

9
Seminario Expresividad semántica y lógica de
segundo orden
  • Elementos metalingüísticos
  •  
  • Las comillas se utilizan como mecanismos para
    generar nombres .
  •  
  • ' ?' , 'lt...gt' son expresiones de la teoría de
    conjuntos, y
  •  
  • f, g, h son variables de secuencias de objetos.
  •  
  • Un caso de una secuencia de objetos podría ser
    ltTarski,..., Etchemendygt.

10
Seminario Expresividad semántica y lógica de
segundo orden
  • Fórmulas de L Interpretación pretendida
  • T (Tarski) (Tarski es un teórico de modelos)
  • T (f1Tarski) (El discípulo de Tarski es un
    teórico de modelos)
  • "x(NxCxTarski) (Para todo ser humano x, si x
    es hombre, entonces x no critica a Tarski)
  • "x(Nxx1 (N x1 Ù Cx x1)) (Para todo ser humano
    x1 existe otro x1 tal que x critica a x1).
  • Otros modos de interpretar Interpretación
    1 Interpretación 2
  • T (Tarski) 3 un número impar 4 es un número
    par
  • "x(NxCxTarski) (Para todo número natural x, si
    x es par, entonces x no es mayor que 2)

11
Seminario Expresividad semántica y lógica de
segundo orden
  • Modelo de primer orden
  • -          Para determinar el valor de verdad de
    cualquier oración necesitamos saber de qué
    estamos hablando.
  •  
  • -          El dominio de discurso indica acerca
    de qué estamos hablando y la función de
    interpretación pone en relación este dominio con
    el lenguaje.
  •  
  • -          Un modelo es una estructura
    conjuntista que sirve para asignar una
    interpretación a las oraciones de un lenguaje. lt
    ltD, Igt, VM gt
  •  
  • Toda oración de L debe recibir una interpretación
    (se le debe asignar un objeto apropiado de D)

12
Seminario Expresividad semántica y lógica de
segundo orden
  • Restricción simplificadora todos los objetos de
    D tienen nombre
  •  
  • Se reduce la verdad en M de ?x ? y de ?x ? a la
    verdad en M de o/x ?
  • Sean
  • D conjunto de entidades
  • I función que asigna entidades apropiadas de D
    a las expresiones de L
  • (i) Si c es una constante de L, entonces I(c ) ?
    D
  • (ii) Si P es una letra n-aria de L, entonces I(P)
    ? D n
  • (si n es 1, su interpretación es un conjunto)
  •  
  • c/xM reemplace x por o.
  •  
  • VM Función que asigna valores veritativos a las
    oraciones de L
  •  
  • Si M es un modelo para L cuya función de
    interpretación I es una función de las constantes
    de L sobre el dominio D, entonces VM se define
    como sigue 

13
Seminario Expresividad semántica y lógica de
segundo orden
  • (I) Pn (c1,..., cn)M 1 sss lt
    c1M,..., cn M gt ? PnM
  • (ii)                 ?M 1 sss ?M
    0
  • (iii)                ? ?M 1 sss
    ?M 1 y ? M 1
  • (iv)                ?x ?M 1 sss c/x
    ?M 1, para toda constante c de L
  • (v) ?x ?M 1 sss c/x ?M
    1, para alguna constante c de L.

14
Seminario Expresividad semántica y lógica de
segundo orden
  • Implicación Lógica
  • S es una implicación lógica de K sss para toda
    valuación de M, si KM 1, entonces SM
    1
  • Equivalencia Lógica
  • S y K son lógicamente equivalentes sss para toda
    valuación de M, KM SM

15
Seminario Expresividad semántica y lógica de
segundo orden
  • Modelo Estándar de Segundo Orden
  •  
  • -          Un modelo es una estructura
    conjuntista que sirve para asignar una
    interpretación a las oraciones de un lenguaje. lt
    ltD, Igt, VM gt
  • Sean
  • D conjunto de entidades
  • I función que asigna entidades apropiadas de D
    a las expresiones de L
  • (i) Si c es una constante de L, entonces I(c ) ?
    D
  • (ii) Si P es una letra n-aria de L, entonces I(P)
    ? D n
  • (si n es 1, su interpretación es un conjunto)
  • c/xM reemplace x por c. O la función g
    asigna el objeto o a la variable x
  •  
  • Las propiedades deben interpretarse como
    subconjuntos del dominio. Y las variables de
    segundo orden X, Y, ranguean sobre el conjunto de
    todos los subconjuntos de D (El conunto potencia
    de D).
  • P/XM reemplace X por P. O la función g
    asigna el objeto subconjunto C a la variable X.
  • I (P) es un subconjunto de (POT(D)) n

16
Seminario Expresividad semántica y lógica de
segundo orden
  • VM Función que asigna valores veritativos a las
    oraciones de L
  •  
  • Si M es un modelo para L cuya función de
    interpretación I es una función de las constantes
    de L sobre el dominio D, entonces VM se define
    como sigue 
  • (I) Pn (c1,..., cn)M 1 sss lt
    c1M,..., cn M gt ? PnM
  • (I) XT)Mg 1 sss lt T Mg ? g (X)
  • (I) An (T1,..., Tn)M 1 sss lt
    T1M,..., Tn M gt ? AnM
  • (ii)                 ? ?M 1 sss ?M
    0
  • (iii)                ? ?M 1 sss
    ?M 1 y ? M 1
  • (iv)                ?x ?M 1 sss c/x
    ?M 1, para toda constante c de L
  • (v) ?x ?M 1 sss c/x ?M
    1, para alguna constante c de L.
  • (vi) ?X ?M 1 sss P/X ?M 1, para
    toda constante P de L.
  • O (vi) ?X ?Mg 1 sss X/E ?Mg 1,
    para todo E?D. (por asignación).
  • (vii) ?X ?M 1 sss P/X ?M 1, para
    alguna constante P de L.
  • O (vii) ?X ?Mg 1 sss X/E ?Mg 1,
    para algún E?D. (por asignación).
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