Diferenciaci - PowerPoint PPT Presentation

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Diferenciaci

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Error Preguntas r pidas Obtenga la derivada de las siguientes funciones en el punto especificado utilizando Excel o Matlab. – PowerPoint PPT presentation

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Title: Diferenciaci


1
Diferenciación e Integración numérica
  • Programación Numérica

2
Diferenciación
La diferenciación numérica puede calcularse
usando la definición de derivada
Tomando una h pequeña. Si h gt 0 se llama fórmula
de diferencia progresiva, si h lt 0 se llama
fórmula de diferencia regresiva.
3
Error
4
Preguntas rápidas
Obtenga la derivada de las siguientes funciones
en el punto especificado utilizando Excel o
Matlab. Compárelas con el valor obtenido
analíticamente. 1. f(x) 3x sen(2x), x p/6 2.
f(x) 5ln(x 1) x2/5, x 1.2
5
Fórmulas de diferencias divididas hacia adelante
Primera derivada
Segunda derivada
Tercera derivada
6
Fórmulas de diferencias divididas centradas
Primera derivada
Segunda derivada
Tercera derivada
7
Fórmulas de diferencias divididas hacia atrás
Primera derivada
Segunda derivada
Tercera derivada
8
Ejemplo
f (x) 0.1x4 0.15x3 0.5x2 0.25x1.2
9
Datos no espaciados regularmente
Para derivar datos no espaciados regularmente se
utiliza la siguiente fórmula. Se requiere conocer
la función en tres puntos.
10
Ejemplo
El flujo de calor en la interfaz suelo-aire puede
calcularse con la ley de Faraday
Donde q flujo de calor, k coeficiente de
difusividad térmica (3.5x10-7), r la densidad
del suelo (1800), C calor específico del suelo
(840).
13.5
12
10
Aire
Suelo
1.25
1.333 q 70.56
3.75
11
Integración numérica
A los métodos de integración se les llama
cuadratura numérica. Seleccionaremos un conjunto
de nodos x0, ..., xn del intervalo a,
b. Después integramos un polinomio interpolante
de Lagrange
Se obtiene
Donde
12
Regla del trapecio
Utilizando un polinomio interpolante lineal de
Lagrange.
Donde h x1 x0 Esta fórmula vale cuando f(x)
tiene valores positivos. Da valores exactos para
polinomios de grado 1.
P1
f
x0 a
x1 b
13
Pregunta rápida
Muestre que se cumple la regla del trapecio
14
Regla se Simpson
La regla se Simpson se obtiene suponiendo el
segundo polinomios de Lagrange con los nodos x0
a, x2 b, x1 a h, h (b a)/2.
Donde se han despreciado los términos de
error. La fórmula es exacta para polinomios de
hasta tercer grado.
P3
f
x0 a
x2 b
x1
15
Comparación
Comparación entre el valor exacto, la regla del
trapecio y la regla de Simpson para diferentes
funciones en el intervalo 0 , 2.
16
Regla de Simpson 3/8
Ajustando polinomios de Lagrange de orden 3
usando cuatro puntos se llega a la regla de
Simpson de 3/8
También puede expresarse por
Esta regla es útil cuando el número de puntos es
impar.
17
Integración numérica compuesta
Integrando ex por Simpson en 0,4
El error es 53.59815 56.76958
3.17143 Separando en dos integrales
18
Dividiendo en 4 intervalos
El error es 53.59815 53.61622 0.01807
19
Regla compuesta de Simpson
Teorema. Sea f ?C4a, b, n par, h (b a)/n, y
xj a jh para cada j 0, 1, 2, ... n . La
regla de Simpson para n subintervalos puede
escribirse como
y f(x)
x0 a
xn b
x2
x2j-1
x2j
x2j1
20
Regla compuesta del trapecio
Teorema. Sea f ?C4a, b, n par, h (b a)/n, y
xj a jh para cada j 0, 1, 2, ... n . La
regla del trapecio para n subintervalos puede
escribirse como
y f(x)
x0 a
xn b
x1
xj-1
xj
xn1
21
Regla compuesta del punto medio
Teorema. Sea f ?C4a, b, n par, h (b
a)/(n2), y xj a (j1)h para cada j 1, 0,
1, 2, ... n1. La regla de compuesta del punto
medio para n subintervalos puede escribirse como
y f(x)
x0 a
xn1 b
x0
xj-1
xj
xn
x1
xj1
22
Datos con espaciamiento irregular
Si los datos están espaciados de forma irregular,
como en el caso de datos experimentales, la
integración puede llevarse a cabo mediante la
aplicación de la regla del trapecio a cada
subintervalo.
Donde hi ancho del segmento i.
23
Ejemplo
Determinar la distancia recorrida para los datos
siguientes
t min 1 2 3.25 4.5 6 7 8 9 9.5 10
V m/s 5 6 5.5 7 8.5 8 6 7 7 5
t 1 2 3.25 4.5 6 7 8 9 9.5 10 v 5 6 5.5 7
8.5 8 6 7 7 5 suma 0 for i2length(t) suma
suma (t(i)-t(i-1))(v(i-1)v(i))/2 end suma
ans 60.3750
24
Algoritmos Regla del trapecio
Algoritmos para la regla del trapecio de uno solo
segmento function trap(h, f0, f1) trap
h(f0f1)/2 end Algoritmos para la regla del
trapecio de múltiples segmentos function
trap(h, n, f) sum f0 for i 1, n1
sum sum 2fi end sum sum fn
trap hsum/2 end
25
Algoritmos Regla simple de Simpson
Regla de Simpson de 1/3 function simp13(h, f0,
f1, f2) simp13 2h(f04f1f2)/6 end Regla
de Simpson de 3/8 function simp38(h, f0, f1, f2,
f3) simp38 3h(f03f13f2f3)/8 end
26
Regla de Simpson 1/3 múltiple
Function simp13m(h, n, f) sum f0 for i 1,
n2, 2 sum sum4fi2fi1 end sum
sum4fn-1fn simp13m hsum/3 end
27
Algoritmos Regla compuesta de Simpson
Regla de Simpson de número de segmentos pares o
impares function simpint(a, b, n, f) h
(b-a)/n if n1 then sumtrap() else
m n odd n/2-int(n/2) if oddgt0 and
ngt1 then sum sum simp38(h,fn-3,fn-2,fn-
1,fn) m n-3 end if mgt1 then
sum sum simp13m(h, m, f) end
end simpint sum end
28
Ejemplo Trapecio
Sea la siguiente función f (x) 0.2 25x
200x2 675x3 900x4 400x5 Integrada en el
intervalo de a 0 a b 0.8 con trapecio Valor
real I 1.64053333 f (a) 0.2000 f (b)
0.2320 I h (f (b) f (a) )/2 0.17280000
error 89.47
29
Ejemplo Simpson 1/3
Sea la siguiente función f (x) 0.2 25x
200x2 675x3 900x4 400x5 Integrada en el
intervalo de a 0 a b 0.8 con trapecio Valor
real I 1.64053333 f (a) 0.2 f
((ab)/2) 2.456 f (b) 0.232 I 0.8
(0.24(2.456)0.232)/6 1.36746667 error
16.6
30
Ejemplo Simpson 3/8
Sea la siguiente función f (x) 0.2 25x
200x2 675x3 900x4 400x5 Integrada en el
intervalo de a 0 a b 0.8 con trapecio Valor
real I 1.64053333 f (0) 0.2 f
(0.26667) 1.432724 f (0.5333) 3.487177 f
(0.8) 2.232 I 0.8 (0.23(1.4327243.487177)
2.232 )/8 1.519170 error 7.4
31
Ejemplo Simpson 1/3 y Simpson 3/8
Sea la siguiente función f (x) 0.2 25x
200x2 675x3 900x4 400x5 Integrada en el
intervalo de a 0 a b 0.8 con 5 segmentos, con
trapecio 2 primeros y Simpson los 3
últimos Valor real I 1.64053333 f (0) 0.2
f (0.16) 1.29692 f (0.32) 1.74339 f
(0.48) 3.18601 f (0.64) 3.18193 f (0.8)
0.23200 Simpson 1/3 I1/3 0.32(0.2
4(1.29692) 1.74339 )/6 0.3803237 Simpson
3/8 I3/8 0.48 (1.74339 3(3.18601 3.18193 )
2.232 )/8 1.264754 I 1.645077 error
0.28
32
(No Transcript)
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