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DIPLOMADO EN FINANZAS

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DIPLOMADO EN FINANZAS M dulo: Matem ticas Financieras Instructor: Dr. Homero Zambrano Fberero de 2011 Que cantidad constante tendr que depositar en un banco al ... – PowerPoint PPT presentation

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Title: DIPLOMADO EN FINANZAS


1
DIPLOMADO EN FINANZAS Módulo Matemáticas
Financieras Instructor Dr. Homero
Zambrano Fberero de 2011
2
  • MÓDULO

Matemáticas Financieras
3
MATEMATICAS FINANCIERAS El valor del dinero a
través del tiempo.
4
Valor del dinero en el tiempo
  • Esto significa que cantidades iguales de dinero
    no tienen el mismo valor, es decir, no son
    equivalentes, si se encuentran en puntos
    diferentes en el tiempo. Porqué?

5
Valor del dinero en el tiempo
  • Ejemplo Cuánto valen 1000 pesos a recibirse en
    exactamente un año el día de hoy? Y si los
    recibimos en 2,, n años?
  • Relación Valor Presente (VP), tasa de descuento,
    y la tasa de interés.
  • Y la inflación? ? (1 inom) (1 ireal).(1
    E(f))
  • Ejemplo Supongamos que tomamos un préstamo de
    100 para un año. Sin inflación pagamos un
    interés de 10 gt Al final del año pagamos 110.
    Sin embargo, si el nivel de inflación (f)
    esperada es de 50 necesitamos desembolsar 165.
  • La tasa nominal es la tasa que normalmente
    observamos.

6
Equivalencia
7
Interés simple
  • - Es la cantidad generada sobre una inversión o
    préstamo en donde los intereses generados en los
    primeros períodos no se incorporan al capital.
  • - El monto de los intereses de cada período
    permanece constante.

8
  • Fórmulas I P i n
  • F P I
  • F P (1 in)
  • Nomenclatura
  • P Cantidad inicial, principal, actual o
    presente
  • F Cantidad Futura
  • I Intereses totales
  • i Tasa de interés
  • n Número de periodos

9
Interés simple
  • Cuál sería el monto final que se deberá
    pagar si se obtiene un préstamo de 1,000 por 30
    días a una tasa de interés simple mensual del 4?
  • F 1,000 ( 1 ( 0.04 1 )) 1,040

10
Interés simple
  • Cuál será el monto que se acumulará al final
    de un año si el préstamo se mantiene por ese
    período?
  • F 1,000 ( 1 ( 0.04 12 )) 1,480

11
Interés simple
  • A qué tasa de interés la cantidad de 40,000
    se convertirá en 42,400 en nueve meses?
  • i F - P 42,400 - 40,000
    0.0067
  • P n 40,000 9 meses
  • i 0.67 mensual

12
  • Qué suma debe ser invertida al 15 anual para
    tener 20,000 dentro de seis meses y quince días?
  • i 15 anual 1.25 mensual
  • P F 20,000
    18,497.11
  • 1 (i n) 1 (0.0125 6.5)

13
  • Usted pagó 450,000 por un pagaré de 400,000
    firmado el 16 de mayo de 199X a una tasa del 42
    anual. Que plazo transcurrió?
  • n F - P 450,000 - 400,000 0.2976 años
  • P i 400,000 0.42
  • n 107.14 días gt que correspondería al 1
    de septiembre de 199X

14
Interés compuesto
  • - A diferencia del interés simple, en el interés
    compuesto los intereses de los primeros períodos
    se acumulan al capital para generar intereses en
    los períodos subsiguientes.
  • - Los intereses de un período serán menores que
    los calculados en períodos posteriores.

15
Interés compuesto
  • Fórmula
  • F P (1 i)n
  • Nomenclatura
  • P Cantidad inicial, principal, actual o
    presente
  • F Cantidad futura
  • i Tasa de interés
  • n Número de periodos

16
Interés compuesto
  • Explicación Numérica P 1,000
  • n 2 años
  • i 10 anual
  • Año Adeudo inicial Intereses Adeudo final
  • 1 1,000 100 1,100
  • 2 1,100 110 1,210

17
  • Si se realiza una inversión de 1,000 al 4
    mensual, que se renovará durante 12 meses, cuál
    será el monto al final del año?
  • F 1,000 ( 1 0.04 )12 1,601.03

18
Valor presente
  • Un valor presente siempre es menor que el valor
    futuro, porque sobre el valor presente se van a
    acumular intereses hasta llegar a la fecha
    futura1.
  • P F .
  • ( 1 i )n
  • P F ( P/F, i, n )
  • 1 Salvo en tasas de interés negativas.

19
Valor futuro
  • La fórmula de valor futuro será
  • F P ( 1 i )n
  • F P ( F/P, i, n )
  • La fórmula de la tasa de interés será
  • i ( F/P )1/n - 1

20
Valor presente y valor futuro
  • Qué cantidad se debe depositar ahora en una
    cuenta de inversión que gana el 33 anual para
    que al final del tercer año se tenga 35,000?
  • P 35,000 14,876.92
  • ( 1 0.33 ) 3

21
Valor presente y valor futuro
  • Una persona está en posibilidad de invertir ahora
    8,000 con el fin de pagar obligaciones futuras
    de 10,500. Cuál es la tasa requerida para
    conseguir esa cantidad en 5 años?
  • i ( 10,500/8,000 )1/5 - 1 0.0559 gt
    5.59 anual

22
Anualidades constantes
  • - Es un flujo de efectivo constante que se paga
    o se cobra cada cierto período.
  • - Las cantidades deben ser iguales y el
    intervalo de tiempo entre ellas siempre es el
    mismo.
  • - Los intereses se acumulan una vez cada período.

23
  • Las anualidades pueden clasificarse en
  • Anualidades ordinarias. Cuando
  • La primera anualidad está un período después que
    el presente, o
  • La última anualidad está junto con el futuro.
  • Anualidades anticipadas. Cuando
  • La primera anualidad está junto con el presente,
    o
  • La última anualidad está un período antes que el
    futuro.

24
Anualidades ordinarias
  • P A ( 1 i )n - 1
  • ( 1 i )n i
  • P A ( P/A, i, n )
  • P valor presente
  • A anualidad
  • i tasa de interés para un solo período
  • n número de períodos

25
  • F A ( 1 i )n - 1
  • i
  • F A ( F/A, i, n )
  • F valor futuro
  • A anualidad
  • i tasa de interés para un solo período
  • n número de períodos

26
A P ( 1 i )n i
( 1 i )n - 1 A
P ( A/P, i, n ) A F
i ( 1 i )n -
1 A F ( A/F, i, n )
27
Anualidades anticipadas

P A ( 1 i )n 1
(1i) ( 1 i )n
i P A ( P/A, i, n - 1 )
F A ( 1 i ) n - 1 ( 1 i )
i
F A ( F/A, i, n - 1 )
28
A P /(1i) ( 1 i )n i
( 1 i )n
- 1 A P ( A/P, i, n - 1 )
A F i
( 1 i )n - 1 ( 1 i
) A F ( A/F, i, n - 1 )
29
  • EJEMPLOS
  • 1. Un ingeniero vende su patente a una empresa y
    se le ofrece la opción de un monto de US 12,500
    en una sola exhibición (es decir, inmediatamente)
    el día de hoy (t 0) o, alternativamente, un
    pago de US2,000 por año por los próximos 10
    años, empezando el próximo año (t 1).
  • Como el ingeniero está pagando un 12 de interés
    anual por año por concepto de hipoteca sobre su
    casa, decide usar esta misma tasa para evaluar
    las alternativas. Si usted fuera este ingeniero,
    cuál de las dos alternativas escogería?

30
EJEMPLOS Juan, cumpliendo 40 años y pensando en
su jubilación, planea ahorrar la suma de 1,500
por año sobre un período de 25 años. En promedio
el espera ganar 12 de interés anual
c/anualmente, sobre todos los fondos invertidos.
Cuánto tendría Juan al final de 25 años?
Respuesta 200,000 (ignorando fracciones). Pens
ando un poco más allá, Juan como demógrafo sabe
que si llega a cumplir 65 años, tendría una
esperanza de vida de más o menos 16 años.
Asimismo, estima que necesita un ingreso de unos
25,000 anuales para vivir cómodamente con su
esposa. La lógica financiera dicta que a esa edad
ya no se debe tomar mucho riesgo con los fondos,
y el piensa poner el ahorro estimado arriba en
una cuenta de ahorros que le daría a lo mucho 9
de interés anual c/anual. Si Juan retira cada
año 25,000, cuánto tiempo -es decir- cuántos
años durarán sus fondos? Respuesta 14 años
(ignorando fracciones). Como su fondo de retiro
NO cubre su expectativa de vida a los 65 años,
Cuánto debería ahorrar entonces cada año hasta
cumplir los 65 años para que le diera los 25,000
cada año por 16 años? Respuesta 1,558.60.

31
  • EJEMPLOS REMOCASA
  • Remodela tu casa, solicita el préstamo REMOCASA.
    Si tienes más de 3 años como socio y has cumplido
    con tus compromisos económicos con la
    Cooperativa, puedes ser acreedor de un préstamo
    de hasta 100,000.00 para remodelar tu casa a una
    tasa de interés del 1.75 mensual sobre saldos
    insolutos, con un plazo de hasta 36 meses.
  • Si quieres pagar este préstamo en 36 pagos
    iguales incluyendo intereses y amortización del
    préstamo, cuánto pagarías mensualmente?
  • Respuesta 3,767.51
  • Después de 15 pagos (o meses) recibes la noticia
    que has ganado un premio en la lotería y decides
    de re-embolsar el resto en una sola exhibición a
    la fecha del pago número 16, cuánto habría que
    pagar entonces?
  • Respuesta 66,884.10

32
  • Cuál es el valor actual de 6 pagos iguales
    de 1,500 a una tasa del 40, (a) si los pagos se
    hacen al final de cada año (b) si los pagos se
    hacen al inicio de cada año?
  • (a) P 1,500 ( P/A, 40, 6 ) 3,251.96
  • (b) P 1,500 ( P/A, 40, 6 - 1 ) 4,552.75

33
  • Se va a comprar un auto nuevo cuyo valor total
    es de 240,000. Se pagará un enganche de 40,000
    y el resto a 24 mensualidades a una tasa del 8
    mensual sobre saldos insolutos. Cuál será el
    monto de las mensualidades si se pagan al final
    de cada mes?
  • A 200,000 ( A/P, 8, 24 ) 18,995.59

34
  • Que cantidad constante tendrá que depositar en
    un banco al 36 anual si quiere obtener 450,000
    al final del séptimo año, haciendo los depósitos
    al inicio de cada año?
  • A 450,000 ( A/F, 36, 7 - 1 )
    15,662.19

35
  • Se ha tomado la convención de expresar la tasa de
    interés en una tasa anual nominal y al aplicarla
    debe de especificarse la fracción del período
    anual en la que se capitaliza.
  • F P ( 1 j /m )n m
  • j tasa de interés nominal anual
  • m número de períodos en un año
  • n número de años

36
  • Obtenga el monto a recibir al final de un año
    para 1,000,000 a una tasa de interés del 48
    anual si se capitaliza (a) anual (b)
    trimestral.
  • (a) F 1,000,000 ( 1 0.48 ) 1
    1,480,000
  • (b) F 1,000,000 ( 1 0.48/4 ) 4
    1,573,519

37
  • Calcule el valor de 80,000 después de dos
    años y seis meses colocados a una tasa del 42
    con capitalización trimestral.
  • n m 2.5 años 4 trimestres por año 10
    trimestres
  • F 80,000 ( 1 0.42/4 ) 10 217,126.47

38
  • En cuanto tiempo se triplica una inversión
    colocada al 40 con capitalizaciones
    trimestrales?
  • n ln ( F / P ) ln ( 3 )
    11.53 trimestres
  • ln ( 1 i ) ln ( 1 0.4/4 )

39
  • Una inversión ofrece una tasa del 40 con
    capitalización mensual y otra ofrece el 45 con
    capitalización trimestral. Cuál prefiere usted?
    (analice un año).
  • (a) F 1 ( 1 0.4/12 )12 1.4821
  • (b) F 1 ( 1 0.45/4 )4 1.5318
  • La mejor opción es la tasa del 45 con
    capitalización trimestral.

40
Tópicos
  • Tasa efectiva

Tasas equivalentes, si
41
Tópicos
  • Perpetuidad

Perpetuidad creciente a tasa g
42
Tópicos
  • Gradiente aritmético
  • Equivalente uniforme de anualidad que se da
    durante n periodos, que crece G unidades
    monetarias cada periodo, empezando de cero en t1

43
Tópicos
  • Gradiente geométrico

44
Tópicos
  • Demostración de la fórmula de anualidades
  • Sea

45
Tópicos
  • Dado que

46
Tópicos
  • Resulta

47
Tópicos
  • Perpetuidad. Partimos de

Si n ? ?, el segundo término dentro de paréntesis
cuadrados desaparece
48
Tópicos
  • Anualidad desde perpetuidades
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