Congr

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CongrèsDédra-MATH-isonsLouvain-la-Neuve

• Présentation Laurent Annaert, François
  Rottenberg et Alexis Dubois pour le Collège
  Saint-Michel (Bruxelles)
• Sous la direction de M. Bolly

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CONTENU

1. Introduction et présentation du problème
2. Premiers calculs et premières observations
3. Etude de la suite
4. Méthodes du point fixe
5. Preuve de la convergence de la suite
6. Conclusion

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1. Introduction et présentation du problème

• Avec la touche et un nombre a, on peut
  fabriquer une suite de nombres de la forme
  ... Croyez-nous, en prenant
  différentes valeurs positives de a, on observe
  des choses étonnantes!

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2. Premiers calculs et premières observations

• Essais avec quelques valeurs entières

a 2 a 3 a 4
0 2 3 4
1 4 27 256
2 16 7,62. 1012 1,34.10154
3 65536 Ma ERROR Ma ERROR
4 Ma ERROR Ma ERROR Ma ERROR
7 Ma ERROR Ma ERROR Ma ERROR
inf. inf. inf.
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Essais avec valeurs décimales
a 0,5 a 0,25 a 0,1
0 0,5 0,25 0,1
1 0,7071 0,7071... 0,7943...
2 0,6125 0,3752... 0,1605...
3 0,654 0,5944... 0,6909...
4 0,6354... 0,4386... 0,2037...
5 0,6437... 0,5443... 0,6255...
20,60,100 0,6411... 0,5... 0,3989...
0,6411... 0,5... 0,399...
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Approximation dune valeur de a limite
a 1,4 a 1,4142 a 1,4422 a 1,5
0 1,4 1,4142 1,4422 1,5
1 1,6016... 1,6325... 1,6958... 1,8371...
2 1,7141... 1,7608... 1,8608... 2,8608...
3 1,7802... 1,8409... 1,967... 2,967...
12,20,60,100 1,8866... 2 2,478 1,4. 1015
1,8866... 2 2,478 inf.
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Conjectures

• Valeur pivot entre 1,4 et 1,5
• Si o lt a lt 1,44.. Convergence vers une constante
• Si a gt 1,44.. Divergence, suite tendant vers
  linfini

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3. Etude de la suite 3.1. première approche

• Ecriture générale de la suite
• Condition de convergence
• Doù, équation du type

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Etude graphique de léquation
A) Cas trivial a 1, une solution x 1
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B) Pour 0 lt a lt 1 exponentielle décroissante,
une solution
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C) Pour 1 lt a lt 1,44 exponentielle croissante,
deux solutions
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D) Pour a 1,44 exponentielle croissante
tangente à x, une solution
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E) Pour a gt 1,44, exponentielle croissante,
aucune solution
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Premières conclusions

• Si 0 lt a lt 1,44.., une solution à léquation.
• Si 1 lt a lt 1,44.., 2 solutions.
• Si a 1,44, une solution.
• Si a gt 1,44.., aucune solution. Donc, aucune
  convergence possible pour un a supérieur au point
  pivot.
• NB 1 solution à léquation est une condition
  nécessaire mais pas suffisante de la convergence

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3.2. Etudes périphériques

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1) Premier problème auxiliaire
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Conclusion de cette étude de fonction

• Abscisse solutions de léquation.
• Ordonnée valeurs de a possibles pour quil y
  ait une ou plusieurs solutions.
• Valeur du point pivot maximum de la fonction
• Si 0 lt a lt , il y a toujours au moins une
  solution (soit une en bleu, soit deux en mauve
  soit 1 en rouge sur le graphe).
• Si a est plus grand que le point pivot, aucune
  solution.

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• Vérification de la valeur du point pivot

• Lorsque a , tangent au graphe de x

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• Nous avons donc une double équation

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2) Second problème auxiliaire
Si 0 lt a lt 1
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Si 1 lt a lt
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Si a
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Si lt a
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4. Méthode du point fixe

• Formule générale
•  ex racines de
• Simple factorisation ne peut fonctionner car
• elle nécessite une racine.
• ? Méthode du point fixe

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• On approxime la racine à 0,7 et on remplace dans
  léquation
• Et on recommence lopération avec le résultat
  obtenu

Différence entre chaque terme de la suite est de
plus en plus petite ? On se rapproche de la
racine
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• Ne fonctionne pas dans tous les cas de figure !
  Lalgorithme doit converger !
• Si lalgorithme diverge, la méthode nous
  éloignera de la racine.

Ex si léquation était ? On séloigne
de la racine, lalgorithme diverge.
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? Suite qui diverge.
? Suite qui piétine. En effectuant la méthode du
point fixe, on tourne en rond.
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• Pour que la suite converge, il faut sassurer
  quaux alentours de la racine
• Par ailleurs, la méthode du point fixe peut
  expliquer un autre phénomène de la suite
• Le fait que la suite oscille entre 0 et 1 et le
  fait que la suite est monotone entre 1 et .

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a 0,5
0 0,5
1 0,7071
2 0,6125
3 0,654
4 0,6354...
5 0,6437...
20 0,6411...
0,6411...
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a 1,4
0 1,4
1 1,6016
2 1,7141
3 1,7802
4 1,8203
5 1,8450
20 1,8866...
1,8866...
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5. Preuve de convergence de la suite

• Par la méthode du point fixe, convergence si
• Si , la convergence est facile à
  prouver.

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• Si 0 lt a lt 1
• toujours vérifié.
• toujours vérifié ?

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• La suite ne converge donc pas si
  
• Attention, cela ne signifie pas que pour ces
  valeurs de a, na pas de solutions
• Cela signifie que la suite oscille puis piétine
  et donc ne se stabilise jamais vers une valeur.
• Ex si a 0,05

n a 0,05 n a 0,05
0 0,860891 6 0,734866
1 0,075850 7 0,110641
2 0,796741 8 0,717881
3 0,091921 9 0,116416
4 0,759290 10 0,705567
5 0,102834 11 0,129791
Divergence. Pourtant, 0,3502 vérifie léquation
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• 6) Conclusion
• Si , la suite diverge puis piétine.
• Si , converge et est oscillante.
• Si , la suite converge.
• Si , la suite converge et est monotone.
• Si , la suite diverge.

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Sources

• Calculus A complete course , Robert A. Adams,
  sixth edition
• NUMERICAL METHODS WITH FORTRAN IV CASE STUDIES,
  William S.Dorn, Daniel D.McCracken
• Syllabi de M. Bolly, professeur à Saint-Michel
• Cours de Mme Lambotte, professeur à Saint-Michel.