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Das Problem der Museumsw

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Das Problem der Museumsw chter Antje Gottschalk 04.01.2012 Proseminar Das Buch der Beweise Wie viele W chter braucht man zur berwachung eines Museums ? – PowerPoint PPT presentation

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Title: Das Problem der Museumsw


1
Das Problem der Museumswächter
  • Antje Gottschalk
  • 04.01.2012
  • Proseminar Das Buch der Beweise

2
Einleitung
Einleitung
  • Fragestellung der Algorithmischen Geometrie
  • tritt auf
  • - in der Robotik
  • - in der digitalen Bildbearbeitung
  • - bei Beleuchtungsproblemen
  • - Beobachtung von Tierpopulationen
  • - Aufstellung der Infrastruktur für
    Wetterbeobachtung/ Warnung vor Naturkatastrophen
  • APX-Problem
  • aber es gibt scharfe obere Schranken für das
    Problem und seine Varianten
  • Im folgenden
  • Museumswächterproblem von V. Klee und dessen
    Beweis von S. Fisk
  • drei Varianten

Das Problem der Museumswächter
3
Wie viele Wächter braucht man zur Überwachung
eines Museums ?
Die Fragestellung
Victor Klee, August 1973, Konferenz in Stanford
  • Bedingungen
  • die Wächter haben einen festen Standpunkt haben,
  • jeder Punkt ist im Sichtfeld eines Wächters,
  • die Wächter können sich um 360 drehen.

Das Problem der Museumswächter
4
Die Fragestellung
Grundriss des Museums ein Polygon mit n Seiten
WENN das Polygon konvex ist. ? Ein Wächter
reicht aus. ABER i.A. ist es ein beliebiges
geschlossenes ebenes UND
Abb.1 Eine konvexe Ausstellungshalle 1
Das Problem der Museumswächter
5
Die Fragestellung
es gibt ziemlich verwinkelte Museen!
Abb.2 Weisman Art Museum, Minneapolis, USA 1
2
Das Problem der Museumswächter
6
Die Vermutung
Die Vermutung
Geg. Museum mit n 3m Wänden.
Beobachtung
  • Punkt 1 kann nur von einem Wächter beobachtet
    werden, der im schattierten Dreieck steht
  • (analog die Punkte 2,3,,m)
  • alle Dreiecke sind disjunkt ? man braucht
    mind. m Wächter.
  • Wächter an den oberen Kanten der Dreiecke
    postieren ? m Wächter reichen aus
  • Vermutung
  • Für jedes n gibt es ein Museum mit n Wänden, für
    das man ?n/3? Wächter braucht.
  • Diese obere Schranke ist scharf.

Das Problem der Museumswächter
7
Der Museumswächtersatz
Der Museumswächtersatz/ Art Gallery Theorem
(Aufgestellt und bewiesen von Vašek Chvátal,
1975)
Satz. Für jedes Museum mit n Wänden reichen ?n/3?
Wächter aus.
Beweis von S.Fisk (1978) Schritt 1.
Triangulierung des Polygons (Museumsgrundriss)
Schritt 2. 3-Färbung der Triangulierung
Schritt 3. Schlussfolgerung auf die obere
Schranke
Das Problem der Museumswächter
8
Fisks Beweis Schritt 1 Triangulierung des
Polygons Definition
Fisks Beweis Schritt 1. Triangulierung des
Polygons P.
Definition. Die Triangulierung T eines einfachen
Polygons P ist ein planarer Graph, der dadurch
gebildet wird, dass man die Ecken von P mit
soviel wie möglich sich nicht-kreuzenden, in P
liegenden Diagonalen verbindet, bis der Innenraum
in Dreiecke aufgeteilt ist.
Abb.3 Ein Museum mit n 12 Wänden. 1
Abb.4 Triangulierung eines Museums mit n 12
Wänden. 1
Das Problem der Museumswächter
9
Fisks Beweis Schritt 1 Triangulierung des
Polygons Beweis
Satz. Für ein ebenes nicht-konvexes Polygon P
existiert immer eine Triangulierung.
Beweis.
mittels Induktion über die Anzahl n der Ecken
Induktionsanfang.
n 3 ? P ist ein Dreieck P ist ein
Triangulierung.
Induktionsvorraussetzung.
Der o.g. Satz gilt für ein n-Eck und alle
Polygone mit weniger als n Ecken.
Induktionsschritt.
  • Irgendeine Diagonale d finden, die das n1-Eck P
    in zwei Teile P1 und P2 zerlegt
  • Existiert d, dann haben t1 und t2 jeweils weniger
    als n1-Ecken
  • ? P1 und P2 können nach IV in Dreiecke
    zerlegt werden
  • ? P besteht aus allen diesen Dreiecken.
  • ? P ist triangulierbar.

Das Problem der Museumswächter
10
Fisks Beweis Schritt 1 Triangulierung des
Polygons Beweis
Für den Induktionsschritt, Teil 1 Irgendeine
Diagonale d finden, die dieses n1-Eck P in zwei
Teile t1 und t2 zerlegt
  • Suche eine konvexe Ecke A des Polygons
  • konvex der innere Winkel an A ist kleiner als
    180
  • Innenwinkelsumme(P) (n-2)180 ? es ex. mind.
    eine konvexe Ecke A
  • Nach Schubfachprinzip ex. sogar mind. drei
    konvexe Ecken !
  • Betrachte Nachbarecken B und C von A
  • Wenn Strecke BC innerhalb von P liegt ? Strecke
    BC ist Diagonale d.
  • Wenn nicht
  • ? Dreieck ABC enthält weitere Ecken von P
  • ? Verschiebung der Strecke BC Richtung A bis es
    die
  • letzte Ecke Z trifft, die in ABC liegt.
  • ? Strecke AZ liegt im Inneren von P
  • ? Strecke AZ ist Diagonale d.

Abb.5Diagonale d finden1
Das Problem der Museumswächter
11
Fisks Beweis Schritt 1 Triangulierung des
Polygons 3D
Kann man dies auf den 3-dimensionalen Fall
verallgemeinern ??
? Zerlegung in Tetraeder ohne zusätzliche Ecken
Antwort NEIN, denn es gibt ein Gegenbeispiel,
das Schönhard-Polyeder.
  • Das Schönhardt-Polyeder
  • entsteht aus einem Dreiecksprisma und Drehung
    des
  • Deckels
  • Triangulierung ? Tetraeder muss das Bodendreieck
  • und eine weitere Ecke im Deckel enthalten
  • solch ein Tetraeder existiert nicht

Abb.6
1
Das Problem der Museumswächter
12
Fisks Beweis Schritt 2 Färbung der
Triangulierung Definition
Schritt 2. 3-Färbung der Triangulierung T.
Definition. Mit der 3-Färbung einer
Triangulierung T ist die Zuordnung von Farben zu
den Ecken von T gemeint, so dass zwei benachbarte
Ecken niemals die gleiche Farbe haben.
Farbe A Farbe B Farbe C
Abb.7 Triangulierung eines Museums1
Abb. 8 3-gefärbte Triangulierung eines Museums
Das Problem der Museumswächter
13
Fisks Beweis Schritt 2 Färbung der
Triangulierung Beweis
Satz. Jede Triangulierung T eines Polygons P ist
3-färbbar.
Beweis (mittels Induktion).
Induktionsanfang.
n 3 ? P ist ein Dreieck P ist 3-färbbar.
Induktionsvorraussetzung.
Der o.g. Satz gilt für ein n-Eck und alle
Polygone mit weniger als n Ecken.
Induktionsschritt.
  1. P wird trianguliert, P hat n1 Ecken
  2. Wahl zweier beliebiger Ecken u,v von P, die durch
    eine Diagonale uv verbunden sind
  3. Die Diagonale uv teilt P in zwei kleinere
    triangulierte Graphen P1 und P2
  4. P1 und P2 enthalten jeweils weniger als n1 Ecken
  5. Nach IV sind P1 und P2 3-färbbar
  6. In beiden Färbungen hat u Farbe A und v Farbe B
  7. Zusammenkleben von P
  8. P ist 3-färbbar

Das Problem der Museumswächter
14
Fisks Beweis Schritt 3 Schlussfolgerung auf
die obere Schranke
Schritt 3. Schlussfolgerung auf die obere Schranke
Bisher gezeigt
Ein geschlossenes, ebenes Polygon mit n Wänden
ist triangulisierbar
Schritt 1
Schritt 2
3-färbbar.
Das Problem der Museumswächter
15
Fisks Beweis Schritt 3 Schlussfolgerung auf
die obere Schranke
  • a, b, c entsprechen der Anzahl der Ecken pro
    Farbe (A, B, C), a, b, c ? ?
  • n die Gesamtzahl der Ecken, n ? ?
  • n a b c und a b c
  • 3a n
  • ? a ? n/3 ?
  • Jedes Dreieck enthält eine Ecke der Farbe A
  • ? Volle Überwachung jeder Dreiecksfläche
  • Volle Überwachung der Grundfläche des gesamten
    Museums
  • Fazit Die Anzahl der auf jeden Fall
    ausreichenden Wächter für ein
  • Museum mit n Ecken ist ?n/3? .

Das Problem der Museumswächter
16
Variationen und Erweiterungen 1
Variationen und Erweiterungen
1. Die Wandwächter (G. Toussaint)
Definition. Ein Wandwächter ist ein Wächter, der
an einer Wand des Museums entlang läuft, und
alles überwacht, was von irgendeinem Punkt der
Wand aus zu sehen ist.
Frage. Wie viele solche Wandwächter brauchen
wir, um das gesamte Museum zu überwachen?
  • Antwort.
  • I.A. können ?n/4? Wächter nötig sein (siehe
    Abb.)
  • Vermutung Diese Anzahl reicht auch aus (außer
    für einige kleine Werte von n). Ein Beweis ist
    nicht in Sicht.

Abb. 9 Dieses Polygon hat n 28 Seiten/Ecken
(und 4m Seiten i.a. Fall). 1
Das Problem der Museumswächter
17
Variationen und Erweiterungen 2
Variationen und Erweiterungen
2. Orthogonale Polygone (Kahn, Klawe, Kleitman.
1980)
Definition. Ein orthogonales Polygon hat
ausschließlich die Innenwinkel 90 und 270.
Satz. Zur Bewachung eines jedem überschneidungs-
und lochfreien sowie planaren und
orthogonalen Polygons mit n Seiten sind ?n/4?
Wächterpunkte stets ausreichend und manchmal
notwendig.
  • Beweis des Bedarfs.
  • siehe Abbildung
  • Beweis der Notwendigkeit.
  • basiert darauf, dass jedes orthogonale Polygon
    in konvexe Quadrilaterale zerlegt werden kann
  • zeigt dann, dass der resultierende Graph
    4-färbbar ist
  • Platzierung der Wächter an den Ecken mit der
    wenigsten Farbe

m
Abb.10 Orthogonaler Kamm hat n4m Seiten/Ecken
3
Das Problem der Museumswächter
18
Variationen und Erweiterungen 2
Zusammenfassung
Form fest mobil
allgemein ?n/3? ?n/4?
orthogonal ?n/4? ?(3n4)/16?
Tab.1 Zusammenfassung 6
Benutzt man Wandwächter, braucht man ¼ weniger
als feste Wächter.
Das Problem der Museumswächter
19
Variationen und Erweiterungen 3
Variationen und Erweiterungen
3. Das Festungsproblem (D. Wood, J. Malkelvitch,
1970er, unabhängig voneinander)
Frage. Wie viele feste Eckwächter brauchen wir,
um die gesamte äußere Umgebung einer Festung zu
überwachen?
  • Antwort.
  • Einfache konvexe Polygone ? höchstens ?n/2 ?
    Wächter
  • Allgemeine Polygone P ? höchstens ?n/2 ? Wächter,
    denn
  • Trianguliere die konvexe Hülle von P
  • Verbinde alle äußeren Ecken mit einer neuen Ecke
    v8
  • Teile einen Knoten x in x und x
  • Bilde Triangulierung T des gesamten Graphen
  • 3-Färbung von T
  • Platzierung der Wächter in den Ecken mit der
    seltensten oder zweitseltensten Farbe
  • Orthogonale Polygone ? höchstens ?n/4? 2 Wächter

Abb. 11 Das Festungsproblem 6
Das Problem der Museumswächter
20
Quellen
Quellen
1 M. Aigner, G. Ziegler, Das Buch der Beweise,
3. Auflage, Springer, 2009, S. 263-266 2
www.hs-karlsruhe.de/fileadmin/hska/GOEM/Baum_Studi
eninteressierte/goem_mathe10_koerner.pdf 3
http//de.wikipedia.org 4 http//eric.gruver.net
/ArtGalleryProblems.html 5 D. Avis, G. T.
Toussaint, An efficient algorithm for decomposing
a polygon into star-shaped polygons, Pattern
Recognition, 13, Nr. 6, 1981, S. 395-398. 6
http//www.cs.purdue.edu/homes/aliaga/cs635-10/lec
-artgallery.pdf 7 http//www.austms.org.au/Publ/
Gazette/2004/Nov04/mathellaneous.pdf
Das Problem der Museumswächter
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Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit !
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Fisks Beweis Schritt 1 Triangulierung des
Polygons Beweis
Das Schubfachprinzip
Informell. Falls man n Objekte auf m Mengen (n,m
gt 0) verteilt, und n größer als m ist, dann gibt
es mindestens eine Menge, in der mehr als ein
Objekt landet. 3
Vorstellung. Falls man eine bestimmte Anzahl von
Schubfächern hat, und man mehr Objekte in die
Fächer legt als Fächer vorhanden sind, dann
landen in irgendeinem Schubfach mindestens zwei
dieser Objekte. 3
Das Problem der Museumswächter
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Fisks Beweis Schritt 1 Triangulierung des
Polygons Beweis
Das Festungsproblem Allgemeine Polygone
1. Trianguliere die konvexe Hülle von P
2. Verbinde alle äußeren Ecken mit einer neuen
Ecke v8
3. Teile einen Knoten x in x und x
4. Bilde Triangulierung T des gesamten Graphen 5.
3-Färbung von T 6. Platzierung der Wächter in den
Ecken mit der seltensten oder zweitseltensten
Farbe
Das Problem der Museumswächter
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