METODI DI FOURIER

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METODI DI FOURIER

• A cura di
• Pietro Pantano
• Università della Calabria

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INDICE

• Processi di analisi e sintesi
• Molti oscillatori
• Corda vibrante e armoniche
• Forme donda e timbro
• Spettrogramma
• Teorema di Fourier

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PROCESSI DI ANALISI E SINTESI

• Processo di analisi
• unonda sonora colpisce un microfono
• la membrana del microfono inizia a vibrare
• la vibrazione, energia meccanica, viene
  trasformata in una differenza di potenziale, cioè
  in energia elettrica
• il segnale sonoro viene quindi trasformato,
  attraverso la scheda sonora, da analogico in
  digitale
• infine il segnale viene memorizzato.
• Processo di sintesi
• trasformazione dei dati sonori da digitali in
  analogici
• le differenze di potenziale vengono trasformate
  in energia meccanica
• questa energia viene quindi trasmessa alla
  membrana delle casse
• le casse iniziano a vibrare e a produrre onde
  sonore.

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SCHEMA ANALISI E SINTESI
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MOLTI OSCILLATORI
Laccoppiamento fra sistemi oscillanti è un
meccanismo fisico in base al quale le
oscillazioni di ciascun sistema sono condizionate
dalla presenza degli altri, e di conseguenza ha
luogo un continuo trasferimento di energia tra le
diverse parti oscillanti. Se il numero di masse
oscillanti cresce, il moto risultante sarà sempre
più complesso, fino al limite in cui le masse
sono in numero infinito, costituendo di fatto un
segmento continuo di corda. E bene precisare che
il numero dei modi di oscillazione di un sistema
(automodi di oscillazione) è pari al numero di
masse messe in oscillazione.
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MOLTI OSCILLATORI (Esempio)

• Riportiamo di seguito cinque modi di vibrazione
  di cinque masse collegate da molle
• la frequenza di oscillazione andrà naturalmente
  aumentando dal primo al quinto modo a causa della
  crescente deformazione delle molle.

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MOLTI OSCILLATORI (Esempio)

• Se ci si spinge al limite di un numero molto
  grande di masse, il modo di più bassa frequenza
  sarà quello di tipo sincrono, quello di più alta
  frequenza sarà quello di massima asincronia

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CORDA VIBRANTE

• La corda vibrante produce infiniti suoni anche se
  un solo suono alla fine domina sugli altri.
• La corda produce infatti dei modi di oscillazione
  detti parziali o armoniche della corda il modo
  con minima frequenza è larmonica fondamentale,
  gli altri modi sono le armoniche superiori.
• Il suono risultante dalla vibrazione di una corda
  dipende poi
• dalla lunghezza della corda, più la corda è
  corta più il suono risulterà acuto e viceversa
• dalla tensione della corda, più la corda è tesa
  più il suono risulterà acuto e viceversa
• dallo spessore della corda, più la corda è
  sottile più il suono risulterà acuto e viceversa.

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CORDA VIBRANTE
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PRIMA ARMONICA
Parte spaziale
Parte temporale
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SECONDA ARMONICA
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TERZA ARMONICA
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FORME DONDA
Ogni strumento musicale si porta dietro una forma
donda particolare. Questa forma donda risulta
dalla combinazione dellarmonica fondamentale e
delle armoniche superiori. E proprio la forma
donda, risultante dal contenuto spettrale delle
armoniche, a determinare il timbro di uno
strumento musicale.
CHITARRA
TROMBA
VIOLINO
FLAUTO
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FORME DONDA PARTICOLARI
Esiste un gruppo di forme donda di particolare
simmetria che possono essere realizzate con
opportune sintesi additive
In questonda sono presenti tutte le armoniche
con ampiezza decrescente
DENTE DI SEGA
In questonda sono presenti solo le armoniche
dispari con ampiezza decrescente
ONDA QUADRA
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FORME DONDA PARTICOLARI
In questonda sono presenti solo le armoniche
pari con ampiezza decrescente
DOPPIO DENTE
In questonda sono presenti solo le armoniche
dispari con ampiezza decrescente prese con segni
alterni
TRIANGOLARE
Linteresse di queste forme donda particolari,
generabili soltanto elettronicamente, sta nel
fatto che esse vengono usate nellambito della
sintesi del suono.
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FORME DONDA PARTICOLARI
Esempi di diverse forme donda risultanti dalla
sintesi additiva di armoniche scelte in maniere
diverse
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FASI E FORME DONDA
Se le onde delle varie armoniche di un suono non
sono in fase varia notevolmente la forma
dellonda risultante
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SPETTROGRAMMA
Lo spettrogramma è una rappresentazione grafica
dellintensità del suono alle varie frequenze che
lo costituiscono
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FOURIER
Il matematico francese François Marie Charles
Fourier (1772- 1837) inventò una teoria
matematica attraverso cui è possibile provare che
ogni onda periodica può essere rappresentata per
mezzo di una somma di onde sinusoidali aventi
ampiezze, frequenze e fasi appropriate. Una
rappresentazione di Fourier di unonda può
richiedere molte componenti, addirittura un
numero infinito, tuttavia è possibile
approssimare unonda utilizzando un numero finito
di componenti.
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TEOREMA DI FOURIER
Il teorema di Fourier afferma che qualunque
funzione periodica, finita, continua può essere
rappresentata mediante una somma di funzioni
sinusoidali pure, pesate da opportuni
coefficienti, nei cui argomenti compaiono tutte
le frequenze (le armoniche) multiple di una
frequenza fondamentale, caratterizzante la
periodicità della funzione
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FUNZIONI PERIODICHE
Dopo un tempo 2? si ripete la stessa funzione f(?)
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SERIE DI FOURIER
Consideriamo la serie trigonometrica
senza curarci di problemi di convergenza, questa
definisce una funzione periodica
una funzione periodica, qualunque sia il suo
periodo, può essere considerata come una somma
infinita di seni e di coseni
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ANALISI DI FOURIER
Lanalisi di Fourier è quel procedimento che
conduce alla serie di armoniche che costituiscono
un suono, questa analisi consiste nel determinare
le ampiezze e le fasi relative a ciascuna
armonica contenuta in unonda.
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COEFFICIENTI DI FOURIER
Per ricostruire una funzione periodica è
necessario conoscere i coefficienti della serie
trigonometrica
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ESEMPI DI ANALISI
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ESEMPI DI ANALISI