Speltheorie: Spelen en Delen

1
SpeltheorieSpelen en Delen

• Frank Thuijsman
• Vakgroep Wiskunde
• Universiteit Maastricht
• frank_at_math.unimaas.nl

18-01-2005
2
John von Neumann
Oskar Morgenstern
Theory of Games and Economic Behavior, Princeton,
1944
3
Programma

• Een probleem uit de Talmud
• Coöperatieve spelenPauze
• Strategische spelen
• Huwelijksproblemen

4
Kethuboth, Fol. 93a, Babylonian Talmud, Epstein,
ed, 1935
If a man who was married to three wives died and
the kethubah of one was 100 zuz, of the other 200
zuz, and of the third 300 zuz, and the estate was
worth only 100 zuz, then the sum is divided
equally. If the estate was worth 200 zuz then
the claimant of the 100 zuz receives 50 zuz and
the claimants respectively of the 200 and the
300 zuz receive each 75 zuz. If the estate was
worth 300 zuz then the claimant of the 100
zuz receives 50 zuz and the claimant of the 200
zuz receives 100 zuz while the claimant of the
300 zuz receives 150 zuz. Similarly if three
persons contributed to a joint fund and they had
made a loss or a profit then they share in the
same manner.
Dus 100 wordt gelijkelijk verdeeld, ieder krijgt
33.33.
Dus 200 wordt verdeeld volgens 50 - 75 - 75.
Dus 300 wordt proportioneel verdeeld volgens 50
- 100 - 150.
5
Nalatenschap
100 200 300
100 33.33
200 33.33
300 33.33
50
50
Weduwe
75
100
75
150
Gelijkelijk
Proportioneel
???
Similarly if three persons contributed to a
joint fund and they had made a loss or a profit
then they share in the same manner.
Hoe moet 400 verdeeld worden?
Wat als een vierde weduwe 400 claimt?
6
Barry ONeill
A problem of rights arbitration from the Talmud,
Mathematical Social Sciences 2, 1982
7
Robert J. Aumann
Michael Maschler
Game theoretic analysis of a bankruptcy problem
from the Talmud, Journal of Economic Theory 36,
1985
8
Coöperatieve spelen
100 200 300
A 100 33.33 50 50
B 200 33.33 75 100
C 300 33.33 75 150
100 200 300
A 100 33.33
B 200 33.33
C 300 33.33
100 200 300
A 100
B 200
C 300
De waarde van coalitie S is het bedrag dat
overblijft, als eerst de claims van de andere
spelers betaald worden.
De nucleolus van het spel
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S)
0
0
0
0
0
0
0
100
Spel in karakteristieke functievorm
9
Coöperatieve spelen
100 200 300
100 33.33 50 50
200 33.33 75 100
300 33.33 75 150
100 200 300
100 50
200 75
300 75
100 200 300
100
200
300
De waarde van coalitie S is het bedrag dat
overblijft, als eerst de claims van de andere
spelers betaald worden.
De nucleolus van het spel
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S)
0
100
200
0
0
0
0
0
10
Coöperatieve spelen
100 200 300
100 33.33 50 50
200 33.33 75 100
300 33.33 75 150
100 200 300
100 50
200 100
300 150
100 200 300
100
200
300
De waarde van coalitie S is het bedrag dat
overblijft, als eerst de claims van de andere
spelers betaald worden.
De nucleolus van het spel
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S)
0
0
0
100
200
300
0
0
11
Coöperatieve spelen
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S) 0 6 7 7 9 11 11 14
kosten of winsten verdelen op basis van de
waarden van de coalities
12
De core
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S) 0 6 7 7 9 11 11 14
(0,0,14)
(6,0,8)
(7,0,7)
(0,7,7)
Leeg
(6,8,0)
(7,7,0)
(14,0,0)
(0,14,0)
13
Lloyd S. Shapley
A value for n-person games, In Contribution to
the Theory of Games, Kuhn and Tucker (eds),
Princeton, 1953
14
De Shapley-waarde
Voor coöperatieve spelen is er precies één
oplossingsconcept dat voldoet aan de
eigenschappen- Anonimiteit - Efficiëntie -
Dummy - Additiviteit
F het gemiddelde van de marginale bijdragen
15
De Shapley-waarde
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S) 0 6 7 7 9 11 11 14
A B C
A-B-C
A-C-B
B-A-C
B-C-A
C-A-B
C-B-A
Som
F
Marginale bijdragen
6
3
5
6
3
5
2
7
5
3
7
4
4
3
7
3
4
7
24
27
33
4
4.5
5.5
16
David Schmeidler
The nucleolus of a characteristic function game,
SIAM Journal of Applied Mathematics 17, 1969
17
De nucleolus
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S) 0 6-2 7-2 7-2 9-2 11-2 11-2 14
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S) 0 6 7 7 9 11 11 14
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S) 0 6-x 7-x 7-x 9-x 11-x 11-x 14
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S) 0 4 5 5 7 9 9 14
(0,0,14)
F (4, 4.5, 5.5)
(4,5,5) de nucleolus
Leeg
(14,0,0)
(0,14,0)
18
De Talmud-spelen
(0,0,100)
100 200 300
A 100 33.33 50 50
B 200 33.33 75 100
C 300 33.33 75 150
de nucleolus
(100,0,0)
(0,100,0)
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S) 0 0 0 0 0 0 0 100
19
Talmud-spelen
(0,0,200)
100 200 300
100 33.33 50 50
200 33.33 75 100
300 33.33 75 150
(200,0,0)
(0,200,0)
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S) 0 0 0 0 0 0 100 200
20
Talmud-spelen
(0,0,200)
100 200 300
100 33.33 50 50
200 33.33 75 100
300 33.33 75 150
de nucleolus
(200,0,0)
(0,200,0)
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S) 0 0 0 0 0 0 100 200
21
Talmud-spelen
(0,0,300)
100 200 300
100 33.33 50 50
200 33.33 75 100
300 33.33 75 150
(300,0,0)
(0,300,0)
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S) 0 0 0 0 0 100 200 300
22
Talmud-spelen
(0,0,300)
100 200 300
100 33.33 50 50
200 33.33 75 100
300 33.33 75 150
de nucleolus
(300,0,0)
(0,300,0)
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S) 0 0 0 0 0 100 200 300
23
Nalatenschap
100 200 300
100 33.33
200 33.33
300 33.33
50
50
Weduwe
75
100
75
150
Similarly if three persons contributed to a
joint fund and they had made a loss or a profit
then they share in the same manner.
Hoe moet 400 verdeeld worden?
Wat als een vierde weduwe 400 claimt?
24
Het Antwoord
Een ander stukje uit deTalmud luidt Twee
houden een kleed vast de een claimt het hele
kleed, de ander claimt de helft. Dan krijgt de
een 3/4 , de ander 1/4. Baba Metzia 2a, Fol. 1,
Babylonian Talmud, Epstein, ed, 1935
25
Consistentie
100 200 300
100 33.33 50 50
200 33.33 75 100
300 33.33 75 150
100 200 300
100 33.33 50 50
200 33.33 75 100
300 33.33 75 150
samen 66.66
100
200
Ieder claimt alles, dus elk krijgt de helft
samen 66.66
100 33.33
200 33.33
26
Consistentie
100 200 300
100 33.33 50 50
200 33.33 75 100
300 33.33 75 150
100 200 300
100 33.33 50 50
200 33.33 75 100
300 33.33 75 150
Ieder claimt alles, dus elk krijgt de helft
samen 66.66
100 33.33
300 33.33
27
Consistentie
100 200 300
100 33.33 50 50
200 33.33 75 100
300 33.33 75 150
100 200 300
100 33.33 50 50
200 33.33 75 100
300 33.33 75 150
Ieder claimt alles, dus elk krijgt de helft
samen 66.66
200 33.33
300 33.33
28
Consistentie
100 200 300
100 33.33 50 50
200 33.33 75 100
300 33.33 75 150
De één claimt 100, de ander alles dus 25 is voor
de ander de rest (100) claimen beiden, dus
daarvan krijgt elk de helft
samen 125
100
200
samen 125
100
200 25
samen 125
100 50
200 2550
29
Consistentie
100 200 300
100 33.33 50 50
200 33.33 75 100
300 33.33 75 150
De één claimt 100, de ander alles dus 25 is voor
de ander de rest claimen beiden, dus daarvan
krijgt elk de helft
samen 125
100 50
300 2550
30
Consistentie
100 200 300
100 33.33 50 50
200 33.33 75 100
300 33.33 75 150
samen 150
200 75
300 75
Ieder claimt alles, dus elk krijgt de helft
31
Consistentie
100 200 300
100 33.33 50 50
200 33.33 75 100
300 33.33 75 150
De één claimt 100, de ander alles dus 50 is voor
de ander de rest (100) claimen beiden, dus
daarvan krijgt elk de helft
samen 150
100
200
samen 150
100
200 50
samen 150
100 50
200 5050
32
Consistentie
100 200 300
100 33.33 50 50
200 33.33 75 100
300 33.33 75 150
De één claimt 100, de ander alles dus 100 is voor
de ander de rest (100) claimen beiden, dus
daarvan krijgt elk de helft
samen 200
100
300
samen 200
100
300 100
samen 200
100 50
200 10050
33
Consistentie
100 200 300
100 33.33 50 50
200 33.33 75 100
300 33.33 75 150
De één claimt 200, de ander alles dus 50 is voor
de ander de rest (200) claimen beiden, dus
daarvan krijgt elk de helft
samen 250
200
300
samen 250
200
300 50
samen 250
100 100
200 50100
34
100 200 300
100 33.33 50 50
200 33.33 75 100
300 33.33 75 150
Maar weten we nu echt hoe het moet?
Hoe moet 400 verdeeld worden?
Wat als een vierde weduwe 400 claimt?
35
Marek M. Kaminski
Hydraulic rationing, Mathematical Social
Sciences 40, 2000
36
Communicerende Vaten
50
100
150
50
100
150
37
Vullen met 100
33.33
33.33
33.33
38
Vullen met 200
75
75
50
39
Vullen met 300
150
100
50
40
Vullen met 400
125
225
50
41
4 personen met 400
125
125
100
50
42
PAUZE
43
Strategische Spelen
Spel in uitgebreide vorm
Strategie speler 1 LLR
Strategie speler 2 RRR
44
Strategische Spelen
Spel in uitgebreide vorm
Dreigement
Strategie speler 1 RLL
Strategie speler 2 RLL
45
Spel in strategische vorm
LLL LLR LRL LRR RLL RLR RRL RRR
LLL
LLR 2,2
LRL
LRR
RLL 3,4
RLR
RRL
RRR
46
Spel in strategische vorm
LLL LLR LRL LRR RLL RLR RRL RRR
LLL 6,1 6,1 6,1 6,1 2,2 2,2 2,2 2,2
LLR 6,1 6,1 6,1 6,1 2,2 2,2 2,2 2,2
LRL 4,3 4,3 4,3 4,3 2,2 2,2 2,2 2,2
LRR 4,3 4,3 4,3 4,3 2,2 2,2 2,2 2,2
RLL 3,4 3,4 1,3 1,3 3,4 3,4 1,3 1,3
RLR 2,1 4,2 1,3 1,3 2,1 4,2 1,3 1,3
RRL 3,4 3,4 1,3 1,3 3,4 3,4 1,3 1,3
RRR 2,1 4,2 1,3 1,3 2,1 4,2 1,3 1,3
LLL LLR LRL LRR RLL RLR RRL RRR
LLL 6,1 6,1 6,1 6,1 2,2 2,2 2,2 2,2
LLR 6,1 6,1 6,1 6,1 2,2 2,2 2,2 2,2
LRL 4,3 4,3 4,3 4,3 2,2 2,2 2,2 2,2
LRR 4,3 4,3 4,3 4,3 2,2 2,2 2,2 2,2
RLL 3,4 3,4 1,3 1,3 3,4 3,4 1,3 1,3
RLR 2,1 4,2 1,3 1,3 2,1 4,2 1,3 1,3
RRL 3,4 3,4 1,3 1,3 3,4 3,4 1,3 1,3
RRR 2,1 4,2 1,3 1,3 2,1 4,2 1,3 1,3
LLL LLR LRL LRR RLL RLR RRL RRR
LLL 6,1 6,1 6,1 6,1 2,2 2,2 2,2 2,2
LLR 6,1 6,1 6,1 6,1 2,2 2,2 2,2 2,2
LRL 4,3 4,3 4,3 4,3 2,2 2,2 2,2 2,2
LRR 4,3 4,3 4,3 4,3 2,2 2,2 2,2 2,2
RLL 3,4 3,4 1,3 1,3 3,4 3,4 1,3 1,3
RLR 2,1 4,2 1,3 1,3 2,1 4,2 1,3 1,3
RRL 3,4 3,4 1,3 1,3 3,4 3,4 1,3 1,3
RRR 2,1 4,2 1,3 1,3 2,1 4,2 1,3 1,3
47
Evenwicht
Wanneer de spelers beste antwoorden tegen elkaar
spelen dan is er een stabiele situatie
48
A Beautiful Mind
John F. Nash
John C. Harsanyi
Reinhard Selten
1994 Nobelprijs Economie
Non-cooperative games, Annals of Mathematics 54,
1951
49
LLL LLR LRL LRR RLL RLR RRL RRR
LLL 6,1 6,1 6,1 6,1 2,2 2,2 2,2 2,2
LLR 6,1 6,1 6,1 6,1 2,2 2,2 2,2 2,2
LRL 4,3 4,3 4,3 4,3 2,2 2,2 2,2 2,2
LRR 4,3 4,3 4,3 4,3 2,2 2,2 2,2 2,2
RLL 3,4 3,4 1,3 1,3 3,4 3,4 1,3 1,3
RLR 2,1 4,2 1,3 1,3 2,1 4,2 1,3 1,3
RRL 3,4 3,4 1,3 1,3 3,4 3,4 1,3 1,3
RRR 2,1 4,2 1,3 1,3 2,1 4,2 1,3 1,3
50
Evenwicht ?
Speler 2 Speler 2
Speler 1 3,0 0,4
Speler 1 0,5 3,-1
1-p
p
q
1-q
gemengde acties
verwachte uitbetalingen
51
Verwachte uitbetaling
Speler 2 Speler 2
Speler 1 3,0 0,4
Speler 1 0,5 3,-1
3(1-q)
3q
1-q
q
Als q0.5, dan geldt 3q3(1-q), en dan is Boven
even goed als Onder voor speler 1.
De verwachte uitbetaling voor speler 1 is dan
1.5, ongeacht of hij Boven of Onder kiest.
52
Speler 2 Speler 2
Speler 1 3,0 0,4
Speler 1 0,5 3,-1
1-p
p
Verwachte uitbetaling
5p
4(1-p)-p
Als p0.4, dan geldt 5p4(1-p)-p4-5p, en dan is
Links even goed als Rechts voor speler 2.
De verwachte uitbetaling voor speler 2 is dan
2, ongeacht of hij Links of Rechts kiest.
53
Evenwicht !
Speler 2 Speler 2
Speler 1 3,0 0,4
Speler 1 0,5 3,-1
0.6
0.4
0.5
0.5
een gemengd evenwicht
met (verwachte) uitbetaling (1.5, 2)
54
Matrixspelen
Speler 2 Speler 2
Speler 1 0 4
Speler 1 5 -1
1-p
p
Verwachte uitbetaling
5p
4-5p
5
4
0
p
1
0
-1
55
Matrixspelen
Speler 1 wil p zo kiezen dat het maximum van 5p
en 4-5p zo klein mogelijk is
5p
4-5p
5
4
2
0
p
1
0
0.4
-1
56
Matrixspelen
Verwachte uitbetaling
Speler 2 Speler 2
Speler 1 3 0
Speler 1 0 3
3(1-q)
3q
1-q
q
3q
3(1-q)
3
3
2
q
0
1
0.5
57
De minimax stelling Voor elk matrixspel
bestaat er een getal v, de waarde, en optimale
strategieën x en y, zodat x een uitbetaling aan
speler 1 van minstens v en y een uitbetaling aan
speler 1 van hoogstens v garandeert.
De minimax stelling Voor elk matrix A geldt
max min pAq min max pAq p q
q p
John von Neumann
Zur Theorie der Gesellschaftsspiele, Mathematische
Annalen 100, 1928
58
Het Prisoners Dilemma
Het herhaald Prisoners Dilemma
Speler 2 Speler 2
Speler 1 -2,-2 -10,-1
Speler 1 -1,-10 -8,-8
zwijgen
bekennen
(-10,-1)
(-2,-2)
(-8,-8)
(-1,-10)
59
Het herhaald Prisoners Dilemma
Folk-stelling
Speler 2 Speler 2
Speler 1 -2,-2 -10,-1
Speler 1 -1,-10 -8,-8
In het herhaalde spel is elke uitbetaling in het
rode gebied verkrijgbaar als een
evenwichtsuitbetaling.
(-10,-1)
(-2,-2)
(-8,-8)
(-1,-10)
60
Herhaalde Spelen
Speler 2 Speler 2
Speler 1 3,0 0,4
Speler 1 0,5 3,-1
Folk-stelling
In het herhaalde spel is elke uitbetaling in het
rode gebied verkrijgbaar als een
evenwichtsuitbetaling.
2
1.5
61
Hawk-Dove
D H D H
D H 2,2 0,3
D H 3,0 1,1
(0,3)
(2,2)
(1,1)
(3,0)
62
Hawk-Dove en Tit-for-Tat
D H T
D 2 0  
H 3 1  
T      
D H T
D 2 0 2
H 3 1 1
T 2 1 2
D H D H
D H 2,2 0,3
D H 3,0 1,1
Tit-for-Tat begin met D en speel elk volgend
tijdstip de laatste actie van je tegenstander
63
Robert Axelrod
Anatol Rapoport
John Maynard Smith
64
Huwelijksproblemen
  1 2 3 4 5
Anny Freddy Harry Kenny Gerry Lenny
Betty Gerry Kenny Freddy Harry Lenny
Conny Lenny Harry Gerry Freddy Kenny
Dolly Harry Lenny Freddy Gerry Kenny
Emmy Harry Kenny Gerry Lenny Freddy
  1 2 3 4 5
Freddy Conny Betty Anny Emmy Dolly
Gerry Dolly Anny Betty Emmy Conny
Harry Emmy Anny Dolly Betty Conny
Kenny Emmy Conny Anny Dolly Betty
Lenny Emmy Anny Betty Conny Dolly
65
Huwelijksproblemen
  1 2 3 4 5
Anny Freddy Kenny Gerry Lenny
Betty Gerry Kenny Freddy Lenny
Conny Lenny Gerry Freddy Kenny
Dolly Lenny Freddy Gerry Kenny
Kenny Gerry Lenny Freddy
  1 2 3 4 5
Freddy Conny Betty Anny Dolly
Gerry Dolly Anny Betty Conny
Anny Dolly Betty Conny
Kenny Conny Anny Dolly Betty
Lenny Anny Betty Conny Dolly
66
Huwelijksproblemen
  1 2 3 4 5
Anny Freddy Kenny Gerry Lenny
Betty Gerry Kenny Freddy Lenny
Conny Lenny Gerry Freddy Kenny
Dolly Lenny Gerry Kenny
Kenny Gerry Lenny Freddy
  1 2 3 4 5
Freddy Conny Betty Anny
Gerry Dolly Anny Betty Conny
Anny Dolly Betty Conny
Kenny Conny Anny Dolly Betty
Lenny Anny Betty Conny Dolly
67
Lloyd S. Shapley
David Gale
College admissions and the stability of marriage,
American Mathematical Monthly 69, 1962
68
Gale-Shapley Algoritme
  1 2 3 4 5
Anny Freddy Harry Kenny Gerry Lenny
Betty Gerry Kenny Freddy Harry Lenny
Conny Lenny Harry Gerry Freddy Kenny
Dolly Harry Lenny Freddy Gerry Kenny
Emmy Harry Kenny Gerry Lenny Freddy
1
2
9
3
4
6
7
8
5
  1 2 3 4 5
Freddy Conny Betty Anny Emmy Dolly
Gerry Dolly Anny Betty Emmy Conny
Harry Emmy Anny Dolly Betty Conny
Kenny Emmy Conny Anny Dolly Betty
Lenny Emmy Anny Betty Conny Dolly
1
7
2
8
4
5
9
3
6
69
Gale-Shapley Algoritme
- Geeft de beste stabiele koppeling voor de
aanzoekers
- Ook toepasbaar wanneer de groepen niet even
groot zijn
- Ook wanneer personen niet aan iedereen
gekoppeld willen worden
- Ook toepasbaar voor college admissions
70
Stef H. Tijs
Koos O.J. Vrieze
Hans J.M. Peters
71
?
frank_at_math.unimaas.nl
72
GAME VER