Tema 3: Teorema-Limite Centrale

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Tema 3 Teorema-Limite Centrale
Indipendenti ed Identicamente Distribuite
 
Teorema-Limite Centrale (T-L.C.)
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(No Transcript)
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Verifica sperimentale del T.-L.C.
Somma di N v.a. indipendentiuniformemente
distribuite su 0,1
N2
N3
ddp effettiva triangolare
istogramma normalizzato di Z2 ddp Gaussiana con
stessa media e varianza
ddp effettiva rami di parabola
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N10 condizioni quasi asintotiche
Verifica sperimentale del T-L.C. (2)
N10
ddp effettiva 2 rami con andamento polinomiale
di ordine N-1
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Effetto della skewness
Verifica sperimentale del T-L.C. (3)
somma di N v.a. indipendentidistribuite secondo
Rayleigh con valore quadratico medio 1
N2
N3
istogramma normalizzato di Z2 ddp Gaussiana con
stessa media e varianza
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Verifica sperimentale del T-L.C. (4)
N5
N10 condizioni quasi asintotiche
N10
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N50 condizioni praticamente asintotiche
Verifica sperimentale del T-L.C. (5)
somma di N50 v.a. indipendentidistribuite
secondo Rayleigh con valor quadratico medio
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somma di N50 v.a. indipendentiuniformemente
distribuite su 0,1
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Verifica sperimentale del T-L.C. (6)
Esercizio proposto

• Generare NR105 realizzazioni della v.a. SN ,
  somma (normalizzata) di N variabili
  aleatorie IID, uniformi in 0,1, con N2, 5, 10
  e 50 istruzioni utili rand, sum
• Tracciare gli istogrammi normalizzati (uno per
  ogni valore di N) della v.a. SN e
  confrontarli con la ddp di una v.a. Gaussiana
  standard istruzioni utili hist, bar,
  normpdf, plot

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Esempio di file.m sommaunif.m
function eta,sigma sommaunif(N) calcolo
istogramma norm. della v.a. ZN, somma di N v.a.
uniformi IID e della ddp Gaussiana con stessa
media e dev. stand. della somma IN Nnumero
di v.a. uniformi ed indipendenti da sommare
OUT etamedia e sigmadeviazione standard della
v.a. ZN uscita su video di istogramma
normalizzato della v.a. ZN Nr105
numero di realizzazioni etaN1/2
calcolo media e dev. standard della v.a. ZN
, sigmasqrt(N1/12) somma di N v.a. uniformi
su 0,1 xrand(N,Nr) Znsum(x)
genera NR campioni della v.a. ZN n,ahist(Zn,100
)bar(a,n/Nr/(a(2)-a(1)))
istogramma normalizzato hold onplot(a,normpdf(a,e
ta,sigma),'r-') ddp Gaussiana
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Esempio di file.m sommarayl.m
function eta,sigma sommarayl(N) calcolo
istogramma norm. della v.a. ZN, somma di N v.a.
di Rayleigh IID e della ddp Gaussiana con
stessa media e dev. standard della somma IN
N numero di v.a. di Rayleigh indipendenti da
sommare OUT etamedia e sigmadeviazione
standard della v.a. ZN uscita su video di
istogramma normalizzato della v.a. ZN Nr105
numero di realizzazioni etaNsqrt
(pi/2)/sqrt(2)sigmasqrt(N(2-pi/2)/2) calcolo
media e dev. Stand. della v.a. ZN,
somma di N v.a. di Rayleigh
con parametro m (valor
quadratico medio) 1xrand(N,Nr)xsqrt(-log(x)
) trasformaz. ZMNL per ottenere la
v.a. di Rayleigh Znsum(x)
genera NR campioni della v.a. somma n,ahist(Zn,
100)bar(a,n/Nr/(a(2)-a(1)))
istogramma normalizzato hold onplot(a,normpdf(a,e
ta,sigma),'r-') ddp Gaussiana