Calcolo delle probabilit

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STATISTICHE DESCRITTIVE Parte II
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INDICI DI DISPERSIONE

• Introduzione agli Indici di Dispersione
• Gamma
• Differenza Interquartilica
• Varianza
• Deviazione Standard
• Coefficiente di Variazione

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introduzione

• Una distribuzione di dati contiene un insieme di
  informazioni complesse e di per se poco
  maneggevole.
• Il ricorso ad un indice di tendenza centrale
  comporta una forte semplificazione, e da solo non
  fornisce informazioni esaurienti sulla
  distribuzione.
• Occorre anche capire quanto i dati siano
  dispersi intorno allindice di tendenza centrale.

Esempio Consideriamo i risultati dei compiti di
Psicometria di tre diverse Facoltà Facoltà A
18, 22, 24, 16, 19, 22 , 18, 21 Facoltà B
10, 10, 12, 10, 30, 28 , 30, 30 Facoltà C
20, 20, 20, 20, 20, 20 , 20, 20 In ogni Facoltà
la media dei voti è pari a 20, ma è evidente una
diversa dispersione intorno a tale valore.
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gli indici di dispersione

• Gli indici che vedremo servono a misurare la
  dispersione (o variabilità) di una data
  distribuzione di dati. Per questo motivo vengono
  definiti come indici di dispersione o indici di
  variabilità.
• Gli indici di dispersione possono assumere solo
  valori positivi (non ha senso parlare di
  dispersione negativa) o nulli (nei casi in cui
  tutti i dati osservati sono uguali tra loro).

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la gamma
La gamma, detta anche campo di variazione, è la
differenza fra il valore massimo e quello minimo
dei dati.
Esempio I seguenti dati rappresentano le altezze
in centimetri dei giocatori di una squadra di
pallavolo. 188, 195, 198, 170, 185, 199 La
gamma di tale distribuzione sarà
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la differenza interquartilica
La differenza interquartilica, o range
interquartile, è data dalla differenza tra il
terzo e il primo quartile (o equivalentemente tra
il 75-esimo e il 25-esimo percentile) dei dati
Nota La differenza interquartilica, non tiene
conto dei valori estremi della distribuzione dei
dati, evitando così di considerare valori
anomali. Per questo motivo è considerata un
indice robusto.
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la varianza

• La varianza s2 di un insieme di dati è definita
  come la media degli scarti al quadrato tra i dati
  e la media dei dati stessi.
• Essa assume il valore minimo di 0 quando i dati
  sono tutti uguali tra loro e aumenta al crescere
  della variabilità dei dati.
• Le formule per il calcolo della varianza sono
  differenti a seconda che i dati siano o meno
  raggruppati in classi.

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formula per il calcolo della varianza- dati non
raggruppati
dove
è lo scarto tra li-esima unità statistica e la
media dei dati.
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formula ridotta per il calcolo della varianza-
dati non raggruppati
La varianza può essere anche calcolata attraverso
la seguente formula, che consente un calcolo più
agevole e veloce
varianza media dei quadrati -
quadrato della media
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Esempio1
Un ricercatore ha valutato la capacità
linguistiche di 10 bambini in età prescolare
ottenendo i dati sottoriportati. La capacità di
linguistica è qui indagata come numero di parole
non conosciute nella lettura di un testo da
Keppel, 1992. Calcolare la varianza dei dati,
sia con la formula generale che con quella
ridotta.
codice soggetto Numero parole non note
1 8
2 6
3 7
4 7
5 9
6 6
7 7
8 9
9 4
10 7
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Esempio2
Calcoliamo innanzi tutto la media dei dati
Utilizziamo ora la formula generale per il
calcolo della varianza
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Esempio3
Utilizziamo ora la formula ridotta. Per prima
cosa calcoliamo la media dei quadrati
Calcoliamo ora il quadrato della media
Infine utilizzando la formula ridotta per il
calcolo della varianza otteniamo
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formula per il calcolo della varianza- dati
raggruppati
dove
è la frequenza relativa delli-esima modalità
statistica.
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Esempio1
Calcolare la varianza dei dati dellesempio
precedente utilizzandoli in forma
raggruppata. Per prima cosa rappresentiamo i
dati in forma raggruppata
xi Parole sconosciute fi frequenze
4 1
6 2
7 4
8 1
9 2
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Esempio2
Ricordando che la media dei dati è pari a 7,
applichiamo la formula per il calcolo della
varianza per dati raggruppati
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formula per il calcolo della varianza- dati
raggruppati in classi
dove
è il valore centrale delli-esima classe di
frequenza.
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Esempio1
In unazienda veronese che produce occhiali sono
stati rilevati gli stipendi mensili dei 20
dipendenti
Stipendio mensile in Euro Frequenze
800 - 1200 10
1200 - 1600 5
1600 - 2000 3
2000 - 2400 2
Calcolare la media e la varianza di tali dati.
Nota gli intervalli di frequenza si intendono
del tipo primo valore incluso secondo valore
escluso.
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Esempio2
Calcoliamo la media dei dati
Calcoliamo ora la varianza di tali dati
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la deviazione standard
La deviazione standard (o scarto quadratico
medio) è la radice della varianza
Essa è molto utile in chiave interpretativa
perché, a differenza della varianza, è espressa
nella stessa unità di misura del fenomeno
studiato.
Esempio In campione di 20 soggetti è stata
rilevata la variabile peso. In tale campione la
media è pari a 70 Kg e la deviazione standard è
pari a 10.7. Si potrà affermare che i soggetti
differiscono mediamente di 10.7 Kg dal peso medio
di 70 Kg.
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il coefficiente di variazione1
Il coefficiente di variazione è dato dal rapporto
tra la deviazione standard e il valore assoluto
della media dei dati
Esso è un indice di variabilità relativa, che
tiene conto oltre che della deviazione standard
dei dati anche della media. Per questo motivo è
molto utile per eseguire dei confronti in termini
di variabilità tra fenomeni diversi tra loro.
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il coefficiente di variazione2
Esempio Nel reparto di ginecologia e ostetricia
di un ospedale è stato rilevato il peso di un
campione di 80 neonati maschi e
contemporaneamente il peso dei rispettivi papà. I
dati ottenuti sono espressi nella seguente
tabella
gruppo media deviazione standard
neonati 3.4 Kg 0.8
papà 82 Kg 15
Ci si chiede se, rispetto alla variabile peso,
esiste più variabilità nel gruppo dei neonati o
in quello dei papà.
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il coefficiente di variazione3
Naturalmente confrontare le deviazioni standard
non è di grande aiuto. Esse dipendono fortemente
dalle media dei dati su cui sono state
calcolate. Per poter operare un confronto sulla
variabilità dei due gruppi è opportuno calcolare
i rispettivi coefficienti di variazione
Osservando i risultati si può concludere che il
gruppo dei bambini presenta una maggiore
variabilità rispetto a quella del gruppo dei papà.
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il coefficiente di variazione3

• In conclusione, vediamo alcuni valori particolari
  del CV che possono essere utili nello studio di
  una distribuzione di dati
• CV 0 , in questo caso la deviazione standard è
  pari a 0. Tutti i dati sono uguali tra loro e la
  media può essere considerata come un indice
  perfetto per rappresentarli.
• CV 0.5 , in questo caso la deviazione standard
  è più della metà della media. La media, in questo
  caso, non può essere considerata un buon indice
  per rappresentare i dati.
• CV 0.5 , in questo caso la deviazione standard
  è meno della metà della media. La media, in
  questo caso, può essere considerata un buon
  indice per rappresentare i dati.