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CURSO DE ADAPTACI

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CURSO DE ADAPTACI N EN MATERIAS B SICAS ELEMENTOS DE MATEM TICAS CURSO 2007-2008 Bibliograf a til Lenguaje y razonamiento matem tico Teor a de conjuntos ... – PowerPoint PPT presentation

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Title: CURSO DE ADAPTACI


1
CURSO DE ADAPTACIÓN EN MATERIAS BÁSICAS
  • ELEMENTOS DE MATEMÁTICAS
  • CURSO 2007-2008

2
Bibliografía útil
www.sectormatematica.cl/ librosmat/Libro20Matemat
icas.pdf
www.hiru.com/matematika
http//personales.unican.es/gonzaleof/
3
Perhaps I can best describe my experience of
doing mathematics in terms of a journey through a
dark unexplored mansion. You enter the first room
of the mansion and its completely dark. You
stumble around bumping into the furniture but
gradually you learn where each piece of furniture
is. Finally, after six months or so, you find the
light switch, you turn it on, and suddenly its
all illuminated. You can see exactly where you
were. Then you move into the next room and spend
another six months in the dark. So each of these
breakthroughs, while sometimes they're momentary,
sometimes over a period of a day or two, they are
the culmination of, and couldn't exist without,
the many months of stumbling around in the dark
that proceed them.
Andrew Wiles
4
Lenguaje y razonamiento matemático
El lenguaje matemático es, necesariamente, muy
preciso, y esa precisión obliga al
establecimiento de ciertas convenciones que en
ocasiones chocan un tanto con el lenguaje
natural. También es conocida por todos la
conveniencia de una cierta economía a la hora de
expresarse matemáticamente. Esto nos conduce
necesariamente a la adopción de ciertos
simbolismos con los que nos hemos de familiarizar
para poder enfrentarnos con éxito al estudio de
las matemáticas.
5
  • Los conectores lógicos
  • Negación de una expresión con cuantificadores
  • La demostración en matemáticas
  • Métodos de demostración

Demostración directa
Demostración por reducción al absurdo
Demostración por inducción

6
Teoría de conjuntos
En la vida cotidiana, la idea de conjunto es muy
intuitiva y aparece en multitud de ejemplos. Sin
embargo, en matemáticas, el concepto de conjunto
es bastante más delicado de lo que es en la vida
diaria, como prueba el hecho de que
históricamente ha producido numerosas
dificultades y paradojas, las cuales han sido
resueltas por algunos matemáticos en los siglos
XIX y XX empleando el método axiomático.
7
x pertenece a A
Conjunto es una colección de objetos bien
definidos. Estos objetos de llaman elementos del
conjunto.
x no pertenece a A
Un conjunto puede definirse
  • Por extensión

enumerando sus elementos
  • Por comprensión

dando una propiedad característica
Conjunto definido por extensión
Conjunto definido por comprensión
Diagramas de Venn
8
Unión de conjuntos
Intersección de conjuntos
Conjuntos disjuntos
A
B
9
Complementario de un conjunto
A
Diferencia de dos conjuntos
Producto cartesiano de dos conjuntos
10
Aplicaciones
El concepto de aplicación -que es un caso
particular de otro más general, el de
correspondencia- es básico para la teoría de
conjuntos y se basa en los conceptos de par
ordenado y producto cartesiano. Ejemplos clásicos
de correspondencias y aplicaciones son las
funciones reales de variable real que repasaremos
en otro capítulo. En este capítulo definiremos
los principales tipos de aplicaciones
inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Además
hablaremos de la composición de aplicaciones, que
nos ayudará a caracterizar las aplicaciones
biyectivas y a introducir el concepto de inversa
de una aplicación biyectiva.
11
Aplicación entre dos conjuntos A y B es una regla
que hace corresponder a todos y cada uno de los
elementos del conjunto A un único elemento bien
definido del conjunto B.
y único
dominio
conjunto final
imagen de x por f
antiimagen de y por f
La imagen es única
Un elemento de B puede tener más de una antiimagen
12
Aplicación inyectiva
Aplicación sobreyectiva
Aplicación biyectiva
Aplicación inyectiva y sobreyectiva
x único
13
Composición de aplicaciones
La composición de aplicaciones no es, en general,
conmutativa.
Inversa de una aplicación biyectiva
con
14
Números reales
En este capítulo trataremos algunas cuestiones
de gran interés relacionadas fundamentalmente con
el conjunto de los números reales. Nos
centraremos en los conceptos de valor absoluto de
un número real, hablaremos de las desigualdades y
sus propiedades y recordaremos cómo resolver
inecuaciones.
15
  • Intervalos
  • Valor absoluto de un número real
  • Algunas propiedades del valor absoluto
  • Algunas preguntas

Cuánto vale el valor absoluto del número ?3?
Y el de ?a, con a un número real?
Conoces alguna otra definición de valor absoluto?
16
RESOLVIENDO ECUACIONES
  • Ecuaciones lineales
  • Ecuaciones de segundo grado
  • Ecuaciones polinómicas de grado mayor que 2

Regla de Ruffini
División de polinomios
  • Ecuaciones con raíces

Soluciones?
  • Ecuaciones exponenciales

Soluciones?
  • Ecuaciones logarítmicas

Soluciones?
17
INECUACIONES
  • Desigualdades propiedades
  • Un ejercicio. Resolver la inecuación
  • Desigualdades con valor absoluto

18
Regla de Ruffini
La regla de Ruffini es un procedimiento
esquemático para hallar el cociente y el resto de
la división de un polinomio cualquiera por otro
de la forma x ? a.
Dividir p(x)?2x4?3x3?5x2?6x?10 entre x?2.
Disponer los coeficientes del polinomio p(x) del
modo siguiente
19
Binomio de Newton
Números combinatorios
Triángulo de Tartaglia
20
Matrices y determinantes
En este capítulo introducimos las matrices y las
operaciones con matrices, pues constituyen el
lenguaje adecuado para abordar muchas cuestiones
de naturaleza lineal. Entre estas, la más
elemental es la discusión de sistemas de
ecuaciones lineales.
21
Una matriz es una disposición rectangular de
números entre paréntesis (o corchetes).
Suma de matrices
Producto de una matriz por un escalar
Traspuesta de una matriz
Producto de matrices
Multiplicar la fila i de A por la columna j de B
Multiplicar la fila i de A por la columna j de B
22
Sólo para matrices cuadradas de orden n
  • Si n 1, det A se identifica con el único
    escalar que contiene la matriz.
  • Si n gt 1, fijada la fila i

Determinante de una matriz cuadrada de orden dos
Determinante de una matriz cuadrada de orden tres
Regla de Sarrus
23
Utilizar operaciones elementales de fila o
columna sobre la matriz cuadrada A para
simplificar el cálculo del determinante de A
1.
El intercambio de dos filas (o columnas) de una
matriz cuadrada cambia de signo su determinante.
2.
Si una fila (o columna) de una matriz cuadrada es
multiplicada por un escalar, el determinante de
la matriz cuadrada queda multiplicado por dicho
escalar.
3.
Si a una fila (o columna) de una matriz cuadrada
se le añade otra fila (o columna) multiplicada
por un escalar cualquiera, no cambia el valor del
determinante.
24
Es conmutativo el producto de matrices?
NO
El producto de matrices no es necesariamente
conmutativo.
25
MÉTODO DE GAUSS
Matriz escalonada
Operaciones elementales de fila
TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS
1.
2.
3.
26
Sólo para matrices cuadradas de orden n
  • Matrices invertibles o matrices regulares si y
    sólo si su determinante es no nulo.
  • Matrices no invertibles o matrices singulares si
    y sólo si su determinante es cero.

Operaciones elementales de fila
Potencias naturales de una matriz cuadrada
27
Secciones cónicas
Consideremos ecuaciones de la forma donde A,
B, C, D y E son constantes y A y B no son ambas
0. La gráfica de una ecuación de este tipo es, en
general, una sección cónica (con los ejes
paralelos a los ejes coordenados) es decir una
circunferencia, una elipse, una parábola o una
hipérbola. Decimos en general porque hay casos
especiales. Por ejemplo, la gráfica de x2?y20 es
un punto, (0,0), o podría no existir ninguna
gráfica no hay pares ordenados (x,y) que
satisfagan la ecuación x2?y2?10.
28
Círculo
Elipse
y
y
x
x
29
Parábola
30
Hipérbola
31
Límites y continuidad
Podríamos empezar diciendo que los límites son
importantes en el cálculo, pero afirmar tal cosa
sería infravalorar largamente su auténtica
importancia. Sin límites el cálculo sencillamente
no existiría. Cualquier noción del cálculo es un
límite en uno u otro sentido
Qué es la velocidad instantánea? Es el límite de
las velocidades medias.
Qué es la pendiente de una curva? Es el límite
de las pendientes de las rectas secantes.
Qué es la longitud de una curva? Es el límite de
los caminos poligonales.
Qué es la suma de una serie infinita? Es el
límite de las sumas finitas.
Qué es el área de una región limitada por
curvas? Es el límite de la suma de las áreas de
las regiones delimitadas por segmentos de rectas
poligonales.
32
Idea intuitiva de límite
Empezamos con un número c y una función f
definida cerca de c aunque no necesariamente en
el mismo c. El número L es el límite de f
cuando x se aproxima a c, y se escribe si y
sólo si los valores de la función f(x) se
aproximan (tienden) a L cuando x se aproxima
a c.
33
Consideremos la función
x f(x)
1.9 2.61
1.99 2.9601
1.999 2.996001
1.9999 2.99960001
2.0001 3.00040001
2.001 3.004001
2.01 3.0401
2. 1 3.41
Cuando x se aproxima a 2, tanto por la izquierda
como por la derecha, tomando valores menores o
mayores que 2,  f(x) se aproxima, tiende, cada
vez más a 3.
34
Consideremos la función
Esta función no está definida en x?1, sin embargo
vamos a estudiar su comportamiento en los
alrededores de x?1.
Límites laterales
35
También podemos hablar de límites infinitos y
límites en el infinito.
36
Continuidad
En el lenguaje coloquial, decir que algo es
continuo equivale a decir que transcurre sin
interrupción y sin cambios abruptos. En el
lenguaje matemático, la palabra continuo tiene,
en gran parte, el mismo significado.
La idea básica es la siguiente supongamos dados
una función f y un número c. Se calculan
(cuando sea posible) los valores
y se comparan los resultados. La función f es
continua en c si y sólo si estos dos valores
coinciden
37
OBSERVACIÓN.- Recordar que en la definición de
límite de f en c no exigimos que f
estuviera definida en el propio c. Por el
contrario, la definición de continuidad en c
requiere que f esté definida en c. Así, de
acuerdo con esta definición, una función f es
continua en un punto si y sólo si
  1. f está definida en c
  2. existe,

Se dice que una función f es discontinua en c
si no es continua en ese punto.
38
Si el dominio de f contiene un intervalo (c?p
, c?p), p gt 0 (de manera que f está definida en
c), entonces f sólo puede dejar de ser continua
en c por una de las dos razones siguientes
Discontinuidad de salto

Discontinuidad infinita
.
Discontinuidad evitable
39
Diferenciación
El concepto de derivada de una función matemática
se halla íntimamente relacionado con la noción de
límite. Así, la derivada se entiende como la
variación que experimenta la función de forma
instantánea, es decir, entre cada dos puntos de
su dominio suficientemente próximos entre sí. La
idea de instantaneidad que transmite la derivada
posee múltiples aplicaciones en la descripción de
los fenómenos científicos, tanto naturales como
sociales.
40
Consideremos una función f y elijamos un punto
en su gráfica. Qué recta, si existe, debería
llamarse tangente a la gráfica en ese punto?
Rectas secantes que pasan por los puntos (x,f(x))
y (xh,f(xh)) con hgt0 y h pequeños
Pendientes de las rectas secantes?
Cuál es la pendiente de la recta tangente?
Cuál es la ecuación de la recta tangente?
41
  • Derivada de la suma
  • Derivada de una constante por una función
  • Derivada de un producto de funciones
  • Derivada de un cociente de funciones
  • Regla de la cadena

42
TABLA DE DERIVADAS
43
TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES
Teorema de Rolle
Sea f una función tal que
  1. f es continua en a,b
  2. f es derivable en (a,b)
  3. f(a)?f(b)

Entonces existe al menos un punto c en (a,b) tal
que
44
TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES
Teorema del valor medio
Sea f una función tal que
  1. f es continua en a,b
  2. f es derivable en (a,b)

Entonces existe al menos un punto c en (a,b) tal
que
45
Cómo hallar todos los valores extremos de una
función continua?
1.
Hallar todos los puntos críticos.
  • Los puntos extremos del dominio (si los hay).
  • Puntos interiores para los que la primera
    derivada no existe o vale cero.

2.
Examinar los puntos extremos del dominio
comprobando el signo de la derivada primera en su
proximidad.
3.
Examinar cada punto crítico interior comprobando
el signo de la derivada primera a ambos lados del
punto (criterio de la derivada primera) o el
signo de la derivada segunda en el punto
(criterio de la derivada segunda).
46
Integración
Desde su origen, la noción de integral ha
respondido a necesidades geométricas como el
cálculo de áreas y volúmenes. La técnica de
integración se desarrolló sobre todo a partir del
siglo XVII, paralelamente a los avances que
tuvieron lugar en las teorías sobre derivadas y
en el cálculo diferencial. La idea de la
integral indefinida supuso un paso más en el
camino de la abstracción emprendido por las
matemáticas modernas. La integral (indefinida)
asume la condición de función en sí, susceptible
de formar parte de ecuaciones y descripciones de
modelos en el gran marco de las teorías del
análisis matemático.
47
Integral definida interpretación geométrica
Ya estamos familiarizados con las fórmulas de
áreas de figuras geométricas regulares tales como
rectángulos, triángulos y circunferencias. En la
figura adjunta hemos representado una región ?
limitada en su parte superior por la gráfica de
una función continua no negativa f, en su parte
inferior por el eje x, a la izquierda por la
recta x?a y a la derecha por la recta x?b. El
problema que nos planteamos es el siguiente Qué
número, si lo hubiese, puede ser considerado como
el área de ??
a
b
48
Integral definida
El símbolo de la integral fue introducido por
Leibniz. En realidad es la S de suma estirada.
Los números a y b se denominan límites de
integración (a es el límite inferior y b es el
límite superior). La letra x es una variable
muda en otras palabras, puede ser sustituida
por cualquier otra letra no utilizada hasta el
momento. Así, por ejemplo, no existe ninguna
diferencia entre
49
Integral indefinida
La constante C se denomina constante de
integración es una constante arbitraria porque
se le puede asignar cualquier valor real.
La integral indefinida de una función f es
realmente una familia de funciones. Sin embargo,
la integral definida es un número.
Si f es continua en a,b y F es una antiderivada
de f en a,b, se verifica que
Regla deBarrow
50
TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
51
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Integración por partes
Se trata de expresar la función que queremos
integrar como producto de otras dos, de manera
que
  • Una de ellas sea la derivada de otra ya
    conocida, es decir, podamos escribir nuestro
    integrando de la forma udv.
  • La integral de vdu sea más fácil que la de udv.

Sustitución. Cambio de variable
Cómo saber cuál es el cambio de variable
adecuado? Desgraciadamente no hay una respuesta
mágica que conteste a la pregunta. A veces,
tendremos que probar varios cambios de variable
hasta conseguir uno bueno. Con la práctica iremos
adquiriendo mejor intuición. Como norma general,
el cambio de variable nos tiene que servir para
simplificar la función, para eliminar algo
molesto.
52
Y además
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Conviene dar algunas otras pautas para
simplificar el trabajo del cálculo de primitivas
  • Funciones racionales

Dividir, si es necesario, los polinomios.
1.
2.
Factorizar el denominador.
3.
Expresar la función racional como suma de
fracciones simples.
4.
Integrar cada fracción simple.
  • Funciones trigonométricas

Un método que siempre funciona es realizar el
denominado cambio universal
Aunque en determinadas situaciones se pueden
utilizar otras técnicas o realizar otros cambios
de variable más sencillos.
  • Funciones irracionales.

53
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
  • Cálculo de áreas de figuras planas. (Secciones
    cónicas).
  • Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución.
  • Cálculo de volúmenes.
  • Cálculo de longitud de arco de curva.
  • Cálculo de áreas de superficies de revolución.
  • Cálculo de densidad y centros de masa, velocidad
    y trabajo.
  • Cálculo de densidad de probabilidad. Medias.

54
Funciones elementales
En este capítulo repasamos las funciones
elementales polinómicas, exponencial,
logarítmica, trigonométricas y trigonométricas
inversas. Utilizaremos la representación gráfica
de estas funciones para recordar los aspectos más
relevantes de las mismas dominio, recorrido,
continuidad, diferenciabilidad, asíntotas,
55
Representación gráfica de la gráfica de la
inversa de una función biyectiva
Existe una relación muy interesante entre la
gráfica de una función biyectiva y la gráfica de
su función inversa (que sabemos existe). Cada
gráfica es la imagen especular de la otra
desempeñando el papel de espejo la recta y?x. En
lugar de dar una definición formal, vamos a
fijarnos en la figura adjunta. Como se sabe, la
gráfica de la función f consta de puntos de la
forma (x,f(x)). Puesto que f?1 tiene el valor x
en f(x), la gráfica de f?1 está constituida por
puntos de la forma (f(x),x). Tales puntos,
(x,f(x)) y (f(x),x) son vértices opuestos del
cuadrado sombreado.
(f(x),x)
(x,f(x))
56
  • Dominio
  • Recorrido
  • Continuidad

SI
  • Diferenciabilidad

SI
  • Simetría

SI
Respecto del eje vertical
  • Asíntotas

NO
57
  • Dominio
  • Recorrido
  • Continuidad

SI
  • Diferenciabilidad

SI
  • Simetría

SI
Respecto del origen de coordenadas
  • Asíntotas

NO
58
  • Dominio
  • Recorrido
  • Continuidad

SI
  • Diferenciabilidad

SI
  • Simetría

NO
  • Asíntotas

SI
Asíntota horizontal
(0,1)
59
  • Dominio
  • Recorrido
  • Continuidad

SI
  • Diferenciabilidad

SI
  • Simetría

NO
  • Asíntotas

SI
(1,0)
Asíntota vertical
60
  • Dominio
  • Recorrido
  • Continuidad

SI
(??2,1)
  • Diferenciabilidad

SI
  • Simetría

SI
Respecto del origen de coordenadas
(?,0)
(2?,0)
  • Asíntotas

NO
  • Periodicidad

(3??2,?1)
Periódica de período 2?
61
  • Dominio
  • Recorrido
  • Continuidad

SI
(?,1)
(2?,1)
  • Diferenciabilidad

SI
(??2,0)
  • Simetría

SI
Respecto del eje vertical
(3??2,0)
  • Asíntotas

NO
  • Periodicidad

Periódica de período 2?
62
  • Dominio
  • Recorrido
  • Continuidad

Discontinuidades infinitas en los puntos
También se dice que es continua en su dominio
  • Diferenciabilidad

Diferenciable en su dominio
  • Simetría

SI
Respecto del origen de coordenadas
  • Asíntotas

SI
Asíntotas verticales
  • Periodicidad

Periódica de período ?
63
  • Dominio
  • Recorrido

??2
  • Continuidad

SI
  • Diferenciabilidad

Diferenciable en
  • Simetría

SI
?1
Respecto del origen de coordenadas
1
  • Asíntotas

NO
? ??2
64
  • Dominio

?
  • Recorrido
  • Continuidad

SI
  • Diferenciabilidad

??2
Diferenciable en
  • Simetría

SI
Respecto al punto (0,??2)
  • Asíntotas

NO
?1
1
65
  • Dominio
  • Recorrido

??2
  • Continuidad

SI
  • Diferenciabilidad

SI
  • Simetría

SI
  • Asíntotas

SI
Asíntotas horizontales
? ??2
66
Números complejos
En la resolución de ecuaciones algebraicas de
segundo grado o de orden superior, con frecuencia
aparecen casos en que las soluciones contienen
radicales de números negativos. Esta operación de
radicación produce un resultado que no pertenece
al conjunto de los números reales. Ecuaciones de
expresiones tan sencillas como x2?1?0, no tienen
soluciones reales. Por esta razón se ideó un
nuevo conjunto que se bautizó como el conjunto de
los números complejos.
67
CÓMO ESCRIBIR UN NÚMERO COMPLEJO
(a,b)
b
Forma cartesiana
a
Identificamos un número complejo con un punto del
plano
Forma binómica
Donde a es la parte real, b la parte imaginaria e
i la unidad imaginaria
Forma polar
Donde r es el módulo del número complejo y ? es
el ángulo que forma el semieje positivo con la
semirrecta que une el origen con el número
Forma trigonométrica
68
CÓMO CALCULAR EL MÓDULO Y EL ARGUMENTO DE NÚMERO
COMPLEJO
El módulo r de un número complejo cuya forma
binómica es a?bi se calcula del modo siguiente
El argumento principal ? de un número complejo
cuya forma binómica es a?bi se calcula del modo
siguiente
  • Si está en el primer cuadrante
  • Si está en el segundo cuadrante
  • Si está en el tercer cuadrante
  • Si está en el cuarto cuadrante

69
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
Conjugado de un número complejo
Suma
En forma cartesiana o binómica se suman las
partes reales e imaginarias
Producto
En forma cartesiana o binómica
En forma polar se multiplican los módulos y se
suman los argumentos
Cociente
En forma cartesiana o binómica multiplicar y
dividir por el conjugado del denominador
En forma polar se dividen los módulos y se
restan los argumentos
70
Fórmula de De Moivre
Raíces de un número complejo
Si z es un número complejo y n un número natural,
decimos que w es una raíz n-ésima de z si
Dado z un número complejo no nulo, existen
exactamente n raíces n-ésimas de z
71
Estadística y probabilidad
La Estadística es una disciplina que utiliza
recursos matemáticos para organizar y resumir una
gran cantidad de datos obtenidos de la realidad,
e inferir conclusiones respecto de ellos. La
estadística puede aplicarse a cualquier ámbito de
la realidad, y por ello es utilizada en física,
química, biología, medicina, astronomía,
psicología, sociología, lingüística, demografía,
etc.
72
Muchos personas ven la Estadística con una gran
desconfianza para unos es la ciencia en la que
las diferencias individuales quedan ocultas a
través de las medias, que se traduce en el dicho
popular
La Estadística es la ciencia que explica cómo si
tú te comes dos pollos y yo ninguno, nos hemos
comido uno cada uno por término medio
y en la famosa frase de Bernard Shaw
Si un hombre tiene la cabeza en un horno y los
pies en una nevera, su cuerpo está a una
temperatura ideal
para otros es la ciencia mediante la cual con
gráficos, tasas de variación y porcentajes, se
manipula la opinión desde la publicidad, la
tecnología o la economía. Vivimos en la era de la
Estadística y cada aspecto de la actividad humana
es medido e interpretado en términos estadísticos.
73
Podemos definir la Estadística como la ciencia
que tiene como objetivo procesar datos. La
Estadística recoge, clasifica, analiza e
interpreta datos.
La Estadística suele aplicarse a dos tipos de
problemas
  • resumir y describir datos
  • utilizar datos de una muestra para inferir la
    naturaleza del conjunto de datos del que se
    escogió la muestra (población).

En la terminología estadística, el conjunto de
datos que deseamos describir, el que caracteriza
un fenómeno que nos interesa, se denomina
población. Una muestra es un subconjunto de
datos seleccionados de una población y que, en
cierto sentido, representa a la población.
74
Es frecuente que, por razones técnicas o
económicas, no sea posible estudiar todos los
elementos de una población. Por ejemplo, si para
determinar la resistencia de un elemento es
necesario una prueba destructiva, y disponemos de
una partida de elementos cuya resistencia se
quiere determinar, tendremos que tomar una
muestra para no destruir la partida entera.
Análogamente, se acude a una muestra para conocer
la opinión de la población antes de las
elecciones, para estudiar la rentabilidad de un
proceso de fabricación o la relación entre el
consumo y la renta.
La Estadística se utiliza para elegir una muestra
representativa y para hacer inferencias respecto
a la población a partir de lo observado en la
muestra.
75
Los estadísticos se basan en tres disciplinas que
están estrechamente relacionadas
  • El análisis de datos, la recopilación,
    organización y resumen de los datos. (Estadística
    Descriptiva)
  • La probabilidad, las leyes del azar dentro y
    fuera del casino. (Probabilidad)
  • La inferencia estadística, la ciencia que extrae
    conclusiones estadísticas a partir de datos
    concretos basándose en el cálculo de
    probabilidades. (Estadística Inferencial)

76
Propiedades características de la probabilidad
  • la
    probabilidad no es negativa

la probabilidad total de los resultados
elementales es 1

Regla de Laplace
Una buena comprensión de los conceptos y
operaciones básicas de la teoría de conjuntos
facilita notablemente el estudio de la teoría de
la probabilidad.
77
Resolución de triángulos
Resolver un triángulo significa determinar a
partir de algunos de sus elementos (ángulos y
lados) los restantes ángulos y lados así como su
perímetro y su área. Las técnicas básicas de
resolución de triángulos aún hoy aplicadas eran
ya conocidas por los matemáticos y filósofos de
las civilizaciones clásicas (China, Mesopotamia,
Egipto, Grecia).
78
CÓMO RESOLVER UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
C
a
b
Resolver un triángulo rectángulo es muy sencillo,
basta con conocer un lado y un ángulo, o bien dos
lados.
A
B
Necesitamos saber
c
El principio de que la suma de los dos ángulos no
rectos es igual a 90º.
Teorema de Pitágoras
Las razones trigonométricas siguientes
79
CÓMO RESOLVER UN TRIÁNGULO NO RECTÁNGULO
B
c
a
h
A
C
b
Para resolver un triángulo no rectángulo basta
con conocer tres de sus datos, salvo si se trata
de sus tres ángulos
Dos de los lados y el ángulo comprendido entre
ellos.
Los tres lados.
Uno de los lados y dos de los ángulos.
Dos de los lados y el ángulo opuesto a uno de
ellos.
80
Las herramientos que necesitamos son
El principio de que la suma de los tres ángulos
es igual a 180º.
El teorema del seno
En cualquier triángulo la proporción entre el
valor de cada lado y el seno del ángulo opuesto
es constante.
Sirve para calcular el valor del tercer lado de
un triángulo cuando se conocen los otros dos y el
del ángulo opuesto.
El teorema del coseno
Las fórmulas del cálculo del área de un triángulo
p semiperímetro del triángulo. r radio de la
circunferencia inscrita
El teorema de la tangente
81
Programación lineal
La programación lineal es una técnica matemática
relativamente reciente, del siglo XX, que
consiste en una serie de métodos y procedimientos
que permiten resolver problemas de optimización
en el ámbito, sobre todo, de las Ciencias
Sociales. Nos centraremos en este tema en
aquellos problemas simples de programación
lineal, los que tienen sólamente 2 variables,
problemas bidimensionales.
82
Una inecuación en el plano viene dada por una
desigualdad del tipo
o
y la solución corresponde a un semiplano.
La recta de ecuación
divide al plano en dos semiplanos. Para saber
cual de los dos se corresponde con la solución de
la desigualdad basta con escoger un punto que no
esté en la recta. Si para ese punto se cumple la
desigualdad el semiplano solución es el
correspondiente al punto.
83
Ejercicio.- Representar gráficamente la región
del plano representada por las desigualdades
REGIÓN FACTIBLE
Representar las rectas en el plano.
1.-
2.-
Hallar los puntos de corte entre las rectas.
3.-
Sombrear la región que tienen en común las tres
desigualdades.
La solución de un sistema de inecuaciones
lineales en el plano, se corresponde con una
región convexa del plano se denomina región
factible.
84
FORMULACIÓN GENERAL DE UN PROBLEMA DE PROGRAMCIÓN
LINEAL
En un problema de programación lineal intervienen
La función que queremos optimizar y que
denominamos función objetivo.
Las variables de decisión son x e y, mientras
que a, b y c son constantes.
Las restricciones que son inecuaciones lineales.
Al conjunto de todos los pares (x , y) que
satisfacen todas las inecuaciones se denomina
región factible.
La solución óptima del problema es un par (x0 ,
y0) del conjunto factible para el cual la función
objetivo z(x , y) toma el valor máximo o mínimo.
85
Se denomina teorema de la programación lineal al
siguiente resultado
Teorema de la programación lineal
Dado el problema de optimización de la función
con restricciones lineales
Si la función objetivo tiene un máximo o un
mínimo, éstos se alcanzarán en alguno de los
vértices de la región factible.
86
Ejercicio.- Hallar los valores máximo y mínimo de
la función F(x,y)xy en la región representada
por las desigualdades
Representar la región factible.
1.-
Se puede proceder de dos formas diferentes
Representar una línea de nivel.
2.-
Una línea de nivel es cualquier recta de la forma
z(x,y)cte, donde z(x,y) es la función objetivo.
3.-
Para obtener el máximo hay que desplazar la línea
de nivel en la dirección perpendicular
,
siendo la función objetivo z(x,y)axby.
4.-
Para obtener el mínimo hay que desplazar la línea
de nivel en la dirección perpendicular
.
87
Ejercicio.- Hallar los valores máximo y mínimo de
la función F(x,y)xy en la región representada
por las desigualdades
Representar la región factible.
1.-
También podemos proceder del modo siguiente
Evaluar la función objetivo en los vértices de la
región factible.
2.-
3.-
El máximo se alcanza en el vértice de la región
factible para el cual la función objetivo toma el
valor mayor.
4.-
El mínimo se alcanza en el vértice de la región
factible para el cual la función objetivo toma el
valor menor.
88
Factorizar los polinomios del numerador y del
denominador
1.
Simplificar la expresión
2.
Construir un cuadro de variación de los signos de
cada factor
3.
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