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Deutschland, ein Sommerm

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Title: Deutschland, ein Sommerm rchen Benno Grabinger, Neustadt/Weinstrasse, www.bennograbinger.de Author: Benno Grabinger Last modified by – PowerPoint PPT presentation

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Transcript and Presenter's Notes

Title: Deutschland, ein Sommerm


1
Deutschland, ein Sommermärchen 4. T3-Konferenz
Universität Mainz, 2.3.-3.3.2007 Benno
Grabinger, Neustadt/Weinstrasse,
www.bennograbinger.de
  • Optimale Schusswinkel, Zufallsprozesse, Prognosen

2
Wie alles begann
  • 9. Juni, München Aus dem Hintergrund müsste Lahm
    schießen... Lahm schießt. Das Eröffnungsspiel
    Deutschland Costa Rica ist gut fünf Minuten
    alt. Sekundenbruchteile später schlägt der Ball
    rechts oben im Winkel ein. Deutschland hat einen
    neuen Lieblingsspieler.

3
(No Transcript)
4
Wie schwer ist es aus dieser Position ein Tor zu
schießen?
5
  • Augsburg - Anhand von 146 Toren der WM 2006 hat
    der Augsburger Sportwissenschaftler Martin Lames
    das Phänomen Zufall analysiert.
  • Als Beispiel für ein typisches Zufallstor nennt
    Lames das erste WM-Tor des deutschen Verteidigers
    Philipp Lahm.

6
  • "Alle haben gesehen, dass das herrliche erste
    Tor bei der WM durch Philipp Lahm vom Pfosten ins
    Tor prallte, was alleine schon recht glücklich
    war, aber dass der Ball zum Torschützen ein
    gegnerischer Fehlpass war, belegt zusätzlich,
    dass es sich um ein so nicht geplantes und auch
    nicht planbares Tor handelte". (tso/ddp)

7
  • Breite des Tors 7,32 m
  • Anstand x von der Torauslinie x 16 m
  • Abstand y von der x-Achse y -(16 m
    7,32/2 m) -19,66 m

8
Probleme
  • Wie groß ist der Einschusswinkel von der Stelle
    P(16/19,66) aus? Wie groß ist er vom
    Elfmeterpunkt aus?
  • Wie hängt der Einschusswinkel von der Lage des
    Punktes P(x/y) ab?
  • Von welchen Spielfeldpunkten aus ist der
    Einschusswinkel ebenso groß wie vom Elfmeterpunkt
    aus?
  • Wenn y19,66 konstant ist, für welchen Wert von
    x findet man das Maximum des Einschusswinkels?
  • Auf welcher Kurve liegen die Maxima der
    Schusswinkel bei Variation von y?

Teil I Problemlösung durch Konstruktion Teil
II Problemlösung durch Rechnung
9
Teil I
  • Wie groß ist der Einschusswinkel von der
    Stelle P(16/19,66) aus?
  • Wie groß ist der Einschusswinkel vom
    Elfmeterpunkt aus?

10
Schusswinkel von Phillip Lahm
11
Schusswinkel vom Elfmeterpunkt aus
Der Schusswinkel vom Elfmeterpunkt aus ist mehr
als dreimal so groß wie der bei dem Tor von Lahm!
12
Wo finden sich alle Punkte des Spielfeldes von
denen aus der Schusswinkel denselben festen Wert
hat?
13
Wo finden sich alle Punkte des Spielfeldes von
denen aus der Schusswinkel denselben festen Wert
hat?
Sieht nach einem Kreis aus! Begründung?
14
Umfangwinkelsatz Umfangswinkel zur selben
Kreissehne sind gleich groß. (Die Winkel müssen
auf derselben Seite der Sehne liegen.) Jeder
Umfangswinkel ist halb so groß wie der
zugehörigeMittelpunktswinkel.
15
Demonstration des Umfangwinkelsatzes
Anwendung Punkte, die zu gleichen
Einschusswinkeln gehören, liegen auf einem Kreis
der durch die Torpfosten geht.
16
Zusammenhang Gleicher Schusswinkel und Kreis
17
Änderung des Schusswinkels für konstantes y
Der Einschusswinkel besitzt auf Parallelen zur
x-Achse ein Maximum. Das ist für einen Stürmer
beim Torschuss wichtig!
Lange Rechenzeiten auf dem Handheld!
18
Maximale Schusswinkel
Der Einschusswinkel besitzt auf Parallelen zur
x-Achse ein Maximum.
Von welcher Stelle aus soll der Stürmer
schießen? Wie findet man elementargeometrisch
das Maximum des Schusswinkels?
19
Maximale Schusswinkel
Der maximale Schusswinkel gehört zu dem Kreis, an
den die Parallele zur x-Achse (längs der gelaufen
wird), Tangente ist!
20
Zeichnerische Bestimmung der x-Koordinaten die
zu dem Punkt mit maximalem Schusswinkel gehört.
Beispiel Gesucht ist der Punkt mit max.
Schusswinkel auf der Geraden y-19.66 Konstruiere
einen Kreis um den Torpfosten A mit Radius 19.66.
Die x-Koordinate des Schnittpunktes dieses
Kreises mit der x-Achse ist gleich der
x-Koordinate des Punktes mit max. Schusswinkel.
Der gesuchte Punkt ist (19,3 / -19,66)
Der gesuchte Punkt ist (19,3 / -19,66)
21
Auf welcher Kurve liegen die Maxima wenn y
variiert?
22
Teil II Rechnerische Bearbeitung der zuvor
behandelten Probleme
  • Wie hängt der Einschusswinkel von der Lage des
    Punktes P(x/y) ab?

Die Betragstriche kann man weglassen da sich für
positive y-Werte dieselben Winkel ergeben
23
Abhängigkeit des Schusswinkels von der Position
auf dem Spielfeld durch Rechnung
24
Schusswinkel über dem Spielfeld aufgetragen
25
Bestimmung des maximalen Schusswinkels mit Hilfe
der Differenzialrechnung
26
Rechnerische Bestimmung der Kurve der Maxima
27
Die Rolle des Zufalls
http//science.orf.at/science/news/144631
28
(No Transcript)
29
  • Fußball Tore oft purer Zufall Das Ergebnis eines
    Fußballspiels ist oft reiner Zufall und die
    Wahrscheinlichkeit, dass eine schlechtere
    Mannschaft gewinnt, sehr hoch - zu diesem
    Resultat ist Leopold Mathelitsch vom Institut für
    Physik der Uni Graz gekommen.
  • Vergleich mit radioaktiver Quelle Der Grazer
    Forscher verglich die Stärke eines Fußballteams
    mit der einer radioaktiven Quelle. Letztere
    könnte einigermaßen genau bei einer bestimmten
    Anzahl von Zerfällen gemessen werden.

30
Können Tore durch einen Poisson-Prozess
beschrieben werden?
  • William Feller,
  • An Introduction to Probability Theorie and Its
    Applications

31
  • Beispiele die einer Poisson Verteilung folgen
  • die zufällige Anzahl von Telefonanrufen pro
    Zeiteinheit.
  • die zufällige Anzahl der Kunden an einem Schalter
    pro Zeiteinheit.
  • die Zeitpunkte, in denen Anforderungen (Personen,
    Jobs, Telefonanrufe,...) bei einem Bediener
    (Bank, Server, Telefonzentrale,
    Speicherverwaltung, ... ) eingehen.
  • die zufällige Anzahl von nicht keimenden
    Samenkörnern aus einer Packung.
  • Anzahl der Pixelfehler auf einem TFT Display.
  • Anzahl der Schlaglöcher auf einer Landstraße.
  • Anzahl der Druckfehler in einem Buch.
  • Anzahl der Unfälle pro Zeiteinheit an einer
    Kreuzung.
  • die Zeitpunkte, in denen eine radioaktive
    Substanz ein a-Teilchen emittiert.
  • zufällige Anzahl der a-Teilchen, die von einer
    radioaktiven Substanz in einem bestimmten
    Zeitraum emittiert werden.

32
Vorrunde der Fußball WM
usw. (Word-Datei)
Zusammenfassung der Torzeitpunkte aller
Gruppen A 6, 17, 61, 87, 12, 73, 24, 80, 91, 8,
54, 92, 4, 44, 57, 25, 33, 66 B 3, 83, 91, 89,
51, 34, 90, 85, 25, 86, C 24, 38, 82, 18, 6, 31,
41, 78, 84, 88, 23, 38, 27, 37, 10, 67, 20, 86, D
28, 36, 76, 79, 4, 63, 80, 6, 29, 24, 75, 60 E
40, 83, 5, 36, 76, 22, 27, 2, 82, 26, 87, 22, 47,
43 F 44, 84, 26, 89, 92, 49, 90, 34, 46, 53, 59,
81, 2, 56, 38, 79 G 54, 72, 31, 9, 81, 16, 88,
55, 61, 23, 77 H 13, 17, 48, 81, 23, 92, 57, 84,
71, 76, 91, 8, 4, 36, 46, 84, 36, 70
33
Urliste der Tore
  • 6, 17, 61, 87, 12, 73, 24, 80, 91, 8, 54, 92,
    4, 44, 57, 25, 33, 66, 3, 83, 91, 89, 51, 34, 90,
    85, 25, 86, 24, 38, 82, 18, 6, 31, 41, 78, 84,
    88, 23, 38, 27, 37, 10, 67, 20, 86, 28, 36, 76,
    79, 4, 63, 80, 6, 29, 24, 75, 60, 40, 83, 5, 36,
    76, 22, 27, 2, 82, 26, 87, 22, 47, 43, 44, 84,
    26, 89, 92, 49, 90, 34, 46, 53, 59, 81, 2, 56,
    38, 79, 54, 72, 31, 9, 81, 16, 88, 55, 61, 23,
    77, 13, 17, 48, 81, 23, 92, 57, 84, 71, 76, 91,
    8, 4, 36, 46, 84, 36, 70

34
Auswertung der Urliste
Das k-te Element der letzten Liste gibt an, wie
viele Tore in der k-ten Minute fielen.
35
Anzahl der Tore in bestimmten Minuten
Minute Anzahl
36
Zahl der Minuten mit 0,1,2,3,4 Toren
Zahl der Minuten mit 0,1,2,3,4 Toren 22, 36,
23, 7, 2
37
Mittlere Zahl der Tore pro Minute
  • l ist gleich der mittleren Zahl der Tore pro
    Minute.

ist dann die Wahrscheinlichkeit für genau k Tore
in einer Minute.
38
Tore können durch eine Poisson-Verteilung
beschrieben werden
39
Wahrscheinlichkeit für k Tore in der Zeit t
ist die Wahrscheinlichkeit für genau k Tore in
einer Minute.
ist dann die Wahrscheinlichkeit für k Tore in der
Zeit t.
Ist l die Torrate einer Mannschaft
(durchschnittliche Zahl der Tore pro Minute),
dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass die
Mannschaft in t Minuten k Tore geschossen hat,
gleich
Ist
40
Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Spielstände
Betrachtet wird das Spiel von 2 Mannschaften mit
den Torraten l1 und l2 gegeneinander.
Wahrscheinlichkeit für den Spielstand m n nach
der Zeit t
41
Für zwei Mannschaften mögen die folgenden
hypothetischen Torraten gelten Mannschaft 1
1 Tor in 60 Minuten Mannschaft 2 1 Tor in
90 Minuten
42
Wahrscheinlichkeit für best. Ergebnisse bei
vorgegebenen Torraten
Die stärkere Mannschaft gewinnt bei folgenden
Ergebnissen 10 20, 21 30, 31, 32 40, 41,
42, 43
43
Die Summation bis 20 ist willkürlich. Von einer
Mannschaft werden aber meist weniger als 20 Tore
geschossen, so dass sich hier ein guter
Näherungswert für die Gesamtwahrscheinlichkeit
ergibt, bei der bis unendlich summiert werden
muss. Vorausgesetzt sind auch die Torraten 1/60
und 1/90.
Gewinnchance für die stärkere Mannschaft
0,488 d.h. in gut 50 der Fälle gewinnt die
stärkere Mannschaft nicht! Wahrscheinlichkeit für
ein Unentschieden 0,26 Mit Wahrscheinlichkeit
1-(0,4880,26)25 gewinnt die schwächere
Mannschaft.
44
Die Rechnung zeigt Auch die um vieles schwächere
Mannschaft hat eine realistische Chance das Spiel
zu gewinnen! Daraus bezieht das Fußballspiel
seinen Reiz
45
Strategische Überlegungen
Wie soll sich die schwächere Mannschaft
verhalten? - Stürmen um viele Tore zu schießen,
oder - verteidigen um keine Tore zuzulassen?
Aus der Praxis ist bekannt, dass die 2. Variante
bevorzugt wird. Ist dies auch gerechtfertigt?
Wie hängt die Wahrscheinlichkeit, dass die
schwächere Mannschaft gewinnt, von der Zahl der
Tore ab, die in dem Spiel insgesamt geschossen
wurden?
46
Wahrscheinlichkeit, dass in einem Spiel genau n
Tore fallen
Für n5 Tore sind folgende Spielausgänge
möglich 50 41 32 23 14 05 Für n6 sind
folgende Spielausgänge möglich 60 51 42 33 2
4 15 06
47
Wahrscheinlichkeit, dass in einem Spiel genau n
Tore fallen
48
Spielausgänge, die zu einem Sieg der schwächeren
Mannschaft gehören n5 23 14 05 n6 24 15
06 n7 34 25 16 07
Zahl der Tore welche die stärkere Mannschaft
höchstens schießen darf (5-1)/22 (6-2)/22 (7-1)
/23
Diese Zahl ist gleich (n-1)/2 wenn n ungerade ist
und gleich (n-2)/2 wenn n gerade ist. Der
folgende Term liefert (ohne Fallunterscheidung!)
diese Anzahl
49
Wahrscheinlichkeit für einen Sieg der schwächeren
Mannschaft wenn n Tore fallen
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Nspire Realisation
50
Schwächere Mannschaft siegt
Die Siegchance der schwächeren Mannschaft sinkt
mit steigender Zahl der Tore.
51
Schwächere Mannschaft verliert nicht
52
Schwächere Mannschaft verliert nicht
Strategie Die schwächere Mannschaft sollte dafür
sorgen, dass möglichst wenig Tore fallen.
53
Größenordnung von Torraten Torrate der deutschen
Nationalmannschaft
  • Tore von Deutschland während der WM 2006 (ohne
    Elfmeterschiessen)
  • 4 Costa Rica (42)
  • 1 Polen (10)
  • 3 Ecuador (30)
  • 2 Schweden (20)
  • 1 Argentinien (11, 42 nach Verl.)
  • 0 Italien (02)
  • 3 Portugal (31)
  • Torrate pro Minute

Berücksichtigt man zusätzlich die EM 2004 und die
Qualifikation zur EM 2008 so kommt man auf 0,020.
Die oben benutzte Torrate 1/60 0,017
54
Nach der ganzen Mathematik die Abschlussbemerkung
aus der Fußballpraxis
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