Algoritmos em Grafos

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Algoritmos em Grafos

• Celso C. Ribeiro
• Caroline T. Rocha

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• PARTE 3 CAMINHOS MAIS LONGOS E SEQÜENCIAMENTO DE
  TAREFAS

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Caminhos mais Longos

• Adaptação dos algoritmos para o problema de
  caminho mais curto

f mínimo f(x) - máximo - f(x)

• Condição o grafo não pode ter circuitos de
  comprimento positivo.

Multiplicar as distâncias por (-1) e aplicar o
algoritmo para caminhos mais curtos
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Caminhos mais Longos

• Alternativa adaptar os algoritmos de caminhos
  mais curtos para que calculem caminhos mais
  longos.

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Caminhos mais Longos

• Problema central de seqüenciamento de tarefas
• Os grandes projetos exigem acompanhamento
  constante e perfeita coordenação das tarefas, de
  modo a
• evitar atrasos
• evitar custos adicionais

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Caminhos mais Longos

• Exemplo
• Preparação da construção de um prédio
• Executar o aterro (10 dias)
• Instalar um guindaste (2 dias)
• Fazer as fundações (6 dias)
• Ligações elétricas (3 dias)
• Instalação de esgotos (5 dias)

• Restrições
• O guindaste só pode funcionar após as ligações
  elétricas estarem prontas.
• O guindaste é necessário para fazer as fundações.
• A instalação dos esgotos e as fundações só podem
  ser executadas após o final do trabalho de aterro.

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Caminhos mais Longos

• PERT (Program Evaluation and Review Technique)
• Rede PERT
• nós representam etapas (instantes privilegiados
  do projeto)
• - etapa INÍCIO
• - etapa FIM
• arcos representam tarefas - tarefas reais de
  duração positiva- tarefas virtuais (ou
  fictícias) de duração nula para exprimir as
  restrições de precedência.
• Grafo potenciais-etapas (nós são etapas)

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Caminhos mais Longos

• Uma etapa x é atingida quando todas as tarefas
  (reais e fictícias) correspondendo a arcos dos
  quais x é extremidade final foram concluídas.

• Só é possível iniciar a execução da tarefa
  correspondente ao arco (x, y) depois que a etapa
  x tiver sido atingida.

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Caminhos mais Longos
Exemplo A tarefa 1 deve estar terminada para que
a tarefa 5 possa ser iniciada.
Supressão de arcos inúteis
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Caminhos mais Longos

• Resolver um problema de seqüenciamento de tarefas
  corresponde a
• determinar um calendário de execução
• determinar as tarefas críticas (aquelas cujo
  atraso provoca um atraso na execução do projeto
  como um todo)
• controlar o desenvolvimento do projeto e saber, a
  cada instante, atualizar as previsões iniciais

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Caminhos mais Longos

• Etapa x

?(x) data mais cedo (data mínima em que a etapa
x pode ser atingida) ?(x) data mais tarde (data
máxima em que a etapa x pode ser atingida sem que
resulte em atraso na execução do projeto como um
todo)

• Uma tarefa é dita crítica se qualquer atraso em
  sua execução se repercute automaticamente na
  duração do projeto.

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Caminhos mais Longos

• Para que a etapa x possa ser atingida, é
  necessário que todos os caminhos de I a x tenham
  sido percorridos.

?(x) comprimento do caminho mais longo de I a x
considerando-se ?(I) 0.

• Tarefa u (x,y)
• ?(u) ?(y) - ?(x) - d(u) é a folga da tarefa u.

O grafo PERT não tem circuitos.
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Caminhos mais Longos

• Algoritmo PERT

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Caminhos mais Longos
Exemplo
?(I) 0 SI ?(b) 10 SI, b ?(a)
10 SI, a, b ?(F) 16 SI, a, b, F
ITERAÇÃO 1
ITERAÇÃO 2
ITERAÇÃO 3
?(F) 16 SF ?(a) 10 SF, a ?(b)
10 SF, b, a ?(I) 0 SF, b, a, I
ITERAÇÃO 1
ITERAÇÃO 2
ITERAÇÃO 3
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Caminhos mais Longos
Grafo potenciais-tarefas nó ? tarefa arco(i,j)
? se a tarefa i deve preceder a tarefa j
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Caminhos mais Longos

• A tarefa j só pode começar após a
• metade da execução da tarefa i

di/2
i
j

• A tarefa j só pode começar um
• tempo t após o fim de i

• A tarefa j só pode começar após
• a data bj

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Caminhos mais Longos
TAREFAS DURAÇÃO ANTERIORES
A 7 -
B 3 A
C 1 B
D 8 A
E 2 D, C
F 1 D, C
G 1 D, C
H 3 F
J 2 H
K 1 E, G ,J
GRAFO POTENCIAIS-ETAPAS
?(2)14
?(2)10
?(4)21
?(4)21
?(F)22
?(I)0
?(1)7
?(3)15
?(F)22
?(3)15
?(1)7
?(I)0
?(6)19
?(5)16
?(6)19
?(5)16
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Caminhos mais Longos
Cálculo das folgas ?(u) ?(T(u))
?(I(u)) d(u)
?(A) 7 0 7 0 ?(B) 14 7 3 4 ?(C)
15 10 1 4 ?(D) 15 7 8 0 ?(E) 21
15 2 4 ?(F) 16 15 1 0 ?(G) 21 15
1 5 ?(H) 19 16 3 0 ?(J) 21 19 2
0 ?(K) 22 21 1 0
Caminho crítico A ? D ? F ? H ? J ? K
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Caminhos mais Longos
TAREFAS DURAÇÃO ANTERIORES
A 7 -
B 3 A
C 1 B
D 8 A
E 2 D, C
F 1 D, C
G 1 D, C
H 3 F
J 2 H
K 1 E, G ,H
GRAFO POTENCIAIS-TAREFAS