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INVESTIGA O OPERACIONAL 9 Aula Redes As redes invadem o nosso mundo das mais diversas formas. As redes de transporte, el ctricas ou de comunica o s o disso ... – PowerPoint PPT presentation

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Title: INVESTIGA

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INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL

9ª Aula
Redes
As redes invadem o nosso mundo das mais
diversas formas. As redes de transporte,
eléctricas ou de comunicação são disso exemplo.
No entanto, a representação sob a forma de rede
pode ser utilizada em áreas tão diferentes como a
produção, distribuição, planeamento de projectos,
localização de instalações, gestão de recursos,
planeamento financeiro, etc.
Para resolver estes problemas de redes,
utilizam-se modelos de optimização que se baseiam
em alguns tipos de problemas de programação
linear.
Neste capítulo iremos tratar dos seguintes
tipos de problemas
Caminho Mais Curto (shortest path)
Árvore de Ligações Mínimas (minimum spanning
tree)
Fluxo Máximo (maximum flow)
Fluxo de Caixa Mínimo (minimum cost flow)

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INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL

9ª Aula (cont.)
Exercício Exemplo
O Parque Natural de Seervada teve recentemente de
reduzir o n.º de visitantes e de Backpack Hiking.
Não é admitida a entrada de carros no Parque,
embora exista um percurso estreito e sinuoso para
eléctricos e jeeps dos guardas florestais. Este
sistema de trilhos está representado na figura
seguinte em que O se refere à entrada do Parque,
as outras letras correspondem a instalações da
guarda florestal e os números à distância entre
cada ponto.
O Parque tem um cenário deslumbrante no ponto T e
só um pequeno n.º de eléctricos faz o percurso da
entrada ao ponto T.
A administração do Parque enfrenta agora 3
problemas
1º Determinar qual a rota que deve ser utilizada
para reduzir a distância total a percorrer pelos
eléctricos
2º Dado que é necessário instalar uma rede
telefónica no Parque que estabeleça a ligação
entre todas as instalações da guarda florestal,
ao longo dos trilhos, qual o percurso a escolher
para minimizar os custos da linha
3º Durante a época alta, existem mais visitantes
do que os que podem ser transportados pelos
eléctricos, da entrada até ao ponto T, qual a
forma de maximizar o n.º de viagens sem perturbar
o sistema ecológico e de vida selvagem do Parque
e respeitando o n.º limite de trajectos em cada
linha.

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INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL

9ª Aula (cont.)
Termos utilizados em Redes
Uma rede consiste num conjunto de pontos e linhas
que ligam certos pares de pontos
Esses pontos denominam-se Nós
As linhas entre os pontos denominam-se Arcos
Aos arcos estão associados fluxos
Se o fluxo só pode circular numa direcção Arco
Direccionado, cuja direcção corresponde à da seta
representada
Quando não existem restrições de direcção de
fluxo Arco Não Direccionado ou Ligação
Se uma rede só utiliza arcos direccionados,
designa-se por Rede Direccionada
Um percurso entre dois nós corresponde à
sequência de arcos distintos que permite ligar
esses nós
Um percurso direccionado do nó i ao nó j
refere-se à sequência de arcos de ligação cuja
direcção (se existir) é de i para j e permite que
haja fluxo ao longo deste percurso.
Um percurso não direccionado do nó i ao nó j é a
sequência de arcos de ligação, direccionados ou
não, que permite o fluxo de e para o nó j.
Um percurso que começa e acaba no mesmo nó
denomina-se ciclo
Dois nós dizem-se ligados se a rede contém pelo
menos um arco não direccionado entre eles
Uma rede diz-se ligada se todos os pares de
pontos estão ligados

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INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL

9ª Aula (cont.)
Termos utilizados em Redes
Considerando um conjunto de n nós, pode-se criar
uma árvore adicionando arcos, um a um, entre os
diversos nós. Cada arco novo vai expandir a
árvore que é uma rede ligada sem ciclos não
direccionados. Quando o arco (n-1) for adicionado
o processo termina dado que a árvore resultante
já liga os n nós.
Uma árvore expandida é uma rede ligada, para
todos os n nós, que não contém nenhum ciclo não
direccionado e tem exactamente n-1 arcos, número
necessário para ligar todos os nós sem criar
ciclos.
O fluxo máximo que pode ser transportado por um
dado arco designa-se por capacidade do arco
Um nó de origem é aquele em que o fluxo de saída
é superior ao de entrada
Um nó de destino é aquele em que o fluxo de
entrada excede o fluxo de saída
Um nó de transbordo é aquele em que o fluxo de
entrada é igual ao fluxo de saída

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INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL

9ª Aula (cont.)
Problema do Caminho Mais Curto
Consideremos uma rede ligada e não direccionada
com 2 nós especiais Origem e Destino.
A cada ligação está associada uma distância não
negativa
O objectivo final será encontrar o percurso com
menor distância entre a Origem e o Destino.
Algoritmo de Resolução
Objectivo da n- ésima iteração
Encontrar o n- ésimo nó mais próximo da Origem
(repetir até que o n- ésimo nó seja o destino)
Dados para a n- ésima iteração
Os n-1 nós mais próximos da Origem (determinados
na iteração anterior e denominados nós
resolvidos), incluindo o caminho mais curto
determinado até ao momento e a correspondente
distância à Origem
Candidatos ao nó mais próximo
Cada nó resolvido está ligado por um arco a um ou
mais nós por resolver dos quais se irá escolher
um candidato com a menor distância para o arco de
ligação
Cálculos para o nó mais próximo
Para cada nó resolvido e respectivo candidato,
adicionar a distância do caminho mais curto já
determinado, entre a origem e este nó. O
candidato com a menor distância total à origem
será o n- ésimo nó mais próximo.

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INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL

9ª Aula (cont.)
Exercício Exemplo
O Parque Natural de Seervada teve recentemente de
reduzir o n.º de visitantes e de Backpack Hiking.
Não é admitida a entrada de carros no Parque,
embora exista um percurso estreito e sinuoso para
eléctricos e jeeps dos guardas florestais. Este
sistema de trilhos está representado na figura
seguinte em que O se refere à entrada do Parque,
as outras letras correspondem a instalações da
guarda florestal e os números à distância entre
cada ponto.
O Parque tem um cenário deslumbrante no ponto T e
só um pequeno n.º de eléctricos faz o percurso da
entrada ao ponto T.
A administração do Parque enfrenta agora 3
problemas
1º Determinar qual a rota que deve ser utilizada
para reduzir a distância total a percorrer pelos
eléctricos
2º Dado que é necessário instalar uma rede
telefónica no Parque que estabeleça a ligação
entre todas as instalações da guarda florestal,
ao longo dos trilhos, qual o percurso a escolher
para minimizar os custos da linha
3º Durante a época alta, existem mais visitantes
do que os que podem ser transportados pelos
eléctricos, da entrada até ao ponto T, qual a
forma de maximizar o n.º de viagens sem perturbar
o sistema ecológico e de vida selvagem do Parque
e respeitando o n.º limite de trajectos em cada
linha.

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INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL

9ª Aula (cont.)
Exercício- Exemplo
1ª Iteração
2ª Iteração
3ª Iteração

Nó início Nó final distância
Origem A 2
Origem B 5 (gt 4)
Origem C 4
Nó início Nó final distância
Origem/A B 2 2 4
Origem/A D 2 7 9
Origem/C B 4 1 5 (gt 4)
Origem/C E 4 4 8
Nó início Nó final distância
Origem/A/B C 4 1 5 (gt 4)
Origem/A/B D 4 4 8
Origem/A/B E 4 3 7
Nó início Nó final distância
Origem/A/B/D Término 8 5 13 (Fim)
Origem/A/B/E D 7 1 8
Origem/A/B/E Término 7 7 14
8
INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL

9ª Aula (cont.)
Problema do Caminho Mais Curto
Exercício
Uma pessoa que vive na Póvoa e trabalha no Porto
pretende descobrir que o percurso que deverá
seguir na viagem matinal para o seu emprego, de
forma a minimizar a duração da viagem. Durante
algum tempo, teve o cuidado de registar a duração
da viagem ao longo das diferentes localidades
intermédias . O resultado dessa análise está
apresentado no quadro seguinte onde se
representou por - a inexistência de estradas a
ligar essas localidades. Qual será o percurso que
essa pessoa seleccionou?

Póvoa L1 L2 L3 L4 Porto
Póvoa - 18 - 32 - -
L1 18 - 12 28 - -
L2 - 12 - 17 - 32
L3 32 28 17 - 4 17
L4 - - - 4 - 11
Porto - - 32 17 11 -
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INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL

9ª Aula (cont.)
Algoritmo de Resolução
A partir da Origem encontrar os nós mais próximos
Seguidamente procuram-se os nós mais próximos dos
determinados no ponto anterior, excluindo os que
têm como destino a Origem ou os nós determinados
anteriormente
Repete-se o ponto anterior para os percursos que
ainda não chegaram ao Porto

Nó início Nó final distância
Póvoa L1 18
Póvoa L3 32
Nó início Nó final distância
Póvoa/L1 L2 18 12 30
Póvoa/L1 L3 18 28 46 (gt 32)
Póvoa/L3 L2 32 17 49 (gt 30)
Póvoa/L3 L4 32 4 36
Póvoa/L3 Porto 32 17 49 (Fim)
Nó início Nó final distância
Póvoa/L1/L2 Porto 30 32 62 (Fim)
Póvoa/L3/L4 Porto 36 11 47 (Fim)
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INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL

9ª Aula (cont.)
Problema da Árvore de Ligações Mínimas
Consideremos uma rede ligada e não direccionada
com 2 nós especiais Origem e Destino.
A cada ligação está associada uma distância não
negativa
O objectivo final será encontrar a árvore com
menor comprimento total de ligações, de forma a
que todos os pares de nós estejam ligados, se que
seja criado algum ciclo.
Num problema desta natureza não poderemos ter
mais de n 1 arcos (de outra forma estaríamos a
formar um ciclo)
Este tipo de problema pode ser utilizado, por
exemplo, para resolver um problema de planeamento
de transportes, no qual se pretendem servir
diversas povoações garantindo o menor custo
possível. Os dados de base seriam as localidades,
a distância entre si e os meios de transporte
disponíveis.
Num caso genérico, começa-se por um nó
escolhido arbitrariamente, procurando-se em
seguida o arco com menor valor para o próximo nó.
O passo seguinte consiste em identificar o nó não
ligado que está mais próximo dos dois definidos
inicialmente e adicionar o arco correspondente à
rede. Este processo é repetido até se terem
ligado todos os nós. A rede resultante será uma
Árvore de Ligações Mínimas.

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INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL

9ª Aula (cont.)
Exercício Exemplo
O Parque Natural de Seervada teve recentemente de
reduzir o n.º de visitantes e de Backpack Hiking.
Não é admitida a entrada de carros no Parque,
embora exista um percurso estreito e sinuoso para
eléctricos e jeeps dos guardas florestais. Este
sistema de trilhos está representado na figura
seguinte em que O se refere à entrada do Parque,
as outras letras correspondem a instalações da
guarda florestal e os números à distância entre
cada ponto.
O Parque tem um cenário deslumbrante no ponto T e
só um pequeno n.º de eléctricos faz o percurso da
entrada ao ponto T.
A administração do Parque enfrenta agora 3
problemas
1º Determinar qual a rota que deve ser utilizada
para reduzir a distância total a percorrer pelos
eléctricos
2º Dado que é necessário instalar uma rede
telefónica no Parque que estabeleça a ligação
entre todas as instalações da guarda florestal,
ao longo dos trilhos, qual o percurso a escolher
para minimizar os custos da linha
3º Durante a época alta, existem mais visitantes
do que os que podem ser transportados pelos
eléctricos, da entrada até ao ponto T, qual a
forma de maximizar o n.º de viagens sem perturbar
o sistema ecológico e de vida selvagem do Parque
e respeitando o n.º limite de trajectos em cada
linha.

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INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL

9ª Aula (cont.)

Algoritmo de Resolução aplicado ao Problema do
Parque Seervada
1ª Tarefa
Seleccionar um nó arbitrariamente (seja a Origem
O)
Ligá-lo ao nó mais próximo (A 2, B 5 ou C
4), neste caso nó A
2ª Tarefa (repetir até ter ligado todos os nós)
Identificar o nó não ligado mais próximo de um nó
já ligado
B ? (BO 5, BA 2) BA
C ? (CO 4, CB 1) CB
E ? (EB 3, EC 4) EB
D ? (DA 7, DB 4, DE 1) DE
T ? (TD 5, TE 7) TD
Desempates
Os desempates para seleccionar o nó mais próximo
de um já ligado, pode ser quebrado
arbitrariamente, dado que este procedimento não
irá alterar o resultado final. No entanto pode
ser indicativo da existência de múltiplas
soluções óptimas.
A resolução gráfica é a forma mais rápida de se
obter uma solução.

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INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL

9ª Aula (cont.)
Problema de Árvore de Ligações Mínimas
Exercício
Determine a Árvore de Ligações Mínimas para o
seguinte problema e respectivo custo de ligação

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INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL

9ª Aula (cont.)
Resolução
A ? (AB 2, AC 4, AD 1, AE 10) nó D
B ? (BA 2, BD 1) arco BD
C ? (CA 4, CD 4) arco CA ou CD
G ? (CG 3, GD 7) arco CG
F ? (FD 10, FG 3) arco FG
E ? (EA 10, ED 7, EF 8, EG 5) arco EG
O custo mínimo para ligar esta rede é de
114335 17 u.m.

E
10
7
8
B
A
2
5
1
1
D
F
10
4
3
4
7
G
C
3
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INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL

9ª Aula (cont.)
Problema do Fluxo Máximo
Com este tipo de problema pretende-se determinar
as combinações de arcos que permitem maximizar o
fluxo numa dada rede.
Considerar uma rede direccionada e ligada, onde
existe um nó de Origem O, um nó de Destino T
e em que todos os outros nós são nós de
transbordo. São dados do problema as capacidades
de cada ligação e o objectivo final será
determinar uma distribuição de fluxos admissível
que maximiza o fluxo total na rede do nó de
Origem ao nó de Destino.
Depois de iniciar o processo de distribuição de
fluxos, iremos obter uma Rede Residual, onde se
evidenciam os fluxos residuais que ainda podem
ser transportados em cada ligação e que se
representa da seguinte forma
O número à esquerda do arco refere-se à
capacidade residual (que ainda pode ser
transportada) do nó anterior para o seguinte.
Antes de se iniciar a resolução deste tipo de
problemas, propriamente dita, temos de
transformar a rede inicial direccionada e ligada
numa rede residual ligada, na qual à esquerda de
cada arco temos a capacidade máxima do arco e à
direita (lado da seta) o valor zero.

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INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL

9ª Aula (cont.)
Problema do Fluxo Máximo
Seguidamente, de cada vez que algum fluxo passa
por esse arco é deduzido ao lado esquerdo e
aumentado ao direito.
Um Percurso Positivo é um percurso directo da
Origem ao Destino, na Rede Residual, em que todos
os arcos têm capacidade residual estritamente
positiva. O mínimo destas capacidades residuais
denomina-se capacidade residual do percurso
positivo e corresponde ao fluxo que efectivamente
pode ser transportado ao longo de todo esse
percurso.
Algoritmo de Resolução
Identificar um Percurso Positivo procurando uma
sequência de arcos, da Origem ao Destino, cuja
capacidade residual seja estritamente positiva
Identificar a Capacidade Residual c desse
Percurso Positivo procurando o mínimo das
capacidades residuais dos arcos que o constituem.
Aumentar o fluxo na rede desse valor c
Deduzir a capacidade residual de cada arco de c,
à esquerda, nesse Percurso Positivo e adicionar a
mesma quantidade ao lado direito.
Voltar ao primeiro passo até distribuir o fluxo
máximo pela rede.

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INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL

9ª Aula (cont.)
Exercício Exemplo
O Parque Natural de Seervada teve recentemente de
reduzir o n.º de visitantes e de Backpack Hiking.
Não é admitida a entrada de carros no Parque,
embora exista um percurso estreito e sinuoso para
eléctricos e jeeps dos guardas florestais. Este
sistema de trilhos está representado na figura
seguinte em que O se refere à entrada do Parque,
as outras letras correspondem a instalações da
guarda florestal e os números à distância entre
cada ponto.
O Parque tem um cenário deslumbrante no ponto T e
só um pequeno n.º de eléctricos faz o percurso da
entrada ao ponto T.
A administração do Parque enfrenta agora 3
problemas
1º Determinar qual a rota que deve ser utilizada
para reduzir a distância total a percorrer pelos
eléctricos
2º Dado que é necessário instalar uma rede
telefónica no Parque que estabeleça a ligação
entre todas as instalações da guarda florestal,
ao longo dos trilhos, qual o percurso a escolher
para minimizar os custos da linha
3º Durante a época alta, existem mais visitantes
do que os que podem ser transportados pelos
eléctricos, da entrada até ao ponto T, qual a
forma de maximizar o n.º de viagens sem perturbar
o sistema ecológico e de vida selvagem do Parque
e respeitando o n.º limite de trajectos em cada
linha.