Experimentos Fatoriais Hier

1
Experimentos Fatoriais Hierárquicos

• Alan Birck
• Cecília Martins

2
Introdução

• Experimento Fatorial as características
  (fatores) não dependem entre eles. Todos fatores
  estão no mesmo nível.
• Experimento Fatorial Hierárquico quando um fator
  está dentro de outro fator. Os fatores estão em
  níveis diferentes.

3
Fatorial Hierárquico com 2 estágios

• Os níveis do fator B são similares, mas não
  idênticos para diferentes níveis de outro fator
  A.
• Ou seja, um fator está dentro de outro fator

4
Fatorial Hierárquico com 2 estágios

• Exemplo
• Uma companhia compra matéria-prima de 3
  fornecedores diferentes. A companhia deseja
  determinar se a pureza da matéria-prima é a mesma
  para cada fornecedor. Existe 4 lotes de
  matérias-prima disponível de cada fornecedor e 3
  determinação de pureza em cada lote.

5
Exemplo
6
Exemplo
7
Fatorial Hierárquico com 2 estágios

• Modelo linear
• yijk µ ai ßj(i) eijk
• µ é a média
• ai é o ef. do i-ésimo nível do fator A
• ßj(i) é o ef. do j-ésimo nível do fator B dentro
  do i-ésimo nível do fator A
• eijk é o erro
• i 1,2,...,a j 1,2,...,b k1,2,...,r

8
2 fatores
Fatores Mod. I ou Mod. Fixo Mod. II ou Mod. Aleat. Mod. Misto
A Fixo Aleatório Fixo
B fixo Aleatório Aleatório
9
Modelo I (A e B fixos)

• Suposições
• eijk N(0,s2) independentes
• yijk N(µ ai ßj(i) ,s2) independentes
• Restrições
• 
  para todo i

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Modelo I (A e B fixos)

• Hipóteses
• H0 a1 a2 ... aa 0 (não existe efeito do
  fator A)
• H0 ß1(i) ß2(i)... ßb(i)0 (não existe
  efeito do fator B dentro do i-ésimo nível do
  fator A, para todo i )

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Modelo II (A e B aleatórios)

• Suposições
• aiN(0, s2A) independentes
• ßj(i)N(0, s2B) independentes
• eijk N(0,s2) independentes
• ai , ßj(i) e eijk são independentes
• yijk N( µ s2s2As2B) e indep. se estão em
  caselas diferentes

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Modelo II (A e B aleatórios)

• Restrições
• não tem restrições.
• Hipóteses
• H0 s2A 0
• H0 s2B 0

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Modelo Misto (A fixo e B aleatório)

• Suposições
• ßj(i)N(0, s2B) independentes
• eijk N(0,s2) independentes
• ßj(i) e eijk são independentes
• yijk N( µ ai s2s2B) e indep. se estão em
  caselas diferentes

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Modelo Misto (A fixo e B aleatório)

• Restrições
• Hipóteses
• H0 a1 a2 ... aa 0 (não existe efeito do
  fator A)
• H0 s2B 0

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Análise de Variância para 2 fatores
Causas de variação G.L. SQ QM
A a-1 SQA QMA
B(A) a(b-1) SQB(A) QMB(A)
Erro ab(r-1) SQE QME
Total abr-1 SQTotal
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Análise de Variância para 2 fatores
C.de var. Quadrados Médios Esperados Quadrados Médios Esperados Quadrados Médios Esperados
C.de var. Mod. I Mod. II Mod. Misto
A
B(A)
Erro
Total
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Análise de Variância para 2 fatores
Causas de Variação F F
Causas de Variação Mod.I Mod.II e Misto
A QMA QME QMA QMB(A)
B(A) QMB(A) QME QMB(A) QME
Erro QME QME
Regra para construção dos QM Esperados o
fator (A) terá o componente do subfator (B) se o
subfator (B) for aleatório.
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Estimação dos componentes de Variância
19
Soma de quadrados

• As expressões são calculadas de forma usual

20
exemplo(continuando o anterior)

• Companhia compra matéria-prima, em lotes, de 3
  diferentes fornecedores. A companhia deseja
  determinar se a pureza de matéria-prima é a mesma
  para cada fornecedor. Dos lotes existentes de
  cada fornecedor, selecionou-se aleatoriamente 4
  lotes para cada um dos 3 fornecedores, e dos
  lotes selecionados foram tomadas 3 determinações
  de pureza. Os dados foram codificados yijk
  pureza 93 .

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exemplo (dados já codificados)
Fornecedor 1 Fornecedor 1 Fornecedor 1 Fornecedor 1 Fornecedor 2 Fornecedor 2 Fornecedor 2 Fornecedor 2 Fornecedor 3 Fornecedor 3 Fornecedor 3 Fornecedor 3
lote1 lote2 lote3 lote4 lote1 lote2 lote3 lote4 lote1 lote2 lote3 lote4
1 -2 -2 1 1 0 -1 0 2 -2 1 3
-1 -3 0 4 -2 4 0 3 4 0 -1 2
0 -4 1 0 -3 2 -2 2 0 2 2 1
r3 a3 b4
22
exemplo

• No SAS(Analyst)
• Statistcs/ANOVA/mixed model/
• dep resposta
• classA,B
• MODEL Fixed effects ARandom effects B(A)
• OPTION type 1
• TE exemplo ST type 1 e test of variance
  components
• PLOTS RESIDUAL/Residual plot (including random
  effects)
• 1-plot residuals x predicted
• 2-plot residuals x independents

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exemplo (resultados)
c.v. g.l SQ QM E(QM) F p
fornec. 2 15,06 7,53 0,97 0,41
lotes/fornec. 9 69,92 7,77 2,94 0,01
Erro 24 63,33 2,64
Total 35 148,31

• Não se evidencia diferença entre os fornec.
  quanto à pureza da matéria-prima fornecida
• A pureza da matéria-prima difere de lote a lote
  para um mesmo fornecedor, ou seja, existe
  variabilidade na pureza de lote a lote para cada
  fornecedor.

24
Gráfico dos resíduos x preditos
25
Gráfico dos resíduos x fornecedores
26
Observação

• Interação ? não podemos fazer interação pois se
  fizéssemos, estaríamos comparando, além de
• Se há diferença entre os fornec. 1, 2 e
  3(correto)
• Compararíamos
• Se há diferença entre os lotes 1, 2, 3 e 4 de
  cada fornecedor e se o fornecedor está na
  dependência do lote e vice-versa
• Essa comparação não pode ser feita pois cada lote
  pertence a um único fornecedor.

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Fatorial Hierárquico com m estágios

• É o mesmo raciocínio que o delineamento fatorial
  hierárquico com 2 fatores, com uma diferença que
  tem um fator C a mais, e esse fator C está dentro
  de um outro fator B, que por sua vez, está dentro
  de um fator A.

28
Fatorial Hierárquico com m estágios

• Exemplo
• Desejamos investigar a dureza de duas
  diferentes formulação de liga. Três calores de
  cada liga é preparado, duas barras de metal
  fundido são selecionada aleatoriamente dentro de
  cada calor testado, e duas medidas de dureza são
  medida em cada barra. (Delineamento fatorial
  Hierárquico em 3 estágios com 2 repetições).

29
exemplo
30
Fatorial Hierárquico com 3 estágios

• Modelo linear (DCC)
• yijkl µ ai ßj(i) ck(j) eijkl
• µ é a média
• ai é o ef. do i-ésimo nível do fator A
• ßj(i) é o ef. do j-ésimo nível do fator B dentro
  do i-ésimo nível do fator A
• ck(j) é o ef. do k-ésimo nível do fator C dentro
  do j-ésimo nível do fator B(e do i-ésimo nível do
  fator A-Montgomery)
• eijkl é o erro
• i 1,2,...,a j 1,2,...,b k1,2,...,c
  l1,2,...,r

31
3 fatores
Fatores Mod. I ou Mod. Fixo Mod. II ou Mod. Aleat. Mod. Misto Mod. Misto
A Fixo Aleatório Fixo Fixo
B Fixo Aleatório Aleatório Fixo
C Fixo Aleatório Aleatório Aleatório
32
Modelo I (A,B e C fixos)

• Suposições
• eijkl N(0,s2) independentes
• yijkl N(µ ai ßj(i)ck(j) ,s2) independ.
• Restrições
• 
  para todo i
• para todo j

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Modelo I (A,B e C fixos)

• Hipóteses
• H0 a1 a2 ... aa 0
• H0 ß1(i) ß2(i)... ßb(i)0para todo i
• H0 c1(j) c2(j)... cc(j)0para todo j

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Modelo II (A,B e C aleatórios)

• Suposições
• aiN(0, s2A) independentes
• ßj(i)N(0, s2B) independentes
• c k(j) N(0, s2C) independentes
• eijkl N(0,s2) independentes
• ai , ßj(i) ,c k(j) e eijkl são independentes
• yijkl N( µ s2s2As2B s2C) e indep. se estão
  em caselas diferentes

35
Modelo II (A,B e C aleatórios)

• Restrições
• não tem restrições.
• Hipóteses
• H0 s2A 0
• H0 s2B 0
• H0 s2B 0

36
Modelo Misto(A fixo, B e C aleatórios)

• Suposições
• ßj(i)N(0, s2B) independentes
• ck(j)N(0, s2C) independentes
• eijkl N(0,s2) independentes
• ßj(i) ck(j) e eijkl são independentes
• yijkl N( µ ai s2s2B s2C) e indep. se estão
  em caselas diferentes

37
Modelo Misto(A fixo, B e C aleatórios)

• Restrições
• Hipóteses
• H0 a1 a2 ... aa 0 (não existe efeito do
  fator A)
• H0 s2B 0
• H0 s2C 0

38
Análise de Variância para 3 fatores
Causas de variação G.L. SQ QM
A a-1 SQA QMA
B(A) a(b-1) SQB(A) QMB(A)
C(B) ab(c-1) SQC(B) QMC(B)
Erro abc(r-1) SQE QME
Total abcr-1 SQTotal
39
Análise de Variância para 3 fatores
c.v. Quadrados médios esperados Quadrados médios esperados
c.v. Modelo I Modelo II
A
B(A)
C(B)
Erro
Total
40
Análise de Variância para 3 fatores
c.v. Quadrado Médio esperado
c.v. Modelo Misto
A
B(A)
C(B)
Erro
Total
41
Análise de Variância para 3 fatores
Causas de Variação F F
Causas de Variação Mod.I Mod.II e Misto
A QMA QME QMA QMB(A)
B(A) QMB(A) QME QMB(A) QMC(B)
C(B) QMC(B) QME QMC(B) QME
Erro QME QME

• Regra para construção dos QM Esperadoso fator
  (A) terá o componente do subfator (B) e do
  subsubfator C, se o subfator e o subsubfator
  forem aleatórios. O subfator (B) terá componente
  do subsubfator(C) se o subsubfator for aleatório.

42
Soma de quadrados

• As expressões são calculadas de forma usual

43
exemplo (super fictício)

• 2 fazendas, uma em cada região
• escolhidas, aleatoriamente, 3 árvores em cada
  fazenda
• dentro de cada árvore, foram escolhidas 3 folhas,
  aleatoriamente
• de cada folha foi medida, em 2 lugares
  diferentes, a quantidade de fungo
• var. resposta quantidade de fungos
• fator fixo fazendas
• fatores aleatórios árvores e folhas

44
exemplo
45
exemplo

• No SAS(Analyst)
• Statistcs/ANOVA/mixed model/
• dep resposta
• classA,B,C
• MODEL Fixed effects ARandom effects B(A),C(B)
• OPTION type 1
• TE exemplo ST type 1 e test of variance
  components
• PLOTS RESIDUAL/Residual plot (including random
  effects)
• 1-plot residuals x predicted
• 2-plot residuals x independents

46
Experimento Fatorial Hierárquico Cruzado

• Esse delineamento é usado quando temos um fator
  dentro de outro e também temos dois fatores que
  podem ser cruzados (pois estão no mesmo nível).

47
Experimento Fatorial Hierárquico Cruzado

• Exemplo

48
Experimento Fatorial Hierárquico Cruzado

• Modelo linear
• i1,2,...,a j1,2,...,b k1,2,...,c
  l1,2,...,r

49
Experimento Fatorial Hierárquico Cruzado

• Hipóteses
• H0A1 A2 ...Aa 0
• H0B1 B2 ...Bb 0
• H0AB11...ABab 0
• H0 s2C 0
• H0 s2AC 0

50
Análise de variância para experm. fatorial
hierárquicos cruzados
c.v. g.l. SQ QM
A a-1 SQA QMA
B b-1 SQB QMB
AXB (a-1)(b-1) SQAxB QMAxB
C(B) b(c-1) SQC(B) QMC(B)
AxC(B) b(a-1)(c-1) SQAxC(B) QMAxC(B)
Erro abc(r-1) SQE QME
Total abcr-1
51
Análise de variância para experm. fatorial
hierárquicos cruzados
c.v. Quadrado Médio esperado F
A QMA QMAxC(B)
B QMB QMC(B)
AxB QMAxB QMAxC(B)
C(B) QMC(B) QME
AxC(B) QMAxC(B) QME
52
Análise de variância para experm. fatorial
hierárquicos cruzados

• Regras para obtenção dos expressões de soma de
  quadrados e graus de liberdade
• Regra 1 subtrai-se uma das letras que não
  aparecem
• dentro dos parênteses no índice dos efeitos
• Regra 2 desenvolve-se algebricamente as
  expressões
• obtidas pela regra 1
• g.l.substituindo-se os índices pelas suas
  dimensões na regra 1 obtém-se os g.l.
• SQ considerando-se G e os índices de operação da
  regra 2 obtem-se as expressões das SQ.

53
exemplo
Fator A fixture (1,2 e 3) Fator B layouts (1 e
2) Fator C operadores (4 para cada layout) 2
repetições
54
exemplo
layout 1 layout 1 layout 1 layout 1 layout 2 layout 2 layout 2 layout 2
oper. 1 2 3 4 1 2 3 4
Fix.1 22 23 28 25 26 27 28 24
24 24 29 23 28 25 25 23
Fix.2 30 29 30 27 29 30 24 28
27 28 32 25 28 27 23 30
Fix.3 25 24 27 26 27 26 24 28
21 22 25 23 25 24 27 27
55
exemplo

• No SAS(Analyst)
• Statistcs/ANOVA/mixed model/
• dep resposta
• classA,B
• MODEL Fixed effects A, B, AB
• Random effects C(B), AC(B)
  ACABC
• OPTION type 1
• TE exemplo ST type 1 e test of variance
  components
• PLOTS RESIDUAL/Residual plot (including random
  effects)
• 1-plot residuals x predicted
• 2-plot residuals x independents

56
exemplo
c.v. g.l. SQ QM F p
fixture 2 82,80 41,40 7,54 0,01
layout 1 4,08 4,09 0,34 0,58
operator(layout) 6 71,91 11,99 5,15 lt0,01
fixturelayout 2 19,04 9,52 1,73 0,22
fixtureoper(layout) FO FLO 12 65,84 5,49 2,36 0,04
Erro 24 56,00 2,33
Total 47 299,67
57
exemplo

• Conclusões
• Olhando nos totais das fix. podemos notar que as
  fix. 1 e 3 são menores que a 2.
• Um operador é melhor se ele usar um tipo de
  fixação
• Pode ser que esses operfix pode sumir se nós
  treinarmos os operadores.