Nociones de Algebra Lineal

1
Nociones de Algebra Lineal
2
1) Determinar si (R2, ?, R, ?) es un espacio
vectorial con las operaciones suma y producto
escalar - vector definidos por 

• a) (a, b) ? (c, d) (a c, b d) ? (a,
  b) , (c, d) ? R2  k ? (a, b) (k ? a, k ? b)
    ? k ? R ? ? (a, b) ? R2
• (a, b) ? (c, d) (a c, b d) ? (a, b) , (c,
  d) ? R2 k ? (a, b) (a, a)   ? k ? R ? ? (a,
  b) ? R2
• (a, b) ? (c, d) ((a c)/2, (b d)/2) ? (a, b)
  , (c, d) ? R2 k ? (a, b) (k ?
  a, k ? b) ? k ? R ? ? (a, b) ? R2

Ejercicio Resuelto
Ejercicios para Practicar
Glosario
2) Dados los siguientes subconjuntos de R2 y
R3 a) (x, y) / x y b) (x, y) / y 2
c) (x, y) / y x 3 d) (x, y) / x y
/ 2 e) (1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1) (1, 2,
3) (1, 3, -1) (-2, 1, 4) (-3, -2, 5) (1, -1,
1) (2, -2, -3) f) (x, y, z) / z 0 g)
(x, y, z) / y 1 h) (x, y, z) / x 0, y 0
i) (x, y, z) / x y 1
Representar gráficamente los conjuntos dados y
establecer cuáles de ellos son subespacios de R2
o de R3 según corresponda, justificando la
respuesta.
Ejercicios para Practicar
Glosario
Ejercicio Resuelto
3
4) Determinar analíticamente si los siguientes
conjuntos de vectores constituyen una base de R2,
justificando la respuesta.
3) a) En R3 verificar que el vector (-1, 2, -1)
es combinación lineal de los vectores
siendo los escalares  a 2  b 3 y c 1 .
b) Expresar los vectores
como combinación lineal de los versores
Glosario
Ejercicio Resuelto
Ejercicios para Practicar
a) A (1, 2)  (-2, 1) b) B (1, 2) 
(2, 4) c) C (1, 3)  (1/2, -4)  (17/5, 8)
d) D (0, 0)  (2, 1)
Ejercicio Resuelto
Ejercicios para Practicar
Glosario
5) Dados los vectores
de R2 
a)   Verificar que el conjunto
es una base de R2
b) Hallar en la base
las coordenadas del vector
Ejercicios para Practicar
Glosario
Ejercicio Resuelto
4
6) Sean los conjuntos de vectores a) (x, y)
/ x y b) (x, y) / x y / 2 c) (x, y,
z) / z 0 d) (x, y, z) / x 0, y 0  
i) Determinar por lo menos dos bases distintas en
cada sub espacio ii) Determinar la
dimensión de cada sub espacio
Glosario
Ejercicio Resuelto
Ejercicios para Practicar
7) Una concesionaria de automóviles tiene sus
reportes mensuales de venta de autos expresados
en forma de matrices cuyas filas, en orden,
representan el número de modelos estándar y de
lujo, mientras que las columnas indican el número
de unidades de color rojo bermellón, azul
metalizado, gris plomo y verde acuario. La casa
central vendió en el mes de julio del modelo
estándar 10 unidades de color rojo bermellón, 5
azul metalizado, 7 gris plomo y 9 verde acuario y
en el modelo de lujo 6 unidades color rojo
bermellón, 7 azul metalizado, 5 gris plomo y 12
verde acuario. La venta del mes de agosto fue en
el modelo estándar ninguna unidad de color rojo
bermellón, 20 azul metalizado, 10 gris plomo y 5
verde acuario y en el modelo de lujo 10 unidades
color rojo bermellón, 5 azul metalizado, 7 gris
plomo y 12 verde acuario. De acuerdo a la
información dada a)   Exprese la matriz de
venta de la casa central para los meses de julio
y agosto.b) De qué clase es cada matriz ?c)
  Cuántos autos de modelo estándar y color rojo
bermellón se vendieron en los dos meses ?d)
Cuántos autos de cada modelo y color se vendieron
en los dos meses ?e)   Esta concesionaria de
automóviles tiene una sucursal, que vendió en los
meses de julio y agosto, el doble de lo vendido
en la casa central. Exprese la matriz de venta
para los meses de julio y agosto. f) Cuál
es la cantidad de autos vendidos por modelo y
color en los dos locales durante los meses
de julio y agosto ? Cuántos autos se hubieran
vendido en la sucursal si la venta en dicho
local hubiese sido el triple que en la casa
central ?
Ejercicios para Practicar
Glosario
Ejercicio Resuelto
5
10) Dadas las matrices 
8) Escribir  a) Una matriz F
? C3 x 3 tal que  fij 0 si i j  fij
i si i ? j
b) Una matriz G ? C3 x 2 tal que  gij 2 i j
si i gt j  gij i - j si i
? j
Ejercicio Resuelto
Ejercicios para Practicar
9) Sean las matrices A y B ? R2 x 3
Calcular  i) A B ii) 3 A iii) 2A - 3B
Ejercicio Resuelto
Ejercicios para Practicar
a) Escribir las matrices -A y D b)
Calcular, si es posible, B x A  D x A y D x B.
Ejercicios para Practicar
Ejercicio Resuelto
6
12) Calcular los siguientes determinantes
 11) Calcular los rangos de las siguientes
matrices 
Ejercicio Resuelto
Ejercicios para Practicar
Glosario
Glosario
Ejercicio Resuelto
Ejercicios para Practicar
7
Espacio Vectorial
1 a
Para que (V, , K, ?) sea espacio vectorial
se debe verificar que
1 b
Si x ? V e y ? V y ? es
un escalar del cuerpo K
1 c
1) ?x ? V , ?y ? V x y ? V Ley de
cierre para composición interna en V
2) ?x, ?y, ?z x, y, z ? V ? (x y) z x
(y z) Asociativa para
3) ?0 ? V / ?x x ? V ? x 0 0 x x Existe
Elemento Neutro para
4) ?x ? V, ?x ? V / x x x x 0 Existe
Elemento Inverso para
5) ?x, ?y x, y ? V ? x y y x
Conmutativa para
Hasta aquí se verificaron condiciones en V
respecto de , que hacen de (V, ) un grupo
abeliano
Ahora en las restantes condiciones analizaremos
el comportamiento de las operaciones y ? entre
elementos de V y de K
8
6) ?x ? V, ?? ? V ? ? x ? V Ley de
cierre
1 a
7) ?x ? V , ??, ?? ? K ? ? (? ? x) (? ? ?) ?
x Asociativa
1 b
1 c
8) ?x, ?y ? V, ?? ? K ? ? (x y) ? ? x ? ?
y
? es distributiva con respecto a
9) ?x ? V, ??, ?? ? K (? ?) ? x ? ? x ? ?
x
? es distributiva con respecto a
10) ?x ? V ? x ? 1 1 ? x x El elemento
neutro de ? es el 1 de K
9
1 a) Determinar si (R2, ?, R, ?) es un espacio
vectorial con las operaciones suma y producto
escalar - vector definidos por 
a) (a, b) ? (c, d) (a c, b d) ? (a,
b) , (c, d) ? R2  k ? (a, b) (k a, k
b)   ? k ? R , ? (a, b) ? R2
1) ? (a, b) , (c, d) ? R2 (a, b) ? (c, d)
(a c, b d) ? R2 L.C.I.
2) ?(a, b), (c, d), (e, f) ? R2 (a, b) ? (c,
d) ? (e, f) (a, b) ? (c, d) ? (e, f)
(a, b) ? (c, d) ? (e, f) (a c, b d) (e,
f) (a c e, b d f)
(a, b) ? (c, d) ? (e, f) (a, b) (c e, d
f) (a c e, b d f)
Asociativa
3) ? (e1, e2) ? R2 / ?(a, b) (a, b) ? R2 ? (a,
b) ? (e1, e2) (a e1, b e2) (a, b)
Existe Elemento Neutro para ?
4) ? (a, b) (a, b) ? R2, ?(a,b) ? R2 / (a ?
a, b ? b) (e1, e2)
Existe Elemento Inverso para ?
5) ? (a, b) (c, d) (a, b) (c, d) ? R2 ? (a,
b) ? (c, d) (c, d) ? (a, b)
Conmutativa para ?
1 b
1 c
10
6) ?(a, b) ? R2, ?? ? R ? ? (a, b) (? a, ?
b) ? R2
Ley de cierre para ? con un escalar
7) ? a, b) ? R2 , ??, ?? ? R ? ? ? ? (a, b)
? (? a, ? b) (? ? a, ? ? b)
(? ?) (a, b)
Asociativa para ? con R2 y R
8) ?(a, b), ?(c, d) ? R2, ?? ? R ? ? (a, b) ?
(c, d) ? (a c, b d) ? (a
c), ? (b d) (? a ? c, ? b ?
d) (? a, ? b) (? c, ? d) ?
(a, b) ? (c, d)
? Es distributivo con respecto de en R2 ?
9) ? (a, b) ? R2, ??, ?? ? R (? ? ?) ? (a, b)
(? ?) a, (? ?) b (? a ? a),
(? b ? b) (? a, ? b) (? a, ?
b) ? ? (a, b) ? ? ? (a, b)
? Es distributivo con respecto de en K
10) ? 1 ? R2 / ? (a, b) (a, b) ? R2 ? 1 ? (a,
b) (1 a, 1 b) (a, b)
Existe Elemento Neutro para ?
Se verifican todas las condiciones Es Espacio
Vectorial
11
1 b) Determinar si (R2, ?, R, ?) es un espacio
vectorial con las operaciones ? y ? definidas
por 
(a, b) ? (c, d) (a c, b d) ? (a, b) , (c,
d) ? R k (a, b) (a, a)   ? k ? R ? ?
(a, b) ? R2
La operación ? definida en R2 es la misma que
la del ejercicio anterior, por tanto las primeras
cinco condiciones se verifican, estudiaremos las
restantes
6) ?(a, b) ? R2, ?? ? R ? ? (a, b) (? ? a, ? ?
b) (a, a) ? R2 Ley de cierre para ?
con un escalar
7) ? (a, b) ? R2 , ??, ?? ? R ? ? ? ? (a, b)
? ? (? ? a, ? ? b) ? ? (a, a) (a, a) (?
? ?) ? (a, b) (? ? ?) ? a, (? ? ?) ? b (a,
a) Asociativa para ? con R2
y R
8) ?(a, b), ?(c, d) ? R2, ?? ? R ? ? (a, b) ?
(c, d) ? ? (a c, b d) ? ? (a
c), ? ? (b d) (a c, a c) ? ? (a,
b) ? ? ? (c, d) (a, a) (c, c) (a c, a
c)
? Es distributivo con respecto de en R2
9) ? (a, b) ? R2, ??, ?? ? R (? ? ?) ? (a, b)
(? ?) ? a, (? ?) ? b (a, a) (? ?) ?
(a, b) ? ? (a, b) ? ? (a, b) (a,a)
(a,a) (a a, a a )
Pero (a, a) ? (a a, a a)
No se verifica esta condición
? NO Es distributivo con respecto de en R
NO Es Espacio Vectorial
1 c
12
1 c) Determinar si (R2, ?, R, ?) es un espacio
vectorial con las operaciones suma y producto
escalar - vector definidos por 
(a, b) ? (c, d) ((a c)/2, (b d)/2) ? (a, b)
, (c, d) ? R2 k (a, b) (k a, k
b) ? k ? R ? ? (a, b) ? R2
1) ? (a, b) , (c, d) ? R2
? R2 L.C.I.
2) ?(a, b), (c, d), (e, f) ? R2 (a, b) (c,
d) (e, f) (a, b) (c, d) (e, f)
pero
?
NO Es Asociativa en R2
NO Es Espacio Vectorial
13
Subespacios
2 a
2 b - c
2 d
2 e
2 f
2 i
2 g - h
Dado un espacio vectorial (V, , K, ?)
y el conjunto no vacío S ? V
S es un sub conjunto del conjunto V
Si S es un espacio vectorial sobre el mismo
cuerpo K y con las mismas leyes de
composición interna que en V
(S, , K, ?) es un subespacio de (V, , K, ?) ó
S es subespacio de V
Escribimos de otra manera
Si (S, , K, ?) es un subespacio de (V, , K, ?)
Si 1) S ??
(S, ) es un sub grupo de (V, )
2) x ? S ? y ? S ? x y ? S
3) ? ? R ? x ? S ? ? x ? S
entonces el elemento neutro pertenece a S
14
2 a) Si A (x, y) ? R2 / x y
Representamos gráficamente
Para analizar si A es subespacio, verificamos que
se cumplan las tres condiciones suficientes para
que un conjunto sea subespacio.
x y x y


2 2 2 2
Pero previamente verificamos que el vector nulo
pertenezca al conjunto A
4 4 4 4
1) A ? ?
Efectivamente (0,0) ? A
2) Si
con
con
cerrada para la suma
pero
3) Si
cerrada para el producto por un escalar
pero
A es sub espacio de R2
2 i
2 g - h
2 f
2 e
2 d
2 b - c
15
2 b) B (x, y) / y 2
Representamos gráficamente
Antes de analizar si es subespacio verificamos si
el vector nulo pertenece al conjunto B
x y 2 y



2 2 2
B NO es sub espacio de R2
Pero (0,0) ? B
4 2 2
- 6 2 2
2 c) C (x, y) / y x 3
x y -x 3 y


2 - 2 3 1
6 - 6 3 -3
Pero (0,0) ? C
C NO es sub espacio de R2
2 i
2 g - h
2 f
2 e
2 d
16
2 d) D (x, y) / x y / 2
para representar gráficamente, haciendo pasajes
de términos, busco la forma y f(x)
Ahora puedo confeccionar tabla de valores y
representar gráficamente
x y 2x y


El nulo (0,0) ? D porque 0 2 ? 0
2 2 ? 2 4
1) D ? ?
2) Si
4 4 ? 2 8
con
con
cerrada para la suma
luego
3) Si
podés hacer la interpretación geométrica del
producto ?
pero
cerrada para el producto por un escalar
D es sub espacio de R2
2 i
2 g - h
2 f
2 e
17
2 e) E (1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1) (1,
2, 3) (1, 3, -1) (-2, 1, 4) (-3, -2, 5) (1,
-1, 1) (2, -2, -3)
Trazamos un par de ejes ortogonales x-y en el
plano (como si fuera en el piso de una habitación
Este conjunto tiene vectores de tres componentes,
que se representan gráficamente en el espacio.
y a este par de ejes le incorporamos el eje z,
perpendicular al plano determinado por x-y en el
origen de coordenadas (0,0)
Al punto (1,0,0) le corresponde x 1
y 0 y z 0
Al punto (0,1,0) le corresponde x 0
y z 0
y 1
Al punto (0,0,1) le corresponde x 0 y 0
y z 1
y 2
y z 3
Al punto (1,2,3) le corresponde x 1
y 3
y z -1
Al punto (1,3,-1) le corresponde x 1
y 1
y z 4
Al punto (-2,1,4) le corresponde x -2
y z 5
Al punto (-3,-2,5) le corresponde x -3
y -2
Al punto (1,-1,1) le corresponde x 1
y -1
y z 1
Al punto (2,-2,-3) le corresponde x 2
y -2
y z -3
El vector nulo (0,0,0) ? E
E NO es sub espacio de R2
2 i
2 g - h
2 f
18
2 f) F (x, y, z) / z 0
Este conjunto tiene vectores de tres componentes,
que se representan gráficamente en el espacio.
Pertenecen al conjunto vectores como
(2, 1, 0) (-1, 2, 0) (6, -1, 0)
también el vector nulo (0,0,0) ? F
al ser siempre la última componente 0 (z 0)
Todos los vectores del conjunto F están en el
plano x, y
cualquier punto del plano x, y ? F
1) F ? ? se verifica
2)
? F
3)
si ? 2 (puede tomar cualquier otro valor)
? F
F ES sub espacio de R2
2 i
2 g - h
19
2 g) (x, y, z) / y 1
Este conjunto tiene vectores de tres componentes,
que se representan gráficamente en el espacio.
Pertenecen al conjunto vectores como
(2, 1, 0) (-1, 1, 0) (6, 1, 0)
y cualquier otro vector que verifique y 1 (no
importa cuál sea x ó z)
pero el vector nulo (0,0,0) ? F
F NO es sub espacio de R3
2 h) (x, y, z) / x y 1
representamos la recta x y 1
Cualquier par de valores de x e y que verifiquen
esa ecuación, con cualquier valor de z pertenece
al conjunto de vectores
Pero (0,0,0) ? H
H NO es sub espacio de R3
por ejemplo
(1,0,6) (-1,2,3) etc
2 i
20
2 i) (x, y, z) / x 0, y 0
Este conjunto tiene vectores de tres componentes,
que se representan gráficamente en el espacio.
Pertenecen al conjunto vectores como
(0, 0, 4) (0, 0, 6) (0, 0, -2)
también el vector nulo (0,0,0) ? I
al ser siempre las dos primeras componentes 0
Todos los vectores del conjunto I están
contenidos en el eje z
1) I ? ? se verifica
2)
? I
3)
I ES sub espacio de R2
21
Combinación Lineal
Una combinación lineal del conjunto de vectores A
v1 v2 v3 . . . vn
Es cualquier vector v ?1 ? v1 ?2 ? v2 ?3 ?
v3 . . . ?n ? vn
con todos los ?i ? K
Por ejemplo dado el conjunto de vectores
A v1 v2 v3
donde
v1 (3,-1) v2 (-4,6) v3 (1, 2)
Si ?1 3 ?2 -2 ?3 -1
El vector v ?1?v1 ?2?v2 ?3?v3
3 ? (3,-1) (-2) ? (-4,6) (-1) ? (1,2)
v (9,-3) (8,-12) (-1,-2)
(9 8 - 1 - 3 12 - 2)
(16 - 17) es combinación lineal de A
Si hay alguna combinación lineal no trivial de
los vectores del conjunto A, cuyo resultado es el
vector nulo, decimos que A es linealmente
dependiente
Para saber si el conjunto A de nuestro ejemplo es
L.D. Debemos plantear
(0, 0) ?1 ? (3,-1) ?2 ? (-4,6) ?3 ? (1,2)
(3?1, -1?1) (-4?2, ?26) (?31,2)
(3?1 -4?2 ?3 -?1 6?2 2?3)
Sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas
22
Al sistema de ecuaciones
(1)
Lo resolvemos por sustitución
(2)
(3)
De (1)
Reemplazo ?3 en (2) y tengo
Ponemos ?2 en función de ?1
Ponemos ?3 en función de ?1, reemplazando
en (3)
Así es posible afirmar que para cualquier ?1 ? 0
?2 y ?3 son también distintos de 0
Si ?1 1 ?2 1/2 y ?3 -1
v ?1?v1 ?2?v2 ?3?v3
con ?1 ? 0 ?2 ? 0 y ?3 ? 0
Con estos escalares es posible establecer una
combinación lineal
El vector nulo es combinación lineal de los
vectores del conjunto A
Luego, los vectores de A son Linealmente
Dependientes
23
3 a) Para verificar si el vector (-1, 2, -1) es
combinación lineal de
Vamos a averiguar si es posible componer (-1, 2,
-1) a partir de la suma de los vectores
Previamente multiplicados por escalares
a 2 b 3 y c 1
Es combinación lineal
de
como combinación lineal de
3 b) Para expresar
escribimos
24
Sistema de Generadores
5 a
5 b
Si un conjunto de vectores A, de un espacio
vectorial (V, , K, ?)
4 a
es tal que cualquier vector del espacio vectorial
puede expresarse como combinación lineal de los
vectores del conjunto A
4 b
Se dice que A es un Sistema de Generadores de V
4 c
4 d
En la práctica, dado un conjunto de vectores A
v1 v2 v3 . . . vn
Se busca escribir cualquier vector de V, como
combinación lineal de los vectores de A
Base
Un conjunto de vectores A es Base de un Espacio
Vectorial si
Los vectores de A son linealmente independientes
A es un sistema de Generadores de V
Recuerde que los vectores son linealmente
independientes, si al establecer una combinación
lineal, la única forma de obtener el vector nulo,
es que todos los escalares de la combinación
lineal sean nulos
25
4 a) Para saber si A (1, 2)  (-2, 1) es
base de R2,
Averiguamos si (1, 2) y (-2, 1) son linealmente
dependientes, haciendo
(?1, 2 ?1) (-2 ?2, ?2) (0, 0)
?1 (1, 2) ?2 (-2, 1) (0, 0)
(?1 -2 ?2 , 2 ?1 ?2) (0, 0)
entonces
Por ser un sistema de ecuaciones homogéneo, si el
determinante principal es distinto de 0, el
conjunto de vectores es L.I. ya que ?1 ?2 0.
Pero si el determinante principal es igual a 0,
el conjunto de vectores es L.D. ya que al ser el
sistema homogéneo admitirá múltiples soluciones.
A es linealmente independiente
Investigamos la existencia de escalares reales ?1
y ?2 , que permitan escribir cualquier vector
como combinación lineal de los vectores del
conjunto A
y escribimos
Entonces proponemos un vector cualquiera (x, y)
? R2
4 b
4 d
4 c
26
Con los valores hallados de
Si dos vectores son iguales, sus componentes son
iguales
Resolvemos el sistema, aplicando el método de los
determinantes donde ?1 y ?2 son las incógnitas
planteamos
Vemos que para cada vector (x, y), existirán
valores de ?1 y ?2
A es un Sistema de Generadores de R2
Por ejemplo si v ( 3, 1 )
luego
( 3, 1 )
A es una Base de R2
4 b
4 d
4 c
27
4 b) Para saber si B (1, 2)  (2, 4) es
base de R2,
Averiguamos si (1, 2) y (2, 4) son linealmente
dependientes, haciendo
(?1, 2 ?1) (2 ?2, 4 ?2) (0, 0)
?1 (1, 2) ?2 (2, 4) (0, 0)
(?1 2 ?2 , 2 ?1 4 ?2) (0, 0)
entonces
Por ser un sistema de ecuaciones homogéneo, si el
determinante principal es distinto de 0, el
conjunto de vectores es L.I. ya que ?1 ?2 0.
Pero si el determinante principal es igual a 0,
el conjunto de vectores es L.D. ya que al ser el
sistema homogéneo admitirá múltiples soluciones.
B es linealmente dependiente
B NO es Base
4 d
4 c
28
4 c) Para saber si C (1, 3)  (1/2, -4) 
(17/5, 8) es base de R2,
verificamos si (1, 3) (1/2, -4) y (17/5, 8)
son linealmente dependientes,
?1 (1, 3) ?2 (1/2, -4) ?3 (17/5, 8) (0, 0)
Tenemos así un sistema homogéneo de dos
ecuaciones con tres incógnitas
Reemplazando en (1)
De (2)
si ?3 15 ?2 - 6
De manera que
Los vectores de C son L.D.
C NO es una Base de R2
4 d
29
4 d) Para saber si D (0, 0)  (2, 1)
es una Base de R2
Planteamos la siguiente expresión para averiguar
si los vectores de A son linealmente dependientes
entonces
Los vectores del conjunto A son linealmente
dependientes
para
cualquier conjunto de vectores al que pertenece
el vector nulo, es linealmente dependiente
A NO es una Base de R2
30
Coordenadas de un vector
5 a
6 a
Cada vector de R2 puede expresarse como una
combinación lineal de A
es una base de R2
Si
ya que los vectores de A son linealmente
independientes y sistema de generadores
Precisamente por ser A una base de R2
Entonces si v ? R2 existen y son únicos
los escalares a y b ? R
Donde a y b se llaman coordenadas del vector v
respecto de la base A
Tal que v a v1 b v2
DIMENSION DE UN SUBESPACIO VECTORIAL
Es el cardinal (número de vectores) de cualquiera
de sus bases
Por ejemplo
B es subespacio de R2
B (x,y) / x y
Son bases de B (1, 1) (2, 2)
La Dimensión de B es 1 (nº de
vectores en cada base de B)
31
5) Dados los vectores
de R2 
es una base de R2
5 a)   Verificar que el conjunto
verificamos si (1/2 , 2) y (3, 1) son
linealmente dependientes,
Tenemos así un sistema homogéneo de dos
ecuaciones con dos incógnitas
?1 (1/2, 2) ?2 (3, 1) (0, 0)
Base
Coordenadas
De (2)
Reemplazando en (1)
Reemplazando en (2)
Los vectores son Linealmente Independientes
Investigamos la existencia de escalares reales ?1
y ?2 , que permitan escribir cualquier vector
como combinación lineal de los vectores del
conjunto V
y escribimos
?1 (1/2, 2) ?2 (3, 1) (x, y)
5 b
32
Si dos vectores son iguales, sus componentes son
iguales
Resolvemos el sistema, aplicando el método de los
determinantes donde ?1 y ?2 son las incógnitas
Base
Coordenadas
Con los valores hallados de
Podemos ver que para cada vector (x, y),
existirán valores de ?1 y ?2
planteamos
V es un Sistema de Generadores de R2
V es una Base de R2
5 b
33
5 b) Para hallar las coordenadas del vector
En la base A u v donde u ( ½ 2
) v ( 3, 1 )
Planteamos la siguiente expresión
que resulta
Coordenadas
A partir de esta expresión por la igualdad de los
pares ordenados, planteamos un sistema de dos
ecuuaciones con dos incógnitas
Si b -2
De (1)
Reemplazo a en (2)
34
6) a) dimensión de (x, y) / x y
Si representamos gráficamente el conjunto,
obtenemos una recta (ver ejercicio 2a) donde
( x, y ) ? S ? ( x, y ) ( y, y )
Si y 1 ( 1, 1 ) ? S
Con (1, 1) puedo generar cualquier otro
vector que esté contenido en la recta x y con
multiplicar el vector por un escalar
estableciendo una combinación lineal
(1,1) es una base de (x, y) / x y
(2,2) también es base de (x, y) / x y

Cantidad de vectores de cualquier base del
subespacio
Dim (1)
Te queda comprobar que con esas bases (y con
cualquier otra base que vos propongas) se puede
genera cualquier vector que esté contenido en la
recta y x
6 b
6 d
6 c
35
6) b) dimensión de (x, y) / x y / 2
Si representamos gráficamente el conjunto,
obtenemos una recta (ver ejercicio 2d) donde
( x, y ) ? S ? ( x, y ) ( x, 2x )
Si x 1 ( 1, 2 ) ? S
Con (1, 2) puedo generar cualquier otro
vector que esté contenido en la recta x y /2
con multiplicar el vector por un escalar
estableciendo una combinación lineal
(1, 2) es una base de (x, y) / x
y / 2
(3, 6) es una base de (x, y) / x
y / 2
Cantidad de vectores de cualquier base del
subespacio
Dim (1)
Te queda comprobar que con esas bases (y con
cualquier otra base que vos propongas) se puede
generar cualquier vector que esté contenido en la
recta y 2 x
6 d
6 c
36
6) c) La dimensión de (x, y, z) / z 0

Si representamos gráficamente el conjunto,
obtenemos una recta (ver ejercicio 2f)
( x, y, z ) ? S ? ( x, y, z ) ( x, y, 0 )
Si x 1 ? y 4 ( 1, 4, 0 ) ? S
Con (1, 4, 0) NO puedo generar cualquier
otro vector que esté contenido en el plano x,y
Necesito otro vector, por ejemplo
Si x 6 ? y 3 ( 6, 3, 0 ) ? S
Con (1, 4, 0) (6, 3, 0) puedo generar
cualquier otro vector que esté contenido en el
plano x,y
estableciendo una combinación lineal
Cantidad de vectores de cualquier base del
subespacio
(1, 4, 0) (6, 3, 0) es una base de
(x, y, z) / z 0
(3, 6, 0) (-1, 2, 0) también es es una
base de (x, y) / x y / 2
Dim (2)
Te queda comprobar que con esas bases (y con
cualquier otra base que vos propongas) se puede
generar cualquier vector que esté contenido en el
plano (x, y, 0)
6 d
37
6) d) La dimensión de (x, y, z) / x
0, y 0
Si representamos gráficamente el conjunto,
obtenemos una recta (ver ejercicio 2i)
( x, y, z ) ? S ? ( x, y, z ) ( 0, 0, z )
Si z 1 ( 0, 0, 1 ) ? S
Con (0, 0, 1) puedo generar cualquier otro
vector que esté contenido sobre el eje z
estableciendo una combinación lineal
(0, 0, 1) es una base de (x, y, z)
/ x 0, y 0
(0, 0, 3) también es es una base de
(x, y, z) / x 0, y 0
Cantidad de vectores de cualquier base del
subespacio
Dim (1)
Te queda comprobar que con esas bases (y con
cualquier otra base que vos propongas) se puede
generar cualquier vector que esté contenido en la
recta (0, 0, z)
38
MATRICES
informalmente una matriz es un conjunto de
elementos ordenados en filas y columnas
Esta matriz tiene m filas y n columnas
El número de filas no tiene por qué ser igual al
número de columnas, pero si esto sucede, la
matriz es cuadrada
operaciones con matrices ver en los ejercicios
resueltos
Una matriz conformada con los mismos elementos
que los de la matriz A, pero dispuestos de manera
diferente, es una matriz distinta de A
39
7 a) De la consigna extraemos los siguientes
datos en forma ordenada
Mes Julio Mes Julio Mes Julio Mes Julio Mes Agosto Mes Agosto Mes Agosto Mes Agosto
R A G V R A G V
estándar 10 5 7 9 0 20 10 5
de lujo 6 7 5 12 10 5 7 12
De manera que es posible componer dos matrices,
una para cada mes
La clase de una matriz está dada por la cantidad
de filas y de columnas
7 b) J es de clase 2 por 3, y se escribe J(2x3)
A es de la misma clase, A(2x3)
7 c) Para saber cuántos autos de modelo estándar
y color rojo bermellón se vendieron en los dos
meses
sumamos el correspondiente al mes de
Julio y el correspondiente al mes de Agosto
esto es 10
0
10
7 f g
7 d e
40
7 d) Para saber cuántos autos de cada modelo y
color se vendieron en los dos meses
Sumamos las matrices que representan cada uno de
los meses
se efectúa sumando ordenadamente los elementos de
cada fila y columna entre sí
7 e) Si la sucursal vendió en los meses de
julio y agosto, el doble de lo vendido en la
casa central.
al resultado de la suma de ambos meses, lo
multiplicamos por 2 (duplicamos)
que se resuelve multiplicando por 2 cada elemento
de la matriz (J A )
7 f g
41
7 f) Cuál es la cantidad de autos vendidos por
modelo y color en los dos locales durante los
meses de julio y agosto ?
Sumamos a lo vendido en casa central
lo vendido en la sucursal
7 g) si la venta en la sucursal hubiese sido
el triple que en la casa central
42
8) a) Escribir una matriz F ? C3 x 3 tal que 
fij 0 si i j  fij i
si i ? j
Si la matriz F es de clase 3 x 3 F(3x3)
tiene tres filas
y tres columnas
Donde los subíndices de cada elemento, significan
el orden de filas y columnas que le corresponde,
según su ubicación
Podemos escribir la matriz F de la siguiente
manera
Es el elemento ubicado en la fila i
columna j
Si fij 0 cuando i j
Es el elemento ubicado en la fila 3 columna
2
f11 0 f22 0 f33 0
y cuando i ? j fij i entonces
f12 1 f13 1 f21 2 f23 2
f31 3 f32 3
entonces
8 b
43
8 b) La matriz G ? C3 x 2 tal que  gij 2 i
j si i gt j  gij i
- j si i ? j
La matriz G es de clase 3 x 2 G(3x2)
tiene tres filas
y dos columnas
Donde los subíndices de cada elemento, significan
el orden de filas y columnas que le corresponde,
según su ubicación
Podemos escribir la matriz G de la siguiente
manera
Es el elemento ubicado en la fila i
columna j
En g11 i j luego g11 1 1 0
En g22 i j luego g22 2 2 0
En g12 i lt j luego g12 1 2 -1
En g31 i gt j luego g31 2?3 1 7
En g32 i gt j luego g32 2?3 2 8
En g21 i gt j luego g21 2?2 1 5
entonces
44
9 i) A B
9 ii) 3 A
9 iii) 2A - 3B
45
10 a) Para escribir la opuesta de una matriz,
cambiamos los signos de la matriz cuya opuesta
buscamos
Si
10 b) B x A
Evaluamos la clase de cada una de las matrices
que vamos a multiplicar
que tendrá igual cantidad de filas que la primera
matriz
Para que el producto de matrices sea posible, las
columnas de la primera matriz deben coincidir con
las filas de la segunda matriz
B(3x4) x A(4x3)
e igual cantidad de columnas que la segunda matriz
( 3 x
el resultado será una matriz M
3 )
46
Trazamos dos rectas perpendiculares entre sí
B x A
En el cuadrante inferior izquierdo colocamos la
matriz B
En el cuadrante superior derecho colocamos la
matriz A
-11
14
-35
7
Y efectuamos la sumatoria del producto de los
elementos de cada fila de la primera matriz
-15
-15/2
-31
-18
18
-5
5
1/2
Por los elementos de cada columna de la segunda
matriz
1 ? 1 5 ? 0 2 ? 3 (-6) ? 3
-11
1 ? 2 5 ? 1 2 ? ½ (-6) ? (-1)
14
(-1) ? 1 5 ? 0 (-1) ? 3 3 ? 3
5
-35
1 ? (-1) 5 ? 0 2 ? 7 (-6) ? 8
(-1) ? 1 5 ? 1 (-1) ? ½ 3 ? (-1)
1/2
7
1 ? 3 5 ? 0 2 ? 2 (-6) ? 0
(-1) ? (-1) 5 ? 0 (-1) ? 7 3 ? 8
18
0 ? 1 1 ? 0 (-9) ? 3 4 ? 3
-15
(-1) ? 3 5 ? 0 (-1) ? 2 3 ? 0
- 5
0 ? 2 1 ? 1 (-9) ? ½ 4 ? (-1)
-15/2
-31
0 ? (-1) 1 ? 0 (-9) ? 7 4 ? 8
-18
0 ? 3 1 ? 0 (-9) ? 2 4 ? 0
47
El resultado obtenido será
Evaluamos la clase de cada una de las matrices
que vamos a multiplicar
D x A
En este caso esto no es así
Para que el producto de matrices sea posible, las
columnas de la primera matriz deben coincidir con
las filas de la segunda matriz
D(3x3) x A(4x4)
Las columnas de D son 3 y las filas de A son 4
No es posible realizar D x A
48
D x B
Evaluamos la clase de cada una de las matrices
que vamos a multiplicar
Para que el producto de matrices sea posible, las
columnas de la primera matriz deben coincidir con
las filas de la segunda matriz
D(3x3) x B(3x4)
el resultado será una matriz
( 3 x
4 )
M
1 ? 1 (-4) ? 0 3 ? (-1) - 2
D x B
1 ? 5 (-4) ? 1 3 ? 5 16
1 ? 2 (-4) ? (-9) 3 ? (-1) 35
1 ? (-6) (-4) ? 4 3 ? 3 -13
(-2) ? 1 1 ? 0 2 ? (-1) -4
-2
16
35
-13
(-2) ? 5 1 ? 1 2 ? 5 1
-4
1
-15
22
(-2) ? 2 1 ? (-9) 2 ? (-1) -15
-1
-4
-11
10
(-2) ? (-6) 1 ? 4 2 ? 3 22
(-1) ? 1 1 ? 0 0 ? (-1) -1
(-1) ? 5 1 ? 1 0 ? 5 -4
(-1) ? 2 1 ? (-9) 0 ? (-1) -11
(-1) ? (-6) 1 ? 4 0 ? 3 10
49
Rango de una Matriz
El Rango de una matriz es su rango fila ó su
rango columna (que siempre coinciden)
Rango fila ó rango columna de una matriz es el
máximo número de vectores filas ó vectores
columnas linealmente independientes de la matriz
Para conocer el rango de una matriz, podemos
analizar cada fila (o columna) como vectores y
determinar si son o no linealmente independientes
Otra manera de hacerlo es efectuando una serie de
operaciones elementales sobre la matriz, y al
cabo de un número determinado de operaciones
elementales, habremos encontrado el rango de la
matriz, ya que habremos obtenido otra matriz del
mismo rango
Operaciones elementales sobre una matriz
1. Permutación de dos filas entre sí, o de dos
columnas entre sí
2. Adición de una fila a otra ó de una columna a
otra.
3. Multiplicación de una fila ó de una columna
por un escalar no nulo.
50
Método de Gauss Jordan para determinar el rango
de una matriz
Este método es una manera mecánica de operar en
forma ordenada pasos repetitivos de operaciones
elementales y al cabo de un número finito de
pasos, se obtiene el máximo número posible de
vectores canónicos linealmente independientes,
que es precisamente el rango de la matriz
Sea A una matriz no nula de la que se indicaron
solo algunos elementos
Elegimos cualquier elemento distinto de 0 al que
llamaremos pivote
En nuestro caso el pivote será a11 a
Reducimos a 1 el pivote y a 0 los restantes
elementos de la columna del pivote
y los restantes elementos de la fila que quedan
se dividen por el pivote
Luego a cada elemento se le resta
el producto de la contradiagonal que forman el
pivote con el elemento que transformamos
dividido por el pivote
Luego se reitera el procedimiento eligiendo
pivotes que no estén en la misma fila ni en la
misma columna que los pivotes ya elegidos en
pasos anteriores
51
Por ejemplo Hallar el rango de la matriz
Tomamos como pivote el elemento de la 1º fila y
1ºcolumna
Reducimos a 1 el pivote y a 0 los restantes
elementos de la columna del pivote y los
restantes elementos de la fila se dividen por el
pivote (1) y quedan como están
Luego a cada elemento se le resta el producto de
la contradiagonal que forman el pivote con el
elemento que transformamos dividido por el pivote
Se transforma en
Luego se repite el procedimiento, ahora tomo 3
como pivote
Se transforma en
Se transforma en
al dividir 6 por el pivote (-3) se hace 2
Se transforma en
Se transforma en
Se transforma en
52
La matriz hallada
No se puede seguir transformando por Gauss-Jordan
porque el próximo pivote debe ser de la 3º
columna 3º fila y este elemento es 0
Pero 0 no puede ser pivote
En este caso, el rango de la matriz A es 2 porque
son dos las filas linealmente independientes de
la matriz
porque los elementos de la terceras fila después
de todas las transformaciones posibles, son todos
nulos (0) significa que esa fila es combinación
lineal de las otras dos
Gauss-Jordan no es el único método para efectuar
operaciones elementales en una matriz, pero lo
adoptamos porque es el método que nos provee
Un algoritmo eficiente (en un número determinado
de pasos entrega la solución)
Aunque para ello debes estar muy entrenado en el
cálculo de operaciones con fracciones . . .
53
11 a) Para calcular el rango de
Tomamos el pivote 2 de la 1º fila 1º columna
Dividimos la fila por el pivote
y hacemos 0 los elementos restantes de la columna
del pivote
Y completamos los restantes elementos de la 2º
fila
Tomamos el pivote 3 de la 2º fila 2º columna
trabajamos ahora con los elementos de la 3º fila
Dividimos la fila por el pivote
y hacemos 0 los elementos de la columna del pivote
completamos los restantes elementos de la 1º fila
y completamos los restantes elementos de la 3º
fila
11 b
54
El próximo pivote debe estar en la 3º fila, en
las columnas 3º ó 4º
Pero ambos elementos son 0 y el pivote debe ser
distinto de 0
En consecuencia las operaciones elementales se
terminaron en esta matriz
La matriz de tres filas quedó con una fila de
elementos nulos
Existen otros métodos para realizar operaciones
elementales en una matriz
El Rango de la matriz será la cantidad de filas
con al menos un elemento distinto de 0
NOTA. El pivote que se elige puede ser cualquier
elemento, con tal que no sea de una fila y/o
columna repetida. No tiene porqué seguir un
orden, y si estás trabajando sin calculadora te
conviene que los pivotes sean los 1
pero nosotros explicamos Gauss-Jordan porque es
un método algorítmico, y como tal puede
programarse.
11 b
55
11 b) Calculamos el rango de B
tomamos el pivote 1 de la 1º fila 1º columna
Dividimos la fila por el pivote
y hacemos 0 los elementos restantes de la
columna del pivote
y completamos los restantes elementos de la 2º
fila
completamos los restantes elementos de la 3º fila
los restantes elementos de la 4º fila son
Tomamos como pivote el 1 de la 4º fila 2º columna
56
y completamos los restantes elementos de la 1º
fila
Dividimos la fila por el pivote
y hacemos 0 los elementos restantes de la
columna del pivote
y completamos los restantes elementos de la 2º
fila
y completamos los restantes elementos de la 3º
fila
Tomamos como pivote el 4 en la 2º fila 3º columna
Dividimos la fila por el pivote
y hacemos 0 los elementos restantes de la
columna del pivote
completamos
57
En la matriz resultante
El único elemento que puede ser pivote está en la
3º fila 4º columna
También puede transformarse en canónica si
a la tercera fila le multiplicamos por -1
a la primera fila le sumamos la tercera fila
multiplicada por -3/4
a la segunda fila le sumamos la tercera fila
multiplicada por 5/4
a la cuarta fila le sumamos la tercera fila
multiplicada por 2
Y la matriz queda con cuatro filas linealmente
independientes, por tanto
El Rango de la matriz B es 4
58
Determinantes
Determinante es una función f Kn x n ? K
que se escribe det A ó ?A?
Determinante es una función definida en el
conjunto de las matrices cuadradas que tiene
imagen en conjunto de números reales (si los
elementos de la matriz son complejos, la imagen
puede ser un complejo).
Dada una matriz A de clase n x n, se llama MENOR
del elemento aij al determinante de la matriz de
orden n-1 que se obtiene de A, suprimiendo la
fila i y la columna j
59
Una definición de determinante por recurrencia
requiere
i) Definir el determinante de orden 1
A ( a11 ) ? ?A? a11
ii) Definir el determinante de orden k1
suponiendo conocido el determinante de orden k
entonces
Por ejemplo
60
En determinantes de 3X3
-

ordenando resulta
lo que verifica la regla de Sarrus
Una vez escrito el determinante que queremos
calcular, transcribimos las dos primeras filas
como se indica
Luego se suman (y restan) el producto de las
diagonales ( y de las contradiagonales) según
corresponda
61
Las reglas antes vistas sirven solamente para
determinantes de 2 x 2 y de 3 x 3
Si el determinante es de orden 4 (o mayor), ya no
contamos con reglas para calcularlo, pero podemos
hacerlo mediante el método del desarrollo por los
elementos de una línea
donde tendremos que calcular 4 determinantes de
orden 3
Si el determinante fuera de orden superior,
siempre es posible reducir a uno de orden
inferior en 1 y así sucesivamente, hasta
encontrar el de 3 x 3 y aplicar la regla de Sarrus
62
12 a) El determinante
Se resuelve restándole al producto de la diagonal
el producto de la contradiagonal
Para resolver ?B? de orden 3 se aplica la regla
de Sarrus
Transcribo las dos primeras filas al final del
determinante
Efectuamos la suma de los productos de las
diagonales
A esto le restamos los productos de las
contradiagonales
63
El determinante
No se puede resolver con ninguna regla particular
por ser de orden 4
Aplicamos el desarrollo por los elementos de una
línea
Vamos a desarrollarlo por los elementos de la
segunda fila
64
Todo esto hecho con entusiasmo puede parecerse a
. . .
Un juego de niños
Si lo puedes imaginar, lo puedes lograr.   Toda
nuestra ciencia, comparada con la realidad, es
primitiva e infantil . . . y sin embargo es lo
mas preciado que tenemos. El hombre encuentra a
Dios detrás de cada puerta que la ciencia logra
abrir. 
Albert Einstein