UNIVERSIDAD LATINA DE COSTA RICA DISTRIBUCION NORMAL

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UNIVERSIDAD LATINA DE COSTA RICADISTRIBUCION
NORMAL
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DISTRIBUCION DE VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

• La variable en estudio es continua todas las
  dimensiones (altura, peso, temperatura, ph,
  espesor, área, volumen, diámetro,
• La variable toma valores en el conjunto de los
  números reales y no es estrictamente mayor-igual
  que cero.
• Ejemplo de variables negativas temperatura,
  diferencias de diámetro u otras medidas
• Probabilidades de gt,,lt,gt,lt son básicamente los
  mismos.

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DISTRIBUCION NORMAL

• Cuándo usar esta distribución?
• Para que la teoría de normalidad puede ser usada
  se deben cumplir con las siguientes propiedades
• Comportamiento de simetría lo que implica que la
  probabilidad de ocurrencia de un valor Xlt la
  media es aproximadamente igual a la de un valorgt
  que la media.
• El área total bajo la curva es 1, definida de -?
  a ? .
• La moda, media y mediana son iguales.
• Media (?) y varianza (?2) determinan la curva y
  se pueden calcular las probabilidades deseadas.
• Forma de la curva normal campana de Gauss

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DISTRIBUCION NORMAL
Fórmulas
El valor esperado de la media es ? y el de la
varianza es ?2.
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DISTRIBUCION NORMAL
Forma de la curva
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DISTRIBUCION NORMAL

• Cómo usar las tablas?
• Las tablas de esta distribución dan valores de
  probabilidad acumulados de izquierda a derecha y
  para extraer estos valores se sigue el siguiente
  procedimiento
• Asegurar que la variable sigue un comportamiento
  de normalidad (esto se hace con una prueba de
  bondad de ajuste).
• Calcular los valores de la desviación estándar y
  el promedio y determinar el valor de x para el
  que se desea calcular la probabilidad.
• Calcular el valor de Z(x-?)/?.

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DISTRIBUCION NORMAL

• Cómo usar las tablas?
• Localizar en tablas el valor de la probabilidad
  asociada a ese valor de Z. Los valores de Z
  pueden ser negativos o positivos. Los primeros
  dos dígitos de Z se encuentran en la columna de
  la izquierda y el tercer dígito en la parte
  superior de la tabla. Por ejemplo si Z es igual
  -3.21 entonces el valor de la probabilidad es
  0.0007 pues se localiza en la intersección de
  -3.2 en la columna de la izquierda y 0.01 en la
  parte superior tal y como se muestra a
  continuación.
• Tabla se puede usar al
• revés.

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DISTRIBUCION NORMAL

• EJEMPLO 1
• Una empresa especifica que el peso medio de uno
  de sus productos debe ser de 2 Kg. con una
  desviación estándar de 0.05 Kg. Sabiendo que
  esta variable se distribuye normalmente
• a. cuál es la probabilidad de que un producto
  pese
• menos de 1.93 Kg?
• mas de 2.02 Kg.?
• entre 1.90 y 2.06 Kg.?
• b. Si la probabilidad a la izquierda de X gramos
  es 0.015, cuánto vale x?

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DISTRIBUCION NORMAL

• SOLUCION
• a. ?2 Kg. ?0.05 Kg.
• P(x?1.93)?
• La probabilidad de que un producto pese menos de
  1.93 Kg. es 0.0808.
• P(x?2.02)1-P(x?2.02)1-0.65540.3446
• La probabilidad de que un producto pese mas de
  2.02 Kg. es 0.3446.

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DISTRIBUCION NORMAL

• SOLUCION
• P(1.90?x?2.06)?
• La probabilidad de que un producto pese entre
  1.90 y 2.06 Kg. es 0.8621.
• b. P(Xltx)0.015
• Entonces
• El valor de x es 1.8915 gramos.

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DISTRIBUCION NORMAL
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DISTRIBUCION NORMAL
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DISTRIBUCION NORMAL
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DISTRIBUCION NORMAL
EXCEL Una empresa especifica que el peso medio de
uno de sus productos debe ser de 2 Kg. con una
desviación estándar de 0.05 Kg. Sabiendo que
esta variable se distribuye normalmente. a.
cuál es la probabilidad de que un producto
pese menos de 1.93 Kg. mas de 2.02 Kg. entre
1.90 y 2.06 Kg.? b. cuál es el valor de peso
cuya probabilidad a la izquierda es de 0.1293?
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DISTRIBUCION NORMAL

• EXCEL
• SOLUCIÓN
• a. ?2 Kg. ?0.05 Kg.
• P(x?1.93)?
• En Excel se pulsa en el menú
• INSERTAR, FUNCIÓN, ESTADÍSTICAS, DISTR.NORM
• P(x?1.93) se introduce el valor de x que es 1.93,
  el valor de la media que es 2 y el valor de la
  desviación estándar que es de 0.05. En el Acum
  se escribe Verdadero pues es la función
  acumulada. Excel retorna el valor de la
  probabilidad que es 0.080756.

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DISTRIBUCION NORMAL

• EXCEL
• SOLUCIÓN a. ?2 Kg. ?0.05 Kg.
• P(x?1.93)?

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DISTRIBUCION NORMAL

• EXCEL
• SOLUCIÓN
• P(x?2.02)?
• En Excel se pulsa en el menú
• INSERTAR, FUNCIÓN, ESTADÍSTICAS, DISTR.NORM
• P(x?2.02)1- P(x?2.02)?
• P(x?2.02) se introduce el valor de x que es
  2.02, el valor de la media que es 2 y el valor de
  la desviación estándar que es de 0.05. En el
  Acum se escribe Verdadero pues es la función
  acumulada. Excel retorna el valor de 0.6554. Sin
  embargo, lo que se pide es el complemento, sea
  0.3446.

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DISTRIBUCION NORMAL
EXCEL SOLUCIÓN P(x?2.02)?
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DISTRIBUCION NORMAL

• EXCEL
• SOLUCIÓN
• P(1.9?x?2.06)?
• En Excel se pulsa en el menú
• INSERTAR, FUNCIÓN, ESTADÍSTICAS, DISTR.NORM
• P(1.9?x?2.06)P(x?2.06)- P(x?1.9)0.88493-0.02275
  0.86218
• P(x?2.06) se introduce el valor de x que es
  2.06, el valor de la media que es 2 y el valor de
  la desviación estándar que es de 0.05. En el
  Acum se escribe Verdadero pues es la función
  acumulada. Excel retorna el valor de la
  probabilidad acumulada y que es 0.88493.

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DISTRIBUCION NORMAL

• EXCEL
• SOLUCIÓN
• P(1.9?x?2.06)?
• P(x?1.9) se introduce el valor de x que es 1.9,
  el valor de la media que es 2 y el valor de la
  desviación estándar que es de 0.05. En el Acum
  se escribe Verdadero pues es la función
  acumulada. Excel retorna el valor de la
  probabilidad acumulada hasta ese valor y que es
  0.02275. La resta de estos valores es la
  respuesta.

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DISTRIBUCION NORMAL

• EXCEL
• SOLUCIÓN
• P(1.9?x?2.06)?

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DISTRIBUCION NORMAL
EXCEL SOLUCIÓN b. P(x?X)0.1293 X? En
Excel se pulsa en el menú y se elige Normal
inversa. INSERTAR, FUNCIÓN, ESTADÍSTICAS,
DISTR.NORM.INV P(x?X) se introduce el valor de
la probabilidad que es 0.1293, el valor de la
media que es 2 y el valor de la desviación
estándar que es de 0.05. Excel retorna el valor
de X que es 1.435.
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DISTRIBUCION NORMAL
EXCEL SOLUCIÓN b. P(x?X)0.1293 X?
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DISTRIBUCION NORMAL

• TAREA
• 1. Suponga que la fuerza que actúa sobre una
  columna que ayuda a sostener un edificio está
  normalmente distribuida con media de 15.0 psi y
  desviación estándar de 1.25 psi. Cuál es la
  probabilidad de que la fuerza
• Sea a lo sumo 17 psi?
• Sea entre 12 y l7 psi?
• Difiera de 15 psi en a lo sumo 1.5 psi?

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DISTRIBUCION NORMAL
TAREA 2. Un tipo particular de tanque de gasolina
para un automóvil compacto está diseñado para
contener 15 galones. Suponga que la capacidad X
de un tanque escogido al azar esté normalmente
distribuido con media de 15 galones y desviación
estándar de 0.2 galones. Cuál es la probabilidad
de que un tanque seleccionado al azar a.
contenga a lo sumo 14.8 galones? b. contenga
entre 14.7 y 15.1 galones? c. Si el automóvil en
el que se instala un tanque seleccionado al azar
recorre exactamente 25 millas por galón, cuál es
la probabilidad de que pueda recorrer 397 millas
sin reabastecerse?
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DISTRIBUCION NORMAL
TAREA 3. Hay dos máquinas, para cortar corchos
destinados para usarse en botellas de vino. La
primera produce corchos con diámetros que están
normalmente distribuidos con media de 3 cms y
desviación estándar de 0.1 cm. La segunda máquina
produce corchos con diámetros que tienen una
distribución normal con media de 3.04 cms
desviación estándar de .02 cm. Los corchos
aceptables tienen diámetros entre 2.9 cm y 3.1
cm. Cuál máquina tiene más probabilidad de
producir un corcho aceptable?
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DISTRIBUCION NORMAL
TAREA 4. El ancho de una línea grabada en un
circuito integrado está normalmente distribuido
con media de 3.000 micras y desviación estándar
de 0.150 micras. Qué valor de ancho separa el 0
más ancho de todas las líneas del otro 90? 5. La
lectura de temperatura de un termopar puesto en
un medio de temperatura constante está
normalmente distribuida con media ? y desviación
estándar s. Cuál tendría que ser el valor de s
para asegurar que el 95 de todas las lecturas se
encuentren dentro del 0.10 de ??
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DISTRIBUCION NORMAL
TAREA 6. Se sabe que es normal la distribución de
resistencia para resistores de cierto tipo, 10
de todos los resistores tienen una resistencia
que excede los 10.256 ohms, y 5 tiene una
resistencia menor de 9.671 ohms. Cuáles son el
valores de la media y de la desviación estándar
de la distribución de resistencia? 7. Si el
diámetro de un cojinete está normalmente
distribuido, cuál es la probabilidad de que el
diámetro de un cojinete seleccionado al azar
esté a. Dentro de 1, 2 y 3s de su valor
medio? b. A más de 2.5s de su valor medio? c.
Entre 1 y 2s de su valor medio?