GEOGF211 Principes de cartographie topographique et projections

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GEOG-F-211Principes de cartographie
topographique et projections
Dimitri Leemans
BA2 et BA3 en Géographie Licence en Géographie
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IV. Etude générale des altérations. Ellipse et
indicatrice de Tissot

• Etude générale des altérations
• Loi des altérations. Indicatrice de Tissot
• Etude des altérations à laide de lindicatrice
  de Tissot

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IV.1. Etude générale des altérations
a) Une superficie élémentaire de lellipsoïde Par
le point A(f,l), traçons le méridien l et le
parallèle f. Traçons également un méridien et un
parallèle infiniments rapprochés
P
Al
fdf
f
Am
Ap
q
A
ldl
l
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IV.1. Etude générale des altérations
P
Al
fdf
f
Am
Ap
q
A
ldl
l
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IV.1. Etude générale des altérations
P
Al
fdf
f
Am
Ap
q
A
ldl
l
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IV.1. Etude générale des altérations
b) Projection de la superficie élémentaire Les
lois générales du système de projection adopté
sont Le rectangle élémentaire est représenté
par un parallélogramme élémentaire.
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IV.1. Etude générale des altérations
Y
al
am
ds
ap
q
dsm
am
a
dsp
ap
a
X
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IV.1. Etude générale des altérations
Différentiation des formules
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IV.1. Etude générale des altérations
Notations à usage universel
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IV.1. Etude générale des altérations

• Calcul de aam
• f est la seule variable, l reste constant
• Calcul de aap
• l est la seule variable, f reste constant

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IV.1. Etude générale des altérations

• Calcul de aal
• f et l sont variables

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IV.1. Etude générale des altérations
Calcul des directions de ces éléments Les côtés
aam, aap et aal forment avec laxe OX des angles
que lon calcule aisément par la formule
générale Remarque à langle q correspond
qa-ap
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IV.1. Etude générale des altérations
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IV.2. Loi des altérations. Indicatrice de Tissot
a) Représentation dans le système de projection,
dune circonférence infiniment petite de
lellipsoïde Sur lellipsoïde, considérons un
cercle infiniment petit de centre A et de rayon
ds. Léquation générale de cette courbe est
ds constante
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IV.2. Loi des altérations. Indicatrice de Tissot
Passer de A à un point de ce cercle signifie que
le f et le l de A subissent des accroissements df
et dl liés par la relation
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IV.2. Loi des altérations. Indicatrice de Tissot
b) Equation de la courbe représentative de cette
circonférence dans le système de
projection En éliminant df et dl, on obtient
léquation de la transformée plane du petit
cercle.
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IV.2. Loi des altérations. Indicatrice de Tissot
1ère étape on résout le système ce qui donne les
expressions de df et dl en fonction de dx et
dy 2ème étape en introduisant ces expressions
dans léquation on obtient, tous calculs
faits, léquation dune ellipse infiniment petite
dans le plan.
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IV.2. Loi des altérations. Indicatrice de Tissot
1ère étape
19
IV.2. Loi des altérations. Indicatrice de Tissot
20
IV.2. Loi des altérations. Indicatrice de Tissot
On pose On peut alors réécrire léquation
21
IV.2. Loi des altérations. Indicatrice de Tissot
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IV.2. Loi des altérations. Indicatrice de Tissot
c) Lindicatrice de Tissot Léquation précédente
représente une ellipse infiniment petite. Pour en
déduire lindicatrice de Tissot, il suffit de
considérer comme coordonnées les rapports
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IV.2. Loi des altérations. Indicatrice de Tissot
Léquation devient
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IV.2. Loi des altérations. Indicatrice de Tissot
Calcul du discriminant Equation générale dune
conique Discriminant Ici, on a gt une ellipse,
qui est caractéristique du système de projection.
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IV.2. Loi des altérations. Indicatrice de Tissot
d) Rapport de distance ou échelle de la
projection On définit le rapport de distance ou
léchelle de la projection (égale à léchelle de
la carte, à un facteur constant près, tel par ex.
1/10.000 ou 1/50.000) le rapport (rapport de la
représentation dun arc élémentaire à celle de
larc lui-même)
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IV.2. Loi des altérations. Indicatrice de Tissot
Divisons le numérateur et le dénominateur par
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IV.2. Loi des altérations. Indicatrice de Tissot
Léquation devient Or
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IV.2. Loi des altérations. Indicatrice de Tissot
Doù
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IV.2. Loi des altérations. Indicatrice de Tissot
e) Valeurs maxima et minima de k Posons Pour
obtenir les extremas, on résout
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IV.2. Loi des altérations. Indicatrice de Tissot
Cette équation du 2ème degré admet comme
racines
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IV.2. Loi des altérations. Indicatrice de Tissot
f) Directions principales On déduit de léquation
précédente que le produit des racines égale
-1 Les deux directions suivant lesquelles
léchelle est respectivement maxima et minima
sont donc perpendiculaires entre elles. Elles se
dénomment directions principales.
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IV.2. Loi des altérations. Indicatrice de Tissot
Remarque
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IV.2. Loi des altérations. Indicatrice de Tissot
g) Les représentations planes des directions
principales sont également perpendiculaires entre
elles.
Y
Il en résulte que ces deux directions sont celles
des axes de lellipse de Tissot.
B
A
q2
q1
o
X
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IV.2. Loi des altérations. Indicatrice de Tissot
Démonstration On divise le numérateur et le
dénominateur par dl.
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IV.2. Loi des altérations. Indicatrice de Tissot
Démonstration Rappel
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IV.2. Loi des altérations. Indicatrice de Tissot
Démonstration Ecrivons cette relation pour
chacune des valeurs q1 et q2 et effectuons le
produit des expressions obtenues.
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IV.2. Loi des altérations. Indicatrice de Tissot
Démonstration Rappel
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IV.2. Loi des altérations. Indicatrice de Tissot
Démonstration
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IV.2. Loi des altérations. Indicatrice de Tissot
Démonstration Selon les notations universelles
de E, F et G Et donc
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IV.2. Loi des altérations. Indicatrice de Tissot
h) Théorème de Tissot En chaque point de la
surface à projeter, il y a deux directions
principales, perpendiculaires entre elles (et, si
les angles ne sont pas conservés, il ny en a que
deux) telles que les courbes qui leur
correspondent en projection soient aussi
orthogonales. De sorte que, sur la surface comme
sur le plan, il existe un système de trajectoires
orthogonales (et, si le système de projection ne
conserve pas les angles, il nen existe quun)
dont les projections sur lautre surface sont
aussi orthogonales.
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IV.2. Loi des altérations. Indicatrice de Tissot
i) Représentation graphique des altérations en un
point Les directions des axes OX et OY sont
définis par les relations résultent des
lois du système de projection.
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IV.2. Loi des altérations. Indicatrice de Tissot

• On peut choisir ces lois pour que lellipse de
  Tissot ait ses axes dirigés suivant OX et OY (en
  faisant une rotation).
• Considérons en un point O le plan tangent à
  lellipsoïde.
• Dans ce plan, on choisit comme axes de coords les
  directions principales

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IV.2. Loi des altérations. Indicatrice de Tissot
Considérons en un point O le plan tangent à
lellipsoïde. Dans ce plan, on choisit comme axes
de coords les directions principales et on trace
lellipse de Tissot (courbe 1 ABAB) dont les
axes sont évidemment dirigés selon OX et OY.
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IV.2. Loi des altérations. Indicatrice de Tissot
Y
B
O
A
A
q
X
B
1
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IV.2. Loi des altérations. Indicatrice de Tissot
Sur la même figure, on représente une
circonférence de centre O et de rayon égal à
lunité (courbe 2 EDED).
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IV.2. Loi des altérations. Indicatrice de Tissot
Y
E
B
O
A
A
X
D
D
B
1
2
E
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IV.2. Loi des altérations. Indicatrice de Tissot
Ces figures ont des rayons vecteurs
proportionnels, pour le cercle, à ceux du cercle
infiniment petit sur lellipsoïde, et pour
lellipse, à ceux de lellipse infiniment petite
(ceci vient des relations en X et Y). Si on trace
un cercle de centre O et de rayon OA (courbe 3)
et si on considère une distance élémentaire OM
sur lellipsoïde, on obtient par construction
géométrique simple, la correspondance OM dans le
système.
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IV.2. Loi des altérations. Indicatrice de Tissot
Y
C
E
B
O
A
A
X
D
D
B
1
2
E
3
C
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IV.2. Loi des altérations. Indicatrice de Tissot
Valable uniquement à un facteur constant près, ce
qui ne change rien à la construction ni aux
conséquences. Le point M se trouve sur le cercle
(2). En prolongeant OM jusquau point de
rencontre M avec le cercle (3), et en traçant
de M la perpendiculaire à OX, soit MQ, on
obtient M, lintersection de MQ avec la courbe
(1). gt OM est représenté par OM dans le
système.
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IV.2. Loi des altérations. Indicatrice de Tissot
Y
C
M
E
M
B
q
M
O
A
A
q
X
D
D
Q
B
1
2
E
3
C
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IV.2. Loi des altérations. Indicatrice de Tissot
Lechelle de la projection est égale au
rapport Et laltération angulaire est égale à
q-q Les demi-axes de lellipse de Tissot se
désignent par
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IV.3 Etude des altérations à laide de lellipse
de Tissot

• Dans de nombreux cas pratiques, tels que
• Les projectione coniques (lorsque laxe du cône
  se confond avec la ligne des pôles de la Terre)
• Les projections cylindriques (lorsque laxe du
  cylindre de révolution se confond avec la ligne
  des pôles -gt en tout point, tant sur lellipsoïde
  que dans la représentation plane, la tangente au
  parallèle est perpendiculaire à la tangente au
  méridien)

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IV.3 Etude des altérations à laide de lellipse
de Tissot
Dans ces cas, les directions principales sont les
tangentes au parallèle et au méridien les axes
de lelipse de Tissot sont donc orientés suivant
ces directions.
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IV.3 Etude des altérations à laide de lellipse
de Tissot
a) Altération angulaire Nous allons calculer
laltération angulaire entre OX et une direction
arbitraire OM. Cette altération a pour expression
la valeur absolue de la différence q-q avec
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IV.3 Etude des altérations à laide de lellipse
de Tissot
56
IV.3 Etude des altérations à laide de lellipse
de Tissot
57
IV.3 Etude des altérations à laide de lellipse
de Tissot

• Le numérateur est constant le dénominateur est
  égal à la somme de 2 termes dont le produit est
  constant.
• Le dénominateur est minimum, donc la fraction est
  maximum pour

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IV.3 Etude des altérations à laide de lellipse
de Tissot

• En posant wq-qmax, on obtient

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IV.3 Etude des altérations à laide de lellipse
de Tissot

• Etant donné quun angle MOX subit une altération
  égale à w, on montre aisément que langle le plus
  altéré est celui que forme la direction qui a
  subi une altération w avec sa symètrique par
  rapport à laxe des X.
• Laltération angulaire maximum en un point est
  donc égale à

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IV.3 Etude des altérations à laide de lellipse
de Tissot
b) Altération de superficie Léchelle de
superficie en un point est égale au rapport de
laire de lellipse de Tissot à celle dun cercle
de rayon unité.
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IV.3 Etude des altérations à laide de lellipse
de Tissot

• c) Systèmes de projections conformes
• Dans les systèmes de projections conformes, il
  ny a aucune altération angulaire.
• La condition w0 exige que lon ait, en tout
  point du champ de la projection, ab.
• lellipse de Tissot est un cercle.
• Ces systèmes conservent les angles.
• gt En particulier, les méridiens sont
  perpendiculaires aux parallèles.

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IV.3 Etude des altérations à laide de lellipse
de Tissot

• Lindicatrice de Tissot est alors un cercle de
  rayon ab.
• léchelle est constante dans toutes les
  directions au voisinage dun point.
• La projection conserve donc la forme des figures
  assez petites par rapport à la sphère (plus
  grande dimension inférieure à 2000 km)

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IV.3 Etude des altérations à laide de lellipse
de Tissot
Par contre, au fur et à mesure quon séloigne du
centre de projection, la surface de lindicatrice
diffère de plus en plus de laire du cercle
initial, ce qui revient à une variation déchelle
dans le champ de projection.
64
(No Transcript)
65
(No Transcript)
66
IV.3 Etude des altérations à laide de lellipse
de Tissot
d) Systèmes de projections équivalents Les
systèmes de projections équivalents se
caractérisent par une altération de superficie
nulle il est donc nécessaire et suffisant quen
tout point du champ de la projection on ait
ab1. Ces systèmes conservent les surfaces ou,
plus exactement, le rapport des surfaces de la
terre à la carte léchelle est variable autour
dun point (gt a ? b)
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IV.3 Etude des altérations à laide de lellipse
de Tissot
Aussi,lindicatrice est une ellipse telle que a ?
b mais, suivant la position du point par rapport
au centre de projection, le rapport a/b varie
tandis que le produit ab reste égal à 1, ce qui
signifie que laplatissement de lindicatrice
varie mais que sa surface reste celle du cercle
initial.
68
(No Transcript)
69
(No Transcript)
70
IV.3 Etude des altérations à laide de lellipse
de Tissot
e) Systèmes de projections aphylactiques Aucun
système ne peut être à la fois confrome et
équivalent, aucun ne conserve les longueurs, mais
on peut toutefois concevoir des systèmes hybrides
dénommés aphylactiques qui constituent des
solutions de compromis compensant au mieux les
diverses altérations.
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IV.3 Etude des altérations à laide de lellipse
de Tissot
Parmi ceux-ci, on distingue plus particulièrement
les projections dites équidistantes, basées sur
léquidistance des parallèles et lorthogonalité
du réseau géographique, entraînant la
conservation des longueurs le long des
méridiens. Dans lensemble de ces systèmes, les
indicatrices de Tissot sont des ellipses de
surface variable.
72
(No Transcript)
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IV.3 Etude des altérations à laide de lellipse
de Tissot
f) Remarque Lindicatrice de Tissot, par ses
dimensions et son orientation, est
caractéristique du système étudié. Léchelle
locale de la projection est donc maximale dans la
direction du grand axe de cette éllipse.
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IV.3 Etude des altérations à laide de lellipse
de Tissot

• Nous avons vu que
• Le demi-grand axe de cette ellipse, désigné par
  a, mesure aussi léchelle maximale de la
  projection
• Le demi-petit axe de cette ellipse, désigné par
  b, mesure aussi léchelle minimale de la
  projection

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IV.3 Etude des altérations à laide de lellipse
de Tissot

• Nous avons vu également que, dans le cas des
  projections cylindriques ou coniques dites
  directes, en tout point, les directions
  principales sont les tangentes au parallèle et au
  méridien et que les axes de lellipse de Tissot
  sont orientés suivant ces directions.

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IV.3 Etude des altérations à laide de lellipse
de Tissot

• Notons quon désigne généralement par h et k les
  valeurs de léchelle locale de la projection
  mesurées le long dun méridien et le long dun
  parallèle.
• Dans la description individuelle des systèmes, on
  calcule les valeurs de a, b, h et k pour diverses
  régions du champ.

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IV.3 Etude des altérations à laide de lellipse
de Tissot
Cas de la sphère