Logique%20et%20raisonnement%20scientifique

1
Logique et raisonnement scientifique
cours transversal Collège Doctoral Pr. Alain
Lecomte
2
5. Vérité et cohérence en logique

• Tarski, Gödel et léchec du formalisme hilbertien

3
Comment prouver la cohérence dune théorie?

• 1) Par des voies directes
• Hilbert arriver à prouver quon ne peut pas
  déduire une absurdité du genre 1?1
• Théorie de la démonstration
• Le prédicat  être démontrable  est-il récursif?
• Est-ce que par utilisation des moyens de
  démonstration  finitistes , on peut toujours
  arriver à démontrer quune théorie est cohérente?
• Gödel prouvera que non (cf. plus loin)

4
Comment prouver la cohérence dune théorie?

• 2) Par des voies indirectes la théorie des
  modèles
• Prouver que tout ce quon démontre est  vrai 
  mais, dans quel sens de  vrai ?
• Retour au problème de la  définition de la
  vérité  !

5
Tarski et la définition de la vérité

• Alfred Tarski 1902 1983
• écrit en 1931, publié en 1933
• le concept de vérité dans les langages
  formalisés
• Déception  Il est impossible non seulement de
  définir ce que signifie lexpression du langage
  quotidien  proposition vraie  mais encore de
  sen servir dans ce langage  !
• Se limiter aux  seuls langages actuellement
  connus qui soient construits à laide dune
  méthode scientifique, à savoir les langages des
  sciences déductives formalisées 

6
Tarski et la définition de la vérité

• Le schéma général dune définition de la notion
  de  proposition vraie 
• x est une proposition vraie
• si et seulement si
• p

7
Tarski et la définition de la vérité

• Le schéma général dune définition de la notion
  de  proposition vraie 
•  il neige  est une proposition vraie
• si et seulement si
• Il neige

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Tarski et la définition de la vérité

• Le schéma général dune définition de la notion
  de  proposition vraie 
•  la route est verglacée  est une proposition
  vraie
• si et seulement si
• la route est verglacée

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Tarski et la définition de la vérité

• Considérons la proposition  la proposition A
  nest pas une proposition vraie , où A désigne
  la proposition elle-même ( la proposition A
  nest pas une proposition vraie )
•  la proposition A nest pas une proposition
  vraie  est une proposition vraie
• si et seulement si
• la proposition A nest pas une proposition vraie

10
Tarski et la définition de la vérité

• Considérons la proposition  la proposition A
  nest pas une proposition vraie , où A désigne
  la proposition elle-même ( la proposition A
  nest pas une proposition vraie )
• A est une proposition vraie
• si et seulement si
• la proposition A nest pas une proposition vraie

11
Les langages formalisés

• ceux quon a  artificiellement construit de
  telle sorte que le sens de chaque expression
  soit univoquement déterminé par sa forme 
• Notion de système formel
• Ne sont pas  universalistes  comme lest le
  langage quotidien
• pas de terme  appartenant à la science du
  langage , ni  des signes ou des expressions qui
  décrivent les relations structurelles existant
  entre ces signes et expressions 

12
Langage-objet du calcul des classes

• N (négation), A (disjonction), ? (quantification
  universelle), I (inclusion)
• variables  x , x, x, ., x, ..
• règles de formation permettant dobtenir des
  expressions comme 
• Ix , x, NIx , x, ?x Ix , x etc.
• axiomes, règles, etc.
• ceci donne un langage-objet.

13
Un autre langage

• non, ou, pour tout, inclusion
• ?x Ix,x est vrai
• si et seulement si
• pour tout x, x est inclus dans x
• Un méta-langage

14
structures et modèles

• Langage prédicatif extensionnel
• symboles
• Variables individuelles x, y, z, .
• Constantes individuelles a, b, c,
• Foncteurs darité n f, g,
• Constantes prédicatives darité n P, Q,
• règles de formation des formules
• Ex

15
sémantique

• Une L-structure M pour le langage L est défini
  par un couple (D, Val) où
• D est un ensemble non vide (domaine)
• Val est une fonction telle que
• c constante individuelle Val(c)?D
• f foncteur n-aire Val associe à f une
  fonction de Dn dans D
• P prédicat n-aire Val associe à P une partie
  de Dn

16
assignation

• Une assignation g pour le langage L et la
  structure M est une fonction de lensemble des
  variables individuelles dans D

17
Évaluation par rapport à une structure

• Si M (D, Val) est une L-structure pour le
  langage L, alors toute formule de L peut être
  évaluée par rapport à M et à une assignation g
  donnée
• On écrit ? M,g la valeur de ? par rapport à M
  et à g

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Règles dévaluation - I

• Si x est une variable xM,g g(x)
• f foncteur et t1, , tn des termes
• f(t1,, tn )M,g val(f)( t1M,g,,
  t1M,g)
• P prédicat et t1, , tn des termes
• P(t1,, tn )M,g val(P)( t1M,g,,
  t1M,g)

19
Règles dévaluation - II

• On note M g ? le fait que ? soit vraie dans la
  L-structure M pour lassignation g
• M g P(t1,, tn ) ssi P(t1,, tn )M,g 1
• M g ?A ssi M ?g A
• M g A?B ssi M g A et M g B
• M g ?x A ssi M g A pour toute assignation g
  qui ne diffère de g que par la valeur assignée à
  x

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langage et domaine
L constantes p, j, m, l, r variables x, y,
z cstes prédicatives F1, G1, C2, E2
D
x lucie
x marie
x robert
x paul
x jules
21
Val
L constantes p, j, m, l, r variables x, y,
z cstes prédicatives F1, G1, C2, E2
D
x lucie
x marie
x robert
x paul
x jules
22
Val
L constantes p, j, m, l, r variables x, y,
z cstes prédicatives F1, G1, C2, E2
D
x lucie
x marie
x robert
x paul
x jules
23
Val
L constantes p, j, m, l, r variables x, y,
z cstes prédicatives F1, G1, C2, E2
D
x lucie
x marie
x robert
x paul
x jules
24
Val
L constantes p, j, m, l, r variables x, y,
z cstes prédicatives F1, G1, C2, E2
D
x lucie
x marie
x robert
x paul
x jules
25
Val
L constantes p, j, m, l, r variables x, y,
z cstes prédicatives F1, G1, C2, E2
D
x lucie
x marie
x robert
x paul
x jules
26
Val
L constantes p, j, m, l, r variables x, y,
z cstes prédicatives F1, G1, C2, E2
D
x lucie
x marie
x robert
x paul
x jules
27
Val
L constantes p, j, m, l, r variables x, y,
z cstes prédicatives F1, G1, C2, E2
D
x lucie
x marie
x robert
x paul
x jules
28
Val
L constantes p, j, m, l, r variables x, y,
z cstes prédicatives F1, G1, C2, E2
D
x lucie
x marie
x robert
x paul
x jules
29
Val
L constantes p, j, m, l, r variables x, y,
z cstes prédicatives F1, G1, C2, E2
D
x lucie
x marie
x robert
x paul
x jules
30
Assignations
L constantes p, j, m, l, r variables x, y,
z cstes prédicatives F1, G1, C2, E2
D
x lucie
x marie
x robert
x paul
x jules
x paul y marie z jules
31
Assignations
L constantes p, j, m, l, r variables x, y,
z cstes prédicatives F1, G1, C2, E2
D
x lucie
x marie
x robert
x paul
x jules
x paul y paul z jules
32
Assignations
L constantes p, j, m, l, r variables x, y,
z cstes prédicatives F1, G1, C2, E2
D
x lucie
x marie
x robert
x paul
x jules
x marie y lucie z jules
33
Assignations
L constantes p, j, m, l, r variables x, y,
z cstes prédicatives F1, G1, C2, E2
D
x lucie
x marie
x robert
x paul
x jules
x robert y robert z robert
34
?x E(x,y)? F(y)
L constantes p, j, m, l, r variables x, y,
z cstes prédicatives F1, G1, C2, E2
D
x lucie
x marie
x robert
x paul
x jules
x robert y jules z robert
35
E(x,y)? F(y)
L constantes p, j, m, l, r variables x, y,
z cstes prédicatives F1, G1, C2, E2
D
x lucie
x marie
x robert
x paul
x jules
x _ y jules z robert
36
E(x,y)? F(y)
L constantes p, j, m, l, r variables x, y,
z cstes prédicatives F1, G1, C2, E2
D
x lucie
x marie
x robert
x paul
x jules
x robert y jules z robert
37
E(x,y)? F(y)1 ? 0
L constantes p, j, m, l, r variables x, y,
z cstes prédicatives F1, G1, C2, E2
D
x lucie
x marie
x robert
x paul
x jules
x robert y jules z robert
38
E(x,y)? F(y)0
L constantes p, j, m, l, r variables x, y,
z cstes prédicatives F1, G1, C2, E2
D
x lucie
x marie
x robert
x paul
x jules
x robert y jules z robert
39
modèles

• Définition étant donné un ensemble de formules
  closes ? dun langage L et une L-structure M, on
  dit que M est un modèle de ? si toutes les
  formules de ? sont vraies dans M

40
définitions

• ? est dit consistant sil en existe un modèle
• B se déduit sémantiquement de A1, , An si et
  seulement si tout modèle de A1, , An est aussi
  un modèle de B
• Une formule A dun langage L est dite
  universellement valide si elle est vraie dans
  toute L-structure

41
Retour au problème de la vérité
L
 image de L dans L 
L
La vérité dans L est fondée sur la vérité dans L
42
Retour au problème de la vérité
L
 image de L dans L 
L
La vérité toujours en construction
43
Liens entre théorie et modèle

• Tarski (cas du calcul des classes) Tout
  théorème est vrai, donc le calcul des classes est
  non contradictoire
• mais il peut exister des cas où des propositions
  vraies ne sont pas des théorèmes

44
Le problème de la complétude

• Définition 1 une théorie est (syntaxiquement)
  complète si pour chaque formule close ?, elle est
  capable de fournir soit une preuve de ? soit une
  preuve de ??
• Définition 2 une théorie est (sémantiquement)
  complète si toute proposition sémantiquement
  vraie est démontrable dans la théorie

45
Complétude de la logique des prédicats du premier
ordre

• Gödel
• Gentzen
• Henkin (revu par Hintikka)
• mais non décidabilité (Church, 1936) au sens
   pas dalgorithme général permettant de décider
  de la vérité dune formule 

46
métathéorèmes

• Théorème de compacité si une théorie T est
  telle que toute partie finie possède un modèle,
  alors elle a elle-même un modèle
• Théorème de Löwenheim Skolem si une théorie T
  admet un modèle infini, alors elle admet un
  modèle dénombrable

47
Quelques conséquences

• Compacité ? laxiomatique de Peano exprimée en
  premier ordre nest pas catégorique
• Löwenheim Skolem ? Il est vain despérer une
  théorie du premier ordre pour la théorie des
  ensembles

48
Laxiomatique de Peano exprimée en premier ordre
nest pas catégorique

• En premier ordre infinité daxiomes
• On peut ajouter à N une constante c avec une
  infinité daxiomes c ? 0, c ? 1, c ? 2, c ? 3,
  etc. ? N
• Les parties finies de N ont toutes des modèles
  valables aussi pour celles de N
• Donc un modèle pour N est un modèle pour N
• Mais un modèle pour N nest pas isomorphe à un
  modèle pour N, donc N admet des modèles non
  isomorphes

49
Laxiomatique de Peano exprimée en premier ordre
nest pas catégorique

• Ce nest plus vrai en second ordre
• Mais le second ordre nest pas axiomatisable

50
Gödel et lincomplétude de larithmétique formelle

• Kurt Gödel 1906 - 1978
• 1931  Sur les propositions formellement
  indécidables des Principia Mathematica et des
  systèmes apparentés .

(Kurt Gödel et Albert Einstein à Princeton)
51

•  Le développement des mathématiques vers plus de
  précision a conduit à la formalisation de vastes
  domaines de telle sorte que les démonstrations
  puissent être développées en suivant un petit
  nombre de règles mécaniques. Les systèmes formels
  les plus étendus à ce jour sont, dune part les
  Principia Mathematica de Whitehead et Russell et,
  dautre part, le système de Zermelo-Fraenkel de
  la théorie axiomatique des ensembles. Ces deux
  systèmes sont si vastes que toutes les méthodes
  de démonstration utilisées aujourdhui en
  mathématiques peuvent y être formalisées,
  cest-à-dire peuvent être réduites à un petit
  nombre daxiomes et de règles de déduction. Il
  semblerait donc raisonnable de conjecturer que
  ces axiomes et ces règles de déduction suffisent
  pour décider de toutes les questions
  mathématiques qui peuvent être formulées dans le
  système concerné. Dans ce qui suit, il sera
  montré quil nen est pas ainsi, mais plutôt, que
  dans les deux systèmes cités, il existe des
  problèmes relativement simples de la théorie des
  nombres entiers ordinaires dont on ne peut
  décider sur la base des axiomes .

52
Le théorème de Gödel

• Idée centrale à partir du moment où nous avons
  un système formel incluant la possibilité
  dexprimer des relations arithmétiques (les
  nombres entiers et leurs propriétés
  élémentaires), alors ce système est capable
  dexprimer des propriétés sur lui-même, et si
  nous sommes capables de construire rigoureusement
  dans un tel système une formule analogue à celle
  du Menteur, alors de deux choses lune  ou nous
  acceptons quil y ait une contradiction dans le
  système ou nous acceptons quil y ait des
  formules vraies qui ne puissent pas être
  démontrées et cest bien sûr la deuxième
  possibilité que nous choisirons.

53
Quelques précisions1- la numérotation de Gödel

• ? 1
• ? 2
• ? 3
• ? 4
• ? 5
• 0 6
• s 7
• ( 8
• ) 9
• , 10

• x 11
• y 13
• z 17
• p 112
• q 132
• r 172
• P 113
• Q 133
• R 173

var. numériques
var. propositionnelles
var. prédicatives
54
Quelques précisions1- la numérotation de Gödel

• ( ? x ) ( x s y )
• 8 4 11 9 8 11 5 7 13 9
• ?
• 28.34. 511.79.118.1311.175.197.2313.299

55
Etendre la numérotation de Gödel aux déductions

• Exemple
• 1
• 2
• deux lignes possibles dune déduction
  (substitution de 0 à y dans la ligne 1)

56
Etendre la numérotation de Gödel aux déductions

• Exemple
• 1 ? m
• 2 ? n
• k 2m?3n
•  la déduction de nombre de Gödel k est une
  démonstration de la formule de nombre de Gödel
  n 

57
Etendre la numérotation de Gödel aux déductions

• Plus généralement
• Lassertion  la suite de formule de nombre de
  Gödel x est une démonstration de la formule de
  nombre de Gödel z   se trouve reflétée dans le
  système par une relation arithmétique Dem(x, z)
• Mais cette relation possède elle-même un nombre
  de Gödel!

58
Construction de la formule G 

• La formule possède un nombre de Gödel
• Elle signifie  il nexiste pas de
  démonstration (représentée par un nombre de Gödel
  x) de la formule de nombre de Gödel z 
• Soit sub(m, p, q) le ndG obtenu en substituant
  dans la formule de ndG m, à la variable de ndG p,
  le chiffre q

59
Construction de la formule G 

• Soit la formule
• elle dit  la formule obtenue en substituant
  dans la formule de ndG y, à la variable de ndG p,
  le chiffre y 
• elle possède un nombre de Gödel n, quon peut
  substituer à y, on obtient G

60
Etude de la formule G

• Quel est son nombre de Gödel?
• On la obtenue en substituant au sein de la
  formule de ndG n, à la variable de ndG p, le
  chiffre n, ce qui est la définition de sub(n, p,
  n)!
• donc son ndG est sub(n, p, n)
• dautre part elle dit que  la formule qui
  possède le ndG sub(n, p, b) nest pas
  démontrable 
• Donc elle dit delle-même quelle nest pas
  démontrable

61
Le cœur de la démonstration

• Si G est démontrable, ?G est démontrable
• Supposons G démontrable, il existe une suite de
  formules de ndG k telle que Dem(k, sub(n, p, n)),
  
• Si Dem(x, z) alors cette formule est démontrable,
• Donc Dem(k, sub(n, p, n)) est démontrable,
• Donc ?(?x)? Dem(k, sub(n, p, n)) ?G est
  démontrable
• On prouve aussi si ?G est démontrable, G est
  démontrable.
• Donc ni G ni ?G ne sont démontrables (si
  larithmétique est consistante!)

62
mais G est vraie!

• G nest pas démontrable
• Mais cest justement ce que dit G!!!!
• Donc G est vraie!
• Doù lexistence dune formule vraie non
  démontrable

63
2ème théorème de Gödel

• Larithmétique est-elle consistante?
• La consistance sexprime par la formule
• A
• La formule  A ? G  est démontrable
• Si A était démontrable G le serait donc aussi!
• Donc A nest pas démontrable

64
Conséquence fondamentale

• La consistance de larithmétique formelle ne peut
  pas être démontrée dans la théorie de
  larithmétique formelle
• On ne peut pas prouver au moyen de méthodes
  finitistes à la Hilbert la non-contradiction
  dune théorie incluant au minimum larithmétique
  formelle
• Échec du programme de Hilbert

65
Comment interpréter le théorème de Gödel?

• Interprétations abusives cf. Régis Debray (Le
  Scribe, p. 70)  Du jour où Gödel a démontré
  qu'il n'existe pas de démonstration de
  consistance de l'arithmétique de Peano
  formalisable dans le cadre de cette théorie
  (1931), les politologues avaient les moyens de
  comprendre pourquoi il fallait momifier Lénine et
  l'exposer aux camarades "accidentels" sous un
  mausolée, au Centre de la Communauté nationale  
  !!!!!!!!!!!
• Lire J. Bouveresse  prodiges et vertiges de
  lanalogie  (ed. Raisons dagir)

66
Comment interpréter le théorème de Gödel?

• G.G. Granger Tout ce qui est dit
  métaphoriquement est incertain nous enseignait
  déjà Aristote (Topiques 1, 139b34). Nous y voyons
  (...) l'un des plus grands périls de la pensée
  philosophique, dans la mesure où, ne parlant pas
  des choses, le philosophe est sans cesse sommé de
  s'exprimer par images (...). La métaphore, dans
  le pire des cas, peut devenir ainsi le lieu de
  l'illusion et de la méprise, chacun y entendant
  ce qu'il veut et ce qu'il peut. Cette situation
  éminemment poétique est certainement un
  empêchement dirimant pour l'obtention de la
  rigueur. Certains philosophes, il est vrai, s'y
  sont complu autrefois mais aucun des plus grands
  ne s'y est en tout cas établi à demeure.
• Pour la connaissance philosophique, chap.7
  Les concepts philosophiques et le travail du
  symbolisme 3-2 les conditions de la rigueur
  conceptuelle en philosophie éd. Odile Jacob,
  1988.