Le plan des cours d - PowerPoint PPT Presentation

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Le plan des cours d

Description:

Croissance de la population chinoise. Etape 2. Les cons quences d'une politique ... de la variation au court du temps de la taille de la population chinoise : N(t) ... – PowerPoint PPT presentation

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Title: Le plan des cours d


1
Le plan des cours danalyse Etude des
phénomènes variables
  • CM1-CM2 Décrire les variations étude de fonction
    - fonctions usuelles
  • CM3 Prendre du recul calculer une primitive et
    intégrer une fonction
  • CM4-CM5 Les processus qui provoquent des
    variations poser et intégrer une équation
    différentielle

MathSV chapitre 6
2
Equations différentielles
  • Introduction à la modélisation
  • Définitions et généralités
  • Méthodes de résolution

3
Croissance de la population chinoise
  • Etape 1
  • Démographie en Chine 1,28 milliards dhabitants
    en 2001
  • Une politique de contrôle des naissances

4
La démarche de modélisation
  • 1. partir dune problématique qui concerne le
    monde du vivant

5
Croissance de la population chinoise
  • Etape 2
  • Les conséquences dune politique démographique
    le nombre dhabitant en 2005 ? En 2010 ?

6
La démarche de modélisation
  • 2. identifier le phénomène à étudier, préciser le
    problème qui se pose

7
Croissance de la population chinoise
  • Etape 3
  • Modélisation de la variation au court du temps de
    la taille de la population chinoise N(t)

Un problème de démographie (dynamique de
population)
8
La démarche de modélisation
  • 3. traduire le problème en langage
    mathématique/informatique/statistique

9
Croissance de la population chinoise
  • Etape 4
  • Quels sont les processus qui provoquent cette
    variation ?
  • Données Naissances, morts, migrations
    (négligées)
  • On prévoit que les taux de natalité et mortalité
    dans la période 2001-2005 seront stables Le
    taux de natalité est de 13 en 2001, le taux de
    mortalité est de 3.
  • Modèle une équation différentielle

10
La démarche de modélisation
  • 4. faire linventaire des modèles connus et des
    données utiles

11
Croissance de la population chinoise
  • Etape 5
  • Modèle exponentiel en temps continu

r taux daccroissement absolu (constant
indépendant de N)
12
La démarche de modélisation
  • 5. sélectionner un modèle et recueillir les
    données puis proposer une réponse

13
Résoudre le problème
Solution
K N(t0) 1,28 milliards dhabitant en 2001r
(13-3)/1000 0,01N(t4) 1,33 milliards
dhabitants en Chine en 2005.
14
La démarche de modélisation
  • 6. validation, protocoles expérimentaux,
    généralisations...

15
Exemple en pharmaco-cinétique
  • Lors de ladministration dun médicament par
    injection intraveineuse, sa concentration dans le
    sang est instantannément maximale, puis elle
    décroît comment ?

f(t)?
16
Exemple en pharmaco-cinétique
  • A partir dun instant t, la diminution de cette
    concentration est proportionnelle à la
    concentration à linstant t

17
Définitions, généralités
18
Définition
  • On appelle équation différentielle une relation
    entre les valeurs de la variable x et les
    valeurs dune fonction inconnue y(x) et de ses
    dérivées au point x.

Equation différentielle dordre n
19
Définition
  • On appelle équation différentielle une relation
    entre les valeurs de la variable x et les
    valeurs dune fonction inconnue y(x) et de ses
    dérivées au point x.

Equation différentielle dordre 1
20
Exemple et notation
Dérivée première Dérivée nième
21
Lexique général
  • Résoudre (intégrer)

MathSV chapitre 6, section 7.1
22
Lexique général
  • Solution générale
  • Condition initiale
  • Solution particulière

23
Lexique général
  • Courbe intégrale

24
Équations Différentielles dordre 1
  • 1. À variables séparables
  • 2. Homogènes
  • 3. Linéaires
  • sans second membre
  • avec second membre
  • à coefficients constants

25
E. D. 1 à variables séparables
On peut se ramener à une intégrale sur y une
intégrale sur x
26
(No Transcript)
27
Evolution de la population chinoise
  • la vitesse de croissance est proportionnelle à la
    taille de la population

28
Evolution du poids dun organisme
MathSV chapitre 6, section 7.2.1
29
E. D. 1 homogène
On peut se ramener à une équation à variables
séparablespar un changement de variable u y/x
30
(No Transcript)
31
E. D. 1 linéaires
De la forme
32
E. D. 1 linéaires
  • ED linéaire dordre 1 sans second membre
    SSM
  • ED linéaire dordre 1 avec second membre ASM
  • ED linéaire dordre 1 à coefficient constant

33
Méthodes de résolution des ED linéaires du 1er
ordre
34
E. D. dordre 1 linéaire SSM
  • Une ED linéaire Sans Second Membre est une ED à
    variables séparables
  • à solution de forme exponentielle

35
E. D. dordre 1 linéaire ASM
  • Selon les cas
  • Rechercher une solution particulière yp
  • Méthode de variation de la constante

36
Avec recherche dune solution particulière
1. Résoudre lED sans second membre
37
Avec recherche dune solution particulière
2. Trouver une solution particulière
De la forme
Par identification, on obtient
38
Avec recherche dune solution particulière
3. La solution générale est la solution de
lED SSM la solution particulière
39
Avec recherche dune solution particulière
La solution de lED SSM Une solution
particulière est la solution générale
F est la primitive de f
40
Méthode de variation de la constante
1. Résoudre lED sans second membre
41
Méthode de variation de la constante
2. Faire varier la constante
De la forme
Par identification, on obtient
42
Méthode de variation de la constante
On cherche une solution générale de la forme
F est la primitive de f
43
ED linéaire dordre 1 à coefficient constant
avec f ( x ) Cste a
- Si g ( x ) est un polynôme de degré n
alors on cherche une solution particulière
yp an xn an-1 xn-1 a1x a0 (un
polynôme de degré n) - Si g ( x ) eax P ( x )
alors on pose yp eax z
44
ED linéaire dordre 1 à coefficient constant
avec f ( x ) Cste a
- sinon la méthode de variation de la constante
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