Nouvelle formulation

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Nouvelle formulation éléments finis pour les
problèmes d'acoustique interne avec interface
absorbante
Walid LARBI Jean-François DEÜ, Roger OHAYON
Laboratoire de Mécanique des Structures et des
Systèmes Couplés Conservatoire National des Arts
et Métiers, Paris, France
1er Colloque CNRS-GDR 2902 26 et 27 septembre
2005 -  Ecole des Mines - Sophia Antipolis
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Motivations
But Réduction du bruit en utilisant des
matériaux amortissants
Comment tenir compte numériquement de leffet
dun matériau absorbant à linterface
fluide-structure ?
Problème dinteraction fluide-structure avec de
matériaux poreux Göransson, 98,
Davidsson Sandberg, 04 IFS impédance
acoustique Z(w) Ker-Kandille Ohayon, 92 ?
Analyse fréquentielle et réduction modale
Bermúdez Rodríguez, 99 ? Formulation en
déplacement
Objectif
Introduire dans les formulations EF des problèmes
élasto-acoustique des modèles damortissements à
linterface fluide-structure ? pour les
vibrations harmoniques et les réponses
transitoires
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PLAN

• Introduction
• Cavité acoustique avec parois absorbantes
• Problème élasto-acoustique avec interface
  dissipative
• Formulations symétriques
• Quelques résultats préliminaires
• Conclusions

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Idée de base
Introduction dune nouvelle variable scalaire
Déplacement fluide normal à linterface h
uF.nF
Différents modèles damortissement peuvent être
introduits dans la formulation EF

• Dans le domaine fréquentiel (vibration
  harmonique)
• Dans le domaine temporel (réponse transitoire)

Dans ce travail 
Modèle simple de Kelvin-Voigt à linterface pour
les problèmes acoustiques et élasto-acoustiques
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Difficultés avec les formulations classiques
Formulation en déplacement fluide

• Variable vectorielle
• ? système de grande taille donc coûteux à
  résoudre
• Éléments finis particuliers (Raviart-Thomas)
• ? irrotationnalité du fluide

Formulation en pression

• En fréquence
• ? problème non-linéaire en fonction w
• En temps ???

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Cavité acoustique avec parois absorbantes
Hypothèses et description du problème
matériau absorbant
Fluide non-visqueux, compressible, barotrope
contenu dans une cavité avec des interfaces
absorbantes
Équations en (p, h)
Équation d Helmholtz
dans
sur
Condition de paroi rigide
sur
Conditions de paroi absorbante
sur
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Cavité acoustique avec parois absorbantes
Formulation variationnelle en terme de (p, h)
Trouver p et h tels que ? dp ? Cp et ? dh ? Ch
conditions initiales
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Cavité acoustique avec parois absorbantes
Discrétisation éléments finis
Domaine temporel
conditions initiales non homogènes
Domaine fréquentiel
avec le vecteur détat et les matrices suivantes

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Cavité acoustique avec parois absorbantes
Example de validation cavité acoustique avec
paroi absorbante
Interface dissipative
et
Paroi absorbante
coefficients moyens d'impédance d'une laine de
verre typique dans une plage de fréquence 50 -
500 Hz
Air
Impédance
Re (Z)
Im (Z)
r 1 kg.m-3 c 340 m.s-1
Fréquence (Hz)

• problème aux valeurs propres (h, p)
• discrétisation éléments quadrangle

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Cavité acoustique avec parois absorbantes
Fréquences (en Hz)
Sans interface dissipative
Avec interface dissipative

• très bonne concordance avec la solution exacte
• ? entre amorti et non-amorti ? effet de la
  rigidité du ressort
• partie imaginaire ? effet de lamortisseur

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Problème élasto-acoustiqueavec interface
dissipative
Description du problème

• Structure élastique linéaire ? u
• Fluide acoustique interne ? p

Géométrie de linterface
modèle de Kelvin-Voigt
avec

• formulation variationnelle en (u, h, p)
• équations matricielles associées

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Problème élasto-acoustique
Equations du problème en (u, ?, p)
Structure
dans OS
sur
sur
Fluide
dans
sur
Interface dissipative
sur
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Problème élasto-acoustique
Formulation variationnelle non-symétrique en
terme de (u, h, p)
Trouver (u, h, p) tels que

conditions initiales
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Problème élasto-acoustique
Discrétisation éléments finis en (u, h, p)
Domaine temporel
conditions initiales
Domaine fréquentiel
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Problème élasto-acoustique
Retrouver le problème sans interface dissipative?

• sans amortissement

• si kI tend vers linfini ? formulation
  non-symétrique classique (u, p)

avec la matrice de couplage
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Formulation symétrique pour le problème spectral
délasto-acoustique
Introduction du potentiel de déplacement fluide j
Equations du problème en (u, h, p, j)
dans
sur
sur
dans
sur
dans
sur
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Formulation symétrique
Formulation éléments finis
avec les sous- matrices Fj , A et B
Elimination du potentiel de déplacement fluide ?
formulation symétrique indirecte en (u, h, p)
Morand Ohayon, 1995
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Problème dinteraction fluide-structure avec
interface dissipative
Structure rectangulaire remplie dair Milieu
viscoélastique infiniment mince à linterface
L 1.25 m
Densité
Module de Young
e 0.125 m
H 1 m
Coefficient de Poisson ?
Densité
Fluide
Célérité c(m/s)
Interface dissipative
et

• Discrétisation EF
• quadrangles environ 2500 d.d.l
• maillage compatible à linterface
  fluide-structure

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Problème dinteraction fluide-structure
Analyse modale
Non-amorti
Amorti
Fluide
IFS
IFS
IFS (réelle )
IFS
Bermúdez Formulation en (us, uF)
IFS
Fréquences (en Hz)
Modes propres (partie réelle ) cas amorti
A B C D E

• les modes de la structure sont pratiquement
  invariants
• les fréquences du fluide diminuent

Interface dissipative
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Problème dinteraction fluide-structure
Réponse transitoire
Schéma de Newmark (b 1/4, g 1/2) Formulation
non-symétrique en (u,h,p)
Méthodes de résolution
Superposition modale Formulation symétrique
(après élimination de j)
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Problème dinteraction fluide-structure
Réponse de la structure
105 Hz
305 Hz
Excitation

• Seuls les modes structure lt 380 Hz sont excités
• Linterface dissipative na pas dinfluence sur
  la réponse de la structure

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Problème dinteraction fluide-structure
Réponse du fluide
105 Hz
305 Hz
Excitation

• les pics correspondent aux fréquences propres
  du système
• seulement les modes fluide sont influencés par
  linterface dissipative

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Conclusions
Nouvelle formulation éléments finis pour les
problèmes acoustique et élasto-acoustique avec
interface dissipative

• Nouvelle variable scalaire additionnelle
• ? déplacement fluide normal à linterface
  h
• Formulation symétrique indirecte en (u, h, p)
• ? potentiel de déplacement fluide
• Méthodes de résolution
• ? approche modale (modes complexes)
  méthode dintégration directe
• Effets de linterface dissipative analysés sur
  des exemples simples

Perspective Contrôle hybride passif/actif pour la
réduction du bruit.