1' Conceptos bsicos de Bioestadstica a' Estadstica Es el censo o recuento de la poblacin, de los rec

1
12. Contraste de hipótesis
"Es una verdad muy cierta que, cuando no esté a
nuestro alcance determinar lo que es verdad,
deberemos seguir lo que es más probable". Descart
es, en su Discurso del Método
2
Contraste de hipótesisQué es una hipótesis
estadística?

• Es una conjetura o creencia acerca de una o
  varias poblaciones. Normalmente en referencia a
  sus parámetros la media, la varianza o una
  proporción, por ejemplo.
• Si queremos contrastarla, debe establecerse antes
  del análisis. Después se utilizan los datos de
  las muestras para obtener evidencias que
  confirmen o no la hipótesis propuesta.

3
Veamos un ejemplo El efecto "Mozart vs. El
Fari" Se sospecha que los individuos rinden más
en un test de inteligencia tras escuchar música
de Mozart que cuando han escuchado música de El
Fari.
Hipótesis científica Escuchar la música de
Mozart tiene un efecto sobre el CI diferente al
de la música de El Fari. Experimento De la
población española seleccionamos 20 niños al azar
en dos grupos de 10. Un grupo escuchará Mozart
antes de hacer el test de CI. El otro escuchará a
El Fari. Después de realizar los test, se
calculan las medias y cuasivarianzas en cada uno
de los dos grupos.
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Supongamos que la media del CI del grupo de
Mozart fue 110 con cuasivarianza 100, mientras
que la media del grupo de El Fari fue de 102 y
cuasivarianza 64. Entonces Podemos decir
que hay diferencias a nivel poblacional entre
ambos grupos? Para tomar tal decisión
necesitaremos plantear DOS hipótesis
estadísticas
5
Hipótesis estadísticas -Hipótesis nula. Es la
que proporciona la solución "más sencilla". En
nuestro ejemplo sería que la media poblacional de
ambos grupos es la misma. (Es decir, que no hay
un efecto de la música sobre el CI.) H0 m1
m2 -Hipótesis alternativa. Es la hipótesis
complementaria (y "más compleja"). En nuestro
caso sería que la media poblacional de ambos
grupos es diferente. (Es decir, que hay un efecto
de la música sobre el CI.) H1 m1 ? m2
Cómo decidimos entre ambas hipótesis? Veamos
otros ejemplos.
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Otro ejemplo Sometamos a la reina de
Inglaterra al siguiente experimento Se le
presentan 8 tazas de té con leche, idénticas en
su aspecto. En 4 de ellas la leche se añadió a la
taza con anterioridad al té. Y en las 4 restantes
se añadió la leche después.
La reina las prueba y dictamina acertadamente las
tazas en las que se sirvió primero la leche.
Chiripa?
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Cuántas posibilidades había?
La reina debía escoger 4 tazas de las 8. Sin
tener en cuenta el orden tenía 70 posibilidades
distintas (Combinaciones de 8 elementos tomados
de 4 en 4). Si supusiéramos que respondió al
azar, su probabilidad de acertar hubiera sido de
1/70.
Cuáles son aquí las hipótesis estadísticas? -Hipó
tesis nula La reina acertó por chiripa. H0 p
1/70 -Hipótesis alternativa La reina tiene un
paladar sobrenatural. H1 p ? 1/70
8
Parece razonable en este caso rechazar la
hipótesis nula. Por qué nos parece razonable
rechazarla? Hemos supuesto que la reina juzgaba
al azar (hipótesis nula). Por tanto hemos
supuesto una distribución de probabilidad
cualquier combinación de las cuatro tazas tenía
la misma probabilidad de ser elegida p 1/70
(una distribución uniforme). Con esa
distribución la reina tenía 69/70 de
probabilidad de no acertar. Y sin embargo la
reina acertó
9
Otro ejemplo más (lo tenéis en detalle en el
libro de Marta y Jose) Pasados 2 años cierta
vacuna solo es eficaz en un 25 de los casos. Se
experimenta con una nueva vacuna que tal vez
prolongue la eficacia. Se inyecta a 20 sujetos
experimentales. Si más de 8 sujetos superan el
periodo de dos años sin contraer el virus, la
nueva vacuna se considera mejor que la
anterior. El número 8 es un tanto arbitrario,
pero parece razonable teniendo en cuenta que
esperaríamos 5 casos para la vacuna anterior.
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Quién es H0?

• Hipótesis nula H0 ambas vacunas son iguales.
• Hipótesis alternativa H1 la nueva vacuna es
  mejor.
• Con la vacuna antigua cada paciente tiene una
• probabilidad p 1/4 de no contraer la enfermedad
  
• pasados 2 años.

H0 p 1/4 y H1 p gt 1/4
Podemos rechazar la hipótesis nula, que las dos
vacunas son igualmente eficaces? El estadístico
de prueba es X número de individuos de la
prueba que reciben protección contra el virus
más allá de dos años. Y se distribuye como X
B(20, p).
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• Dividiremos los posibles valores de X (de 0 a 20)
  en
• dos grupos
• Menores o iguales a 8 (Región de aceptación).
• Mayores a 8 (Región crítica o de rechazo).
• 8 es el valor crítico en este caso.

Si x es el número de pacientes experimentales que
no se han infectado después de 2 años,
entonces Si x gt 8 rechazamos H0 a favor de la
hipótesis alternativa H1. Si x 8, se acepta H0.
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• El procedimiento descrito nos puede conducir
• a las siguientes conclusiones erróneas
• La nueva vacuna realmente no es mejor
• que la antigua (hemos rechazado la hipótesis
• nula y cometido un error de tipo I ).
• (2) Concluimos que la nueva vacuna no es mejor
• que la anterior, cuando realmente sí lo es (hemos
  
• aceptado la hipótesis nula y cometido un error
• de tipo II ).

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La probabilidad de cometer un error de tipo I se
llama nivel de significación o tamaño de la
región crítica y se representa por a. En
nuestro ejemplo Se dice que la hipótesis
nula, p 1/4, se está probando con un nivel de
significación de a 0.0409. Nivel de
significación bastante pequeño, por tanto poco
probable que hayamos cometido un error de tipo
I.
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La probabilidad de cometer un error de tipo II
se representa por b. Sólo podemos calcularla si
tenemos una hipótesis alternativa concreta.
Por ejemplo en nuestro caso podíamos haber
tomado como hipótesis alternativa p 0.5. En
nuestro ejemplo
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Contraste de hipótesis

• Los tres pasos básicos para contrastar una
  hipótesis serán
• 1- Formular dos hipótesis H0 y H1.
• 2- Derivar un estadístico de contraste a partir
  de la muestra de observaciones e identificar su
  distribución muestral bajo la hipótesis nula.
• 3- Derivar una regla de decisión y elegir una de
  las dos hipótesis en base a la evidencia de una
  muestra. Una regla de decisión que selecciona una
  de las dos sentencias siguientes
• rechace H0 o no rechace H0.

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Contrastes para la media de una población
(Población normal o ngt 30 y s conocida) Hipótesis
bilateral
Ho m m0 H1 m ? m0
Región de aceptación
Estadístico
Región de aceptación.
Si la media muestral está fuera de este intervalo
rechazamos H0 y no rechazamos H0 en caso
contrario.
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Ejemplo Sea una población normal con ?2 20 ?0
30, n 10 , y ? 0.05.

• Hipótesis
• Estadístico y distribución

Para calcular intervalo de confianza
Conociendo el tamaño de la muestra, la
desviación poblacional y la media muestral,
podemos determinar un intervalo de confianza al
95.
18
Valor crítico del estadístico de prueba Se busca
en la tabla z, y nos preguntamos que valor de z
tiene una probabilidad igual a 0.025 y el valor
es -1.96.
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Pero ahora estamos haciendo una hipótesis que la
media poblacional es ?0 30, e intentando
contrastarla a partir de la media muestral que es
27.
Regla de decisión Ho se rechaza si z cae en la
zona de rechazo (fuera de la zona de aceptación),
utilizando ? 0.05 (error de tipo I) que está
dividida en dos partes iguales (?/2 0.025).
Decisión estadística Se puede rechazar Ho porque
-2.12 está en la región de rechazo con un nivel
de significación de ? 0.05. Conclusión Se
concluye que ? no igual a 30.
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Contrastes para la media de una población
(Población normal o ngt 30 y s conocida) Hipótesis
unilateral por la izquierda.
Ho m m0 H1 m lt m0
Estadístico
Región de aceptación.
Si la media muestral está fuera de este
intervalo rechazamos H0 y aceptamos en caso
contrario.
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• Datos y suposiciones las mismas anteriores.
• Hipótesis
• Cálculo del estadístico de prueba
• Regla de decisión Si el zcalc cae en la zona de
  rechazo se rechaza Ho. Como es una prueba de una
  cola o unilateral se busca en la tabla que valor
  de z tiene una probabilidad de 0.05 y es -1.645.
• Decisión estadística y Conclusión Como -2.12 es
  menor que -1.645 se rechaza Ho y se concluye que
  la media de la población es menor de 30.

22
La variable aleatoria poblacional X de nuestro
interés es la duración de un componente. Esta
variable se distribuye en la población como una
exponencial X Exp(?). (a) Nos piden como
contraste de hipótesis H0
?300 H1 ?lt300 Disponemos de una muestra
de n 100 elementos. Para cada componente se ha
medido su duración x1, x2, ... , x100. Y
sabemos que la media muestral, que la vida media
de los 100 componentes es
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Usaremos como estimador a la media muestral
Recuerda que es una variable aleatoria, de la que
nosotros disponemos de un valor particular el
que nos da nuestra muestra. Qué distribución
tiene nuestro estimador? El de la suma de 100
variables aleatorias distribuidas
exponencialmente. En principio sería una Erlang,
pero puesto que el número de variables es mayor
que 30, podemos utilizar una normal
Observa que para el caso particular de la
exponencial, la media coincide con la desviación
típica y podemos escribir
Tipifiquemos el estimador para que se distribuya
como una N(0,1)
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Región de aceptación
Región crítica
1 - ?
?
a 250.65
25
Si en realidad ?250 y la hipótesis nula es que
?300, "detectarlo" supondría rechazar la
hipótesis
26
Si queremos elevar esta última probabilidad
hasta el 70
27
La variable aleatoria poblacional X de nuestro
interés es el número de accidentes de tráfico en
una semana. Esta variable se distribuye en la
población como una poisson X P(?2.5). (a)
Nos piden como contraste de hipótesis H0 ?10
(reducir el límite de velocidad no influye) H1
?lt10 (reducir el límite de velocidad disminuye el
número de accidentes) Pero observa que
contrastaremos las hipótesis con la variable
aleatoria Y número de accidentes en cuatro
semanas
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Mirando en las tablas encontramos que a5. Si el
número de accidentes observado en las cuatro
semanas es menor o igual que 5, entonces
rechazamos H0.
29
Si el número de accidentes disminuyó a 2 por
semana, entonces disminuyó a 8 accidentes por
cada cuatro semanas
30
Contrastes para la media de una población
(Población normal y s DESCONOCIDA) Hipótesis
bilateral
Ho m m0 H1 m ? m0
Estadístico
Si la media muestral está fuera de este
intervalo rechazamos H0 y aceptamos en caso
contrario.
Región de aceptación.
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• Hipótesis
• Estadística de prueba dado que se desconoce la
  varianza de la población se utiliza s2.
• Distribución de la estadística de prueba
  distribuye t de Student con n-1 grados de
  libertad.
• Regla de decisión A un nivel de significancia de
  ?0.05, si el valor de tcalc es mayor que
  tcrítico (2.1604) entonces se rechaza H0.
• Cálculo de la estadística de prueba
• Decisión estadística -1.58 cae en la zona de no
  rechazo por lo tanto no se rechaza H0.

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Región crítica y nivel de significación

• Nivel de significación a
• Número pequeño 1 , 5
• Fijado de antemano por el investigador
• Es la probabilidad de rechazar H0 cuando es cierta

• Región crítica
• Valores improbables si...
• Es conocida antes de realizar el experimento
  resultados experimentales que refutarían H0

a5
Reg. Crit.
Reg. Crit.
No rechazo H0
H0 m 40
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Contrastes unilateral y bilateral
La posición de la región crítica depende de la
hipótesis alternativa
H1 m ¹ 40
Bilateral
Unilateral
Unilateral
H1 m lt 40
H1 m gt 40
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Mirar en los apuntes también Comparación de
medias Pruebas sobre proporciones Pruebas sobre
varianzas
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Riesgos al tomar decisiones
Ejemplo 1 Se juzga a un individuo por la
presunta comisión de un delito
Los datos pueden refutarla. La que se acepta si
las pruebas no indican lo contrario. Rechazarla
por error tiene graves consecuencias.

• H0 Hipótesis nula
• Es inocente
• H1 Hipótesis alternativa
• Es culpable

• No debería ser aceptada sin una gran evidencia a
  favor.
• Rechazarla por error tiene consecuencias
  consideradas menos graves que la anterior.

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Tipos de error al tomar una decisión(Ejemplo 1)
37
Riesgos al contrastar hipótesis
Ejemplo 2 Se cree que un nuevo tratamiento
ofrece buenos resultados
Ejemplo 3 Parece que hay una incidencia de
enfermedad más alta de lo normal
No especulativa

• H0 Hipótesis nula
• (Ej.1) Es inocente
• (Ej.2) El nuevo tratamiento no tiene efecto
• (Ej.3) No hay nada que destacar
• H1 Hipótesis alternativa
• (Ej.1) Es culpable
• (Ej.2) El nuevo tratamiento es útil
• (Ej. 3) Hay una situación anormal

Especulativa
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Tipos de error al contrastar hipótesis
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• Para cualquier tipo de test de contraste hay 3
  resultados posibles
• (1) - Se toma una decisión correcta.
• Es decir se rechaza una hipótesis falsa o no se
  rechaza una hipótesis verdadera.
• (2) - Se rechaza una hipótesis verdadera.
• El error de rechazar H0 cuando es verdadera se
• denomina ERROR DE TIPO I (con probabilidad ?).
• (3) - No se rechaza una hipótesis falsa.
• El error de no rechazar H0 cuando es falsa se
  denomina ERROR DE TIPO II (con probabilidad ?).