Bloque 2: Divide y Vencer

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Bloque 2 Divide y Vencerás

• Unidad 2 Aplicaciones

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Aplicaciones típicas DyV

• Aplicaciones típicas
• Multiplicación entera y matricial
• Búsqueda y ordenación
• Selección y determinación de la media
• Exponenciación
• Las aplicaciones típicas son importantes porque
  pueden utilizarse como
• Ejemplos del modo de confeccionar algoritmos DyV
• Bloques constructores de algoritmos específicos

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Multiplicación de enteros largos

• El algoritmo clásico de multiplicación es O(n2)
• Es posible aplicar la técnica divide y vencerás a
  este problema, conforme a la siguiente
  estrategia
• Sean 2 números, a y b, de tamaño n
• Descompongamos los números a y b en 2 números de
  longitud n/2
• El producto es

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Multiplicación de enteros largos

• Si n es par, las ecuaciones anteriores se
  simplifican
• Cuatro multiplicaciones de números con tamaño n/2
  es similar a una multiplicación de números de
  tamaño n. No obstante, considerando

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Multiplicación de enteros largos

• Se obtiene que
• Esta estrategia permite reducir de 4 a 3
  multiplicaciones, de números de longitud n/2, a
  costa de aumentar el número de sumas y
  desplazamientos (multiplicación por potencias de
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• La complejidad de este algoritmo es ?(nlog 3),
  aunque sólo es eficiente para n grandes, debido a
  la existencia de constantes ocultas con un valor
  elevado

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Multiplicación de matrices

• Consiste multiplicar dos matrices cuadradas A, B
  de tamaños n x n, en un orden inferior a O(n3)
• Es una variación del problema de la
  multiplicación de enteros largos, consistente en
  dividir las matrices en submatrices y realizar
  los productos parciales
• En su formulación más evidente, es necesario
  resolver 8 subproblemas de tamaño n/2, siendo
  interesante la estrategia DyV únicamente cuando
  se resuelven 7 o menos subproblemas

x

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Multiplicación de matrices

• La solución consiste en
• P (A11A22)(B11B22)
• Q (A12A22) B11 C11 P S - T U
• R A11 (B12-B22) C12 R T
• S A22(B21-B11) C21 Q S
• T (A11A12)B22 C22 P R - Q U
• U (A21-A11)(B11B12)
• V (A12-A22)(B21B22)
• Este algoritmo posee un O(nlog7) ? O(n2.81). Al
  igual que para el caso de la multiplicación de
  enteros, las constantes ocultas son muy altas y
  el algoritmo es útil solo para valores de n
  grandes

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Búsqueda

• La búsqueda binaria probablemente el algoritmo
  DyV más conocido, con O(log n)
• Dado que se trata realmente de un algoritmo de
  simplificación, en lugar de DyV, puede
  programarse fácilmente de forma iterativa, la
  cual es su implementación más frecuente

FUNCTION busquedaBinaria(T1..n, x)1..n
BEGIN i 1 j n repeat m(ij)
div 2 if Tm gt x then j m-1 else i m1
until igtj or Tmx busquedaBinaria
m END
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Ordenación

• Dos algoritmos de ordenación bien conocidos son
  DyV
• Mergesort
• Quicksort
• Para ordenar mediante mergesort (ordenación por
  mezcla) los elementos de un array de tamaño n se
• Divide el array original es dividido en dos
  trozos de tamaño igual (o lo más parecido
  posible), es decir ?n/2? y ?n/2?.
• Resuelven recursivamente los subproblemas
• Llega al caso base cuando se obtiene un subarray
  de un solo elemento (versión pura) o cuando se
  obtiene un subarray de tamaño reducido (versión
  con umbral)
• Combinan los dos subarrays (lo cual se puede
  realizar en O(n))
• Se obtiene una función de complejidad O(n log n),
  frente al O(n2) típico de los algoritmos no DyV
  de ordenación

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Ordenación
PROCEDURE mergeSort (VAR T1..n) BEGIN se
podría evitar la utilización de un algoritmo
básico if T es pequeño then
OrdenaciónDirecta(T1..n) else begin
s n div 2 mergeSort(T1..s)
mergeSort(Ts1..n) merge(T1..n,
T1..s, Ts1..n) end END
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Ordenación

• Para ordenar mediante quicksort los elementos de
  un array de tamaño n se
• Divide el array utilizando un procedimiento
  Pivote, que devuelve un entero l tal que Ak ?
  Al ? Am, para k 1..l-1, ml1..n
• Resuelven recursivamente los subproblemas
• Llega al caso base cuando se obtiene un subarray
  de un solo elemento (versión pura) o cuando se
  obtiene un subarray de tamaño reducido (versión
  con umbral)
• No es necesario combinar los subarrays

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Ordenación
PROCEDURE quickSort (VAR T1..n) BEGIN
Puede no utilizarse un algoritmo básico if
n es pequeño then OrdenaciónDirecta(T1..n)
else begin pivote(T1..n, l)
quickSort(T1..l-1) quickSort(Tl1..n)
end END
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Ordenación
PROCEDURE pivote(Ti..j var l integer) en l
se devuelve la posición del pivote BEGIN
p Ti k i l j1 repeat k k1
until (Tk gt p) or (k ? j) repeat l l-1
until (Tl ? p) while k lt l do
begin intercambiar (Tk, Tl) repeat k k1
until (Tk gt p) repeat l l-1 until (Tl ?
p) end Intercambiar (Ti, Tl) END
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Ordenación

• Quicksort posee una función de complejidad O(n
  log n) en el caso medio
• No obstante, en el caso peor la complejidad de
  quicksort es O(n2)
• Ocurre, dada la función pivote, vista
  anteriormente, cuando el array está ordenado de
  modo decreciente o todos los elementos son
  iguales
• La clave para conseguir un algoritmo O(n log n)
  es seleccionar adecuadamente la mediana (ver a
  continuación)
• Aun así, si todos los elementos del array son
  iguales, el comportamiento del algoritmo sigue
  siendo O(n2)
• Se soluciona utilizando un pivote modificado
  pivoteBis(Ti..j media, var k, l integer)

3.3.5. El problema de selección.
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Selección

• Se denomina Problema de Selección a
• Dado un array T1..n y
• Un entero s tal que 1lt s lt n
• Identificar el elemento que, una vez ordenado T
  de modo no decreciente, ocuparía la posición
  s-ésima
• Solucionar el problema de selección es sencillo
  en O(n log n)
• Basta ordenar el array T y acceder a la s-ésima
  posición
• No obstante, puede realizarse en O(n), habida
  cuenta de que exista un procedimiento eficiente
  para calcular la media de un conjunto de datos
• De hecho, el problema de selección es equivalente
  al cálculo de la mediana, mínimo y máximo

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Selección

• Suponiendo la existencia de una función mediana,
  el problema se resolvería siguiendo los pasos
• Identificar la mediana del array
• Utilizando un procedimiento como pivoteBis,
  reordenar el array
• Si 1 lt s lt k, repetir con el subarray T1..k-1
• Si k lt s lt l, se ha terminado
• Si l lt s lt n, repetir con el subarray Tl1..n,
  buscando el s-l1 elemento
• Varias notas
• El algoritmo depende del cálculo de la mediana.
  Si la mediana calculada difiere mucho de la media
  real, la función de complejidad se torna O(n2),
  al igual que en el quicksort
• Se utiliza pivoteBis, y no pivote, para evitar el
  caso patológico de que todos los elementos del
  array sean iguales

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Selección

• El algoritmo sería de la forma siguiente

FUNCTION seleccion(T1..n, s)tipo BEGIN
p mediana(T1..n) pivoteBis(T1..n, p,
k, l) if s lt k then selección
seleccion(T1..k-1, s) else if s gt l then
selección seleccion(Tl1..n, s-l1)
else selección p END
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Selección

• La mediana puede calcularse (en realidad, se
  calcula un valor relativamente similar) mediante
  el siguiente procedimiento de mediana a 5

FUNCTION pseudoMediana(T1..n)tipo BEGIN
Es de nuevo un algoritmo de DyV if n lt 5
then pseudoMediana medianaAdHoc(T1..n)
else begin z n div 5 array
Z1..z for i 1 to z do Zi
medianaAdHoc(T5i-4..5i) pseudoMediana
selección(Z, z div 2 1) end END
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Exponenciación

• Realizar la operación an implica, en su
  formulación más simple, una complejidad O(n)
• Es posible, utilizando DyV, utilizar la siguiente
  estrategia
• El número de multiplicaciones utilizando la
  versión DyV es O(log n). No obstante, teniendo en
  cuenta el tamaño de los números implicados en la
  multiplicación, éste algoritmo sólo es eficiente
  cuando se utilizan productos DyV