El%20algoritmo%20X

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El algoritmo X

• Antonio Jesús Roa Valverde

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Contenido

• Introducción
• Descripción
• Filosofía
• Implementación vía Dancing Links
• Aplicaciones
• Bibliografía

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Introducción

• Debido a Donald Knuth (año 2000)
• http//www-cs-faculty.stanford.edu/uno/
• Algoritmo de búsqueda para problemas de
  recubrimiento como N-reinas, sudoku,

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Descripción

• Algoritmo para encontrar todas las soluciones al
  problema del recubrimiento (exact cover problem).
• Recursivo
• No determinista
• Primero en profundidad
• Fuerza bruta

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Filosofía

• La siguiente matriz representa un problema de
  recubrimiento donde el objetivo es elegir un
  subconjunto de filas de forma que el dígito 1
  aparezca en cada columna una sola vez.

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Filosofía

• OJO Si al iterar aparece una columna sin 1s
  hacemos backtrack y descartamos la fila
  elegida.

• El funcionamiento es el siguiente
• Elegir una columna c de forma determinista.
• De forma indeterminista escoger una fila f que
  tenga un 1 en la columna c, y añadir r al
  conjunto solución.
• Eliminar cualquier fila no seleccionada que tenga
  un 1 en cualquier columna en la que r tenga un 1.
• Eliminar de la matriz cualquier columna para la
  que r tenga un 1.
• Repetir el algoritmo sobre la matriz reducida
  hasta que quede vacía.

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Filosofía

• La solución se obtiene cuando llegamos a la
  matriz vacía.
• Los elementos representados por las filas
  seleccionadas constituyen el conjunto solución.
• Knuth sugiere el siguiente heurístico para
  reducir el número de iteraciones
• Elegir primero aquella columna que presenta menor
  número de 1s

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Ejemplo (pizarra)

• La siguiente matriz surge como resultado de
  modelar un determinado problema de recubrimiento.

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Implementación

• Dancing Links (DLX) es la técnica propuesta por
  Knuth para implementar su algoritmo X usando
  listas circulares doblemente enlazadas.
• El nombre viene por la forma en que trabaja el
  algoritmo las operaciones entre punteros
  recuerda a los pasos de baile de una coreografía.

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Implementación

• DLX se basa en que en una lista circular
  doblemente enlazada
• x.left.right lt- x.right
• x.right.left lt- x.left (borrar nodo x)
• x.left.right lt- x
• x.right.left lt- x (restaurar nodo x)

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Implementación

• Estructura de datos

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Implementación
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Implementación
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Implementación

• Los nodos realmente no se eliminan de la
  estructura. Este mecanismo es lo que permite
  realizar el backtrack.
• OJO Cuidado con el recolector de basura en
  determinados lenguajes.

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Aplicaciones

• Sudoku (2006)

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Sudoku

• En la matriz DLX, las filas representan los
  posibles movimientos y las columnas las
  restricciones que una solución válida debe
  satisfacer.
• Cada fila puede ser etiquetada como ltd,r,cgt,
  donde d,r,c toman valores entre 1 y 9.
• lt2,5,7gt Colocar el dígito 2 en la celda5,7
• Puesto que hay 9 dígitos y 9x9 celdas, tenemos un
  total de 9x81729 filas.

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Sudoku

• Existen 4 tipos de restricciones
• Cada celda debe tener un único dígito ltr,cgt
• Cada dígito debe aparecer una vez en una fila
  ltd,rgt
• Cada dígito debe aparecer una vez en una columna
  ltd,cgt
• Cada dígito debe aparecer una vez en una caja
  ltd,bgt
• Ejemplo del tipo 1 la restricción lt5,7gt
  significa que la celda 5,7 tiene un único
  dígito. La columna para esta restricción tiene un
  1 en las filas lt1,5,7gtlt9,5,7gt y un 0 en el
  resto. La solución DLX seleccionará sólo una de
  estas filas.
• Existen 9x9 restricciones de cada tipo. Por
  tanto, tenemos 4x81324 columnas

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Sudoku

• La matriz DLX tiene dimensión 729x324
• Cada fila contiene sólo cuatro 1s, el resto son
  ceros.
• Cada columna contiene sólo nueve 1s, el resto
  son ceros.
• De aquí la importancia de guardar solamente los
  nodos con un 1.

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Sudoku

• Solución C
• Solución Lisp

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Bibliografía

• Donald E. Knuth, Standford University, Dancing
  Links. Año 2000
• http//en.wikipedia.org
• Bertram Felgenhauer, Frazer Jarvis, Enumerating
  possible Sudoku grids. Año 2005
• http//www-cs-faculty.stanford.edu/knuth/index.ht
  ml
• Página de Donald E. Knuth
• http//www.jalat.com/blogs/lisp?id4
• Solución Sudoku en Lisp
• http//www.codigoescrito.com/archivos/000194.html
• Solución Sudoku en C
• http//www.puzzle.jp/en/
• Página donde se muestran otros posibles puzzles