Mtodos variacionales en la Teora Cuntica de los Campos' - PowerPoint PPT Presentation

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Mtodos variacionales en la Teora Cuntica de los Campos'

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Grados Continuos de Libertad. N mero infinito de estados ... Campo con grados continuos de libertad: Medida del campo independientes de la posici n: ... – PowerPoint PPT presentation

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Title: Mtodos variacionales en la Teora Cuntica de los Campos'


1
Métodos variacionales en la Teoría Cuántica de
los Campos.
  • David Solano

2
...I believe, on the whole, that love is a
better teacher than the sence of duty... Albert
Einstein
3
Teoría Cuántica significa
  • El destino causa-efecto o elección?
  • Principio Cuántico de la Acción
  • Un dios perezoso?
  • No hay estados E 0?

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Formulación de J. Schwinger
  • Julian Schwinger Físico Teórico, n. 1918, f.
    1994.
  • Estudios City College (New York), Columbia,
    Berkeley. Ph.D en 1941.
  • Profesor en Harvard (1948-71) y UCLA (1971-94).
  • Investigación Física Nuclear, Electrodinámica
    Cuántica, Teoría de Campos, Teoría de
    Calibraciones, Teoría de Fuentes, Gravedad
    Cuántica, Fusión Fría, Efecto Casimir
  • Premio Nobel de 1964, por la formulación de la
    QED, junto a R.P. Feynman y S.I. Tomogana.

5
Notación
6
Notación
7
Mecánica de Partículas
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Principio de dAlembert
  • En un sistema aislado, el trabajo conjunto
    realizado por fuerzas externas y fuerzas
    inerciales sobre todas las partículas
    constituyentes es cero a lo largo de
    desplazamientos pequeños

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Principio de dAlembert y el Principio de Hamilton
  • El principio de Hamilton de la acción es mínima
    es una consecuencia del principio de dAlembert.
  • A sus vez, mediante la formulación variacional de
    la Mecánica Clásica, las empíricas Leyes de
    Newton son consecuencia del Principio de la
    Acción Óptima.

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Principio de Acción Óptima
  • Función de Lagrange ? Energía Libre
  • Función de Hamilton ? Energía Total

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Teoría Clásica de Campos
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Extensión al continuo
  • Mecánica Clásica de N Partículas 3N grados de
    libertad.
  • Campo entidad física que hace cambiar el estado
    de un sistema de partículas y/o otros campos y al
    que se le puede asociar un valor en cada punto ?
    y en cada instante t .
  • Dinámica de un campo infinito número de grados
    de libertad.

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Extensión al continuo
  • Densidad de Lagrangiano
  • Acción para un campo

14
Extensión al continuo
  • Ecuaciones de Euler-Ostrogradski

De aquí en adelante, el signo L representará la
densidad de Lagrangiano, que llamaremos
simplemente función de Lagrange.
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Relatividad Especial
  • Tensor métrico de Minkowsk (en una representación
    matricial cartesiana)
  • Invariancia del intervalo

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Relatividad Especial
  • Covariancia de las Leyes de la Física el
    simbolismo matemático de las leyes de Física no
    depende del tipo de coordenadas que se usen entre
    marcos inerciales
  • Mezcla espacio-tiempo
  • Tranformaciones de Lorentz
  • Evento 4-punto ?
  • Función de Lagrange invariante ante
    Transformaciones de Lorentz

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Relatividad Especial
  • Acción para Campos Relativistas o de Alta
    Energía
  • El Principio de Acción Óptima implica que

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Teoría Cuántica
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Símbolo de medida
  • Sea a una cantidad física que toma valores a,
  • a, a, , a(n) . El símbolo
  • representa el acto se escoje medir a a(m)
    se mide
  • a a(m) . Se llama medida selectiva de la
    cantidad
  • física a para a a(m) .

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Medida Multiples. Relación de Cierre
  • El acto de medir a a, a es
  • El símbolo que representa la medida de todos los
    posibles valores de a es
  • que es la relación de cierre.

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Vectores de Estado
  • El acto de escoger que vamos a medir implica
    necesariamente la creación de un estado. Así,
    definimos el vector de creación del estado a
    a(m) como
  • Detectar una partícula con un instrumento
    implica, destruir el estado el estado que quiere
    detectar. El vector de destrucción es
  • La operación de medida en dos pasos 1-. crear
    un estado (escoger una opción medida) 2-.
    detectarlo (destruirlo) es completamente
    causal, por lo que
  • Para detectar un estado, es necesario primero que
    este exista (que ya esté creado). Una operación
    no causal tiene asociado un 0, esto es

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Probabilidad. Interferencia
  • Sean a , b, cantidades físicas. La amplitud de
    probabilidad de que el sistema cuántico, estando
    en el estado b b , se mida a a es
  • La probabilidad de un proceso de medición siempre
    se define como módulos cuadrado de amplitudes de
    probabilidad

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Probabilidad. Interferencia
  • La amplitud de probabilidad de realizar la medida
  • escogiendo el estado aa y detectando c c es
  • Y entonces, la probabilidad de esta medición es

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Probabilidad. Interferencia
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Operadores
  • Operadores Hermíticos representan cantidades
    físicas. Tienen autovalores reales.
  • Operadores Unitarios transforman un vector de
    estado en otro. Son expansiones de potencias de
    operadores hermíticos y, por lo tanto,
    generalmente son exponenciales complejas.

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Cantidades Compatibles
  • Dos cantidades físicas, a y b, son compatibles si
    el orden en el que se realizan las mediciones no
    es importante.
  • Las cantidades compatibles corresponden a
    operadores hermíticos que conmutan
  • Cuando el estado final del sistema varíe
    dependiendo del orden en el que se realicen
    mediciones de las cantidades a,b, se tiene que
    establecer relaciones de conmutación.

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Bases del Espacio de estados
  • Un estado arbitrario de un sistema cuántico es
    dado por una C.L. de los autovectores de un
    operador a. Dicho sistema tiene una base
  • Si la dimensión del espacio de estados es nn1n2,
    el sistema puede ser descrito por el producto
    directo de espacios con bases

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Grados de libertad en la Teoría Cuántica
  • Lo anterior solo se puede hacer para operadores
    a1, a2 que conmuten. En general, un sistema
    compuesto es descrito por un conjunto completo de
    operadores que conmutan
  • Un estado de un sistema compuesto, el orden como
    se crean (o se destruyen) los estados no es
    importante tampoco. Para n2
  • Este procedimiento se puede seguir repitiendo
    hasta que n sea el producto de N números primos.
    Decimos que el sistema tiene N grados cuánticos
    de libertad.
  • Relaciones de Cierre y ortogonalidad

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Grados Continuos de Libertad
  • Número infinito de estados
  • Cada estado está infinitamente cerca del otro
  • Ejemplo clásico la posición y el momentum
  • Relación de Cierre
  • Relación de ortogonalidad

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Grados Continuos de Libertad
  • De las relaciones
  • se obtienen las representaciones diferenciales de
  • Schrödinger y la relación de conmutación de
    Heinsenberg

31
Transformaciones infinitesimales
Traslación
32
Transformaciones infinitesimales
Rotación
33
Transformaciones infinitesimales
34
Transformaciones infinitesimales
Galileo
35
Transformaciones infinitesimales
  • Cambio de relojes (transformación ortocrónica)
  • Es simplemente la diferencia en la medida entre
    dos observadores cuyos relojes están adelantados
    (uno con respecto al otro)

36
Transformaciones infinitesimales
  • La variación de un operador debido a la
    cantidad ?? corresponde a
  • donde F? es generador de transformaciones
    infinitesimales. Los Generadores son

37
Relaciones de Conmutación
38
Principio Cuántico de la Acción
39
Un ejemplo partícula libre
40
Teoría Cuántica de los Campos localizables
41
Superficies Espacio-Similares. Eventos
independientes.
42
Superficies Espacio-Similares. Eventos
independientes.
43
Características del Campo Físico
  • Localizable teoría óptima para el estudio de
    dispersión de partículas elementales y cuantas de
    los campos.
  • Campo con grados continuos de libertad
  • Medida del campo independientes de la posición

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Principio de Acción Estacionaria
  • Variación de una función transformación
  • Acción diferencia de generadores entre
    superficies espacio-similares

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Variaciones regulares y variaciones cuánticas
  • Todo sistema cuántico puede variar aleatoriamente
    sin que el observador pueda hacer algo al
    respecto. Siempre se debido introducir una
    variación
  • Variación regular producidas por desplazamiento
    espacio-temporales
  • Variación total la suma de las dos anteriores

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Variaciones regulares y variaciones cuánticas
Variación de flujo en las fronteras
Variación sobre el 4-volumen que delimitan s2 y s1
47
Variación del Lagrangiano
48
Transformaciones infinitesimales de Lorentz
  • Traslaciones en espacio-tiempo ? traslaciones
    espaciales cambio de relojes
  • Rotaciones en espacio-tiempo? rotaciones
    espaciales cambio de sistema inercial

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Variación regular del campo
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Momento Conjugado, Tensor de Energía-Momentum
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Leyes de Conservación
  • Teorema de Noether
  • Conservación de la Energía-Momentum con ??0 y
    d?? ??, existe una cantidad que conserva
    definida como

52
Leyes de Conservación
  • Conservación de la Momento Angular con ??0 y
    ??? r????, existe una cantidad que conserva
    definida como
  • donde M??? es un operador tensorial
    antisimétrico definido como

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Leyes de Conservación
  • Conservación de la Carga de Fock haciendo ????0
    el generador es
  • La conservación de la carga se debe a la
    invariancia de la función de Lagrange ante
    transformaciones de fase

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Leyes de Conservación
  • Podemos definir al 4-vector de densidad de
    corriente
  • Y la carga es, entonces definida

55
Constricciones y sus ecuaciones. Variables
canónicas.
  • Derivadas normales y tangenciales
  • Una variable es una constricción si la cantidad
    ???n???? es 0. Sus ecuacion son

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Constricciones y sus ecuaciones. Variables
canónicas.
  • La función de Lagrange puede ser completamente
    arbitraria, al suma la divergencia de un vector
  • Las variables en donde ?? ? 0, se llaman
    variables canónicas.
  • Un lagrangiano se dice que es canónico si todas
    sus pares campo-momento son canónicos.
  • Principal problema en la Teoría Cuántica de la
    Gravedad.

57
Generadores de Transformaciones infinitesimales
forma explícita
Generadores de campo y momento
58
Generadores de Transformaciones infinitesimales
forma explícita
Relación Estadística-Spin
Relaciones de conmutación de la variables
canónicas
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Generadores de Transformaciones infinitesimales
forma explícita
60
Relaciones de Conmutación
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