Title: Mtodos variacionales en la Teora Cuntica de los Campos'
1Métodos variacionales en la Teoría Cuántica de
los Campos.
2...I believe, on the whole, that love is a
better teacher than the sence of duty... Albert
Einstein
3Teoría Cuántica significa
- El destino causa-efecto o elección?
- Principio Cuántico de la Acción
- Un dios perezoso?
- No hay estados E 0?
4Formulación de J. Schwinger
- Julian Schwinger Físico Teórico, n. 1918, f.
1994. - Estudios City College (New York), Columbia,
Berkeley. Ph.D en 1941. - Profesor en Harvard (1948-71) y UCLA (1971-94).
- Investigación Física Nuclear, Electrodinámica
Cuántica, Teoría de Campos, Teoría de
Calibraciones, Teoría de Fuentes, Gravedad
Cuántica, Fusión Fría, Efecto Casimir - Premio Nobel de 1964, por la formulación de la
QED, junto a R.P. Feynman y S.I. Tomogana.
5Notación
6Notación
7Mecánica de Partículas
8Principio de dAlembert
- En un sistema aislado, el trabajo conjunto
realizado por fuerzas externas y fuerzas
inerciales sobre todas las partículas
constituyentes es cero a lo largo de
desplazamientos pequeños
9Principio de dAlembert y el Principio de Hamilton
- El principio de Hamilton de la acción es mínima
es una consecuencia del principio de dAlembert. - A sus vez, mediante la formulación variacional de
la Mecánica Clásica, las empíricas Leyes de
Newton son consecuencia del Principio de la
Acción Óptima.
10Principio de Acción Óptima
- Función de Lagrange ? Energía Libre
- Función de Hamilton ? Energía Total
11Teoría Clásica de Campos
12Extensión al continuo
- Mecánica Clásica de N Partículas 3N grados de
libertad. - Campo entidad física que hace cambiar el estado
de un sistema de partículas y/o otros campos y al
que se le puede asociar un valor en cada punto ?
y en cada instante t . - Dinámica de un campo infinito número de grados
de libertad.
13Extensión al continuo
14Extensión al continuo
- Ecuaciones de Euler-Ostrogradski
De aquí en adelante, el signo L representará la
densidad de Lagrangiano, que llamaremos
simplemente función de Lagrange.
15Relatividad Especial
- Tensor métrico de Minkowsk (en una representación
matricial cartesiana)
- Invariancia del intervalo
16Relatividad Especial
- Covariancia de las Leyes de la Física el
simbolismo matemático de las leyes de Física no
depende del tipo de coordenadas que se usen entre
marcos inerciales - Mezcla espacio-tiempo
- Tranformaciones de Lorentz
- Evento 4-punto ?
- Función de Lagrange invariante ante
Transformaciones de Lorentz
17Relatividad Especial
- Acción para Campos Relativistas o de Alta
Energía
- El Principio de Acción Óptima implica que
18Teoría Cuántica
19Símbolo de medida
- Sea a una cantidad física que toma valores a,
- a, a, , a(n) . El símbolo
- representa el acto se escoje medir a a(m)
se mide - a a(m) . Se llama medida selectiva de la
cantidad - física a para a a(m) .
20Medida Multiples. Relación de Cierre
- El acto de medir a a, a es
- El símbolo que representa la medida de todos los
posibles valores de a es - que es la relación de cierre.
21Vectores de Estado
- El acto de escoger que vamos a medir implica
necesariamente la creación de un estado. Así,
definimos el vector de creación del estado a
a(m) como - Detectar una partícula con un instrumento
implica, destruir el estado el estado que quiere
detectar. El vector de destrucción es - La operación de medida en dos pasos 1-. crear
un estado (escoger una opción medida) 2-.
detectarlo (destruirlo) es completamente
causal, por lo que - Para detectar un estado, es necesario primero que
este exista (que ya esté creado). Una operación
no causal tiene asociado un 0, esto es
22Probabilidad. Interferencia
- Sean a , b, cantidades físicas. La amplitud de
probabilidad de que el sistema cuántico, estando
en el estado b b , se mida a a es - La probabilidad de un proceso de medición siempre
se define como módulos cuadrado de amplitudes de
probabilidad
23Probabilidad. Interferencia
- La amplitud de probabilidad de realizar la medida
- escogiendo el estado aa y detectando c c es
- Y entonces, la probabilidad de esta medición es
24Probabilidad. Interferencia
25Operadores
- Operadores Hermíticos representan cantidades
físicas. Tienen autovalores reales. - Operadores Unitarios transforman un vector de
estado en otro. Son expansiones de potencias de
operadores hermíticos y, por lo tanto,
generalmente son exponenciales complejas.
26Cantidades Compatibles
- Dos cantidades físicas, a y b, son compatibles si
el orden en el que se realizan las mediciones no
es importante. - Las cantidades compatibles corresponden a
operadores hermíticos que conmutan - Cuando el estado final del sistema varíe
dependiendo del orden en el que se realicen
mediciones de las cantidades a,b, se tiene que
establecer relaciones de conmutación.
27Bases del Espacio de estados
- Un estado arbitrario de un sistema cuántico es
dado por una C.L. de los autovectores de un
operador a. Dicho sistema tiene una base - Si la dimensión del espacio de estados es nn1n2,
el sistema puede ser descrito por el producto
directo de espacios con bases
28Grados de libertad en la Teoría Cuántica
- Lo anterior solo se puede hacer para operadores
a1, a2 que conmuten. En general, un sistema
compuesto es descrito por un conjunto completo de
operadores que conmutan - Un estado de un sistema compuesto, el orden como
se crean (o se destruyen) los estados no es
importante tampoco. Para n2 - Este procedimiento se puede seguir repitiendo
hasta que n sea el producto de N números primos.
Decimos que el sistema tiene N grados cuánticos
de libertad. - Relaciones de Cierre y ortogonalidad
29Grados Continuos de Libertad
- Número infinito de estados
- Cada estado está infinitamente cerca del otro
- Ejemplo clásico la posición y el momentum
- Relación de Cierre
- Relación de ortogonalidad
30Grados Continuos de Libertad
- De las relaciones
- se obtienen las representaciones diferenciales de
- Schrödinger y la relación de conmutación de
Heinsenberg
31Transformaciones infinitesimales
Traslación
32Transformaciones infinitesimales
Rotación
33Transformaciones infinitesimales
34Transformaciones infinitesimales
Galileo
35Transformaciones infinitesimales
- Cambio de relojes (transformación ortocrónica)
- Es simplemente la diferencia en la medida entre
dos observadores cuyos relojes están adelantados
(uno con respecto al otro)
36Transformaciones infinitesimales
- La variación de un operador debido a la
cantidad ?? corresponde a - donde F? es generador de transformaciones
infinitesimales. Los Generadores son
37Relaciones de Conmutación
38Principio Cuántico de la Acción
39Un ejemplo partícula libre
40Teoría Cuántica de los Campos localizables
41Superficies Espacio-Similares. Eventos
independientes.
42Superficies Espacio-Similares. Eventos
independientes.
43Características del Campo Físico
- Localizable teoría óptima para el estudio de
dispersión de partículas elementales y cuantas de
los campos. - Campo con grados continuos de libertad
- Medida del campo independientes de la posición
44Principio de Acción Estacionaria
- Variación de una función transformación
- Acción diferencia de generadores entre
superficies espacio-similares
45Variaciones regulares y variaciones cuánticas
- Todo sistema cuántico puede variar aleatoriamente
sin que el observador pueda hacer algo al
respecto. Siempre se debido introducir una
variación - Variación regular producidas por desplazamiento
espacio-temporales - Variación total la suma de las dos anteriores
46Variaciones regulares y variaciones cuánticas
Variación de flujo en las fronteras
Variación sobre el 4-volumen que delimitan s2 y s1
47Variación del Lagrangiano
48Transformaciones infinitesimales de Lorentz
- Traslaciones en espacio-tiempo ? traslaciones
espaciales cambio de relojes - Rotaciones en espacio-tiempo? rotaciones
espaciales cambio de sistema inercial
49Variación regular del campo
50Momento Conjugado, Tensor de Energía-Momentum
51Leyes de Conservación
- Teorema de Noether
- Conservación de la Energía-Momentum con ??0 y
d?? ??, existe una cantidad que conserva
definida como
52Leyes de Conservación
- Conservación de la Momento Angular con ??0 y
??? r????, existe una cantidad que conserva
definida como - donde M??? es un operador tensorial
antisimétrico definido como
53Leyes de Conservación
- Conservación de la Carga de Fock haciendo ????0
el generador es - La conservación de la carga se debe a la
invariancia de la función de Lagrange ante
transformaciones de fase
54Leyes de Conservación
- Podemos definir al 4-vector de densidad de
corriente - Y la carga es, entonces definida
55Constricciones y sus ecuaciones. Variables
canónicas.
- Derivadas normales y tangenciales
- Una variable es una constricción si la cantidad
???n???? es 0. Sus ecuacion son
56Constricciones y sus ecuaciones. Variables
canónicas.
- La función de Lagrange puede ser completamente
arbitraria, al suma la divergencia de un vector - Las variables en donde ?? ? 0, se llaman
variables canónicas. - Un lagrangiano se dice que es canónico si todas
sus pares campo-momento son canónicos. - Principal problema en la Teoría Cuántica de la
Gravedad.
57Generadores de Transformaciones infinitesimales
forma explícita
Generadores de campo y momento
58Generadores de Transformaciones infinitesimales
forma explícita
Relación Estadística-Spin
Relaciones de conmutación de la variables
canónicas
59Generadores de Transformaciones infinitesimales
forma explícita
60Relaciones de Conmutación